6.3. Методи лінійного програмування


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 

Загрузка...

Використання методів лінійного програмування дозволяє керівникам підприємства вирішувати різні задачі оптимізації в умовах обмежень. Такі задачі досить часто виникають у практичних ситуаціях, тому доцільно зупинитися на тому, як їх вирішувати. Постановка задачі включає в себе такі основні етапи:

1.         Визначення змінних, що будуть використовуватися.

2.         Визначення виразу об’єктивної функції з урахуванням змінних.

3.         Визначення обмежень.

Коли задача поставлена, можна використовувати методи,

що дозволяють оптимізувати рішення.

У швейній промисловості для підвищення ефективності виробництва підприємств проводять оптимізацію плану випу-ску швейних виробів.

Як відомо, швейні підприємства спеціалізовані на випуску певних видів виробів. Підприємством розробляється виробни-ча програма для основних видів продукції з поділом їх за се-зонною і статевовіковою ознаками.

Планування ж випуску виробів різних моделей або фа-сонів здійснюється підприємством за узгодженням з торгівельними організаціями. Завдання полягає у виборі найбільш економічних моделей і визначенні оптимального співвідношення їхнього випуску, тобто у визначенні опти-мального плану випуску моделей швейних виробів. Цей план повинен забезпечувати максимум прибутку. Тут також має важливе значення розробка декількох варіантів планів, близь-ких до оптимального, які можуть бути представлені на розгляд торгівельним організаціям.

При постановці завдання оптимізації програми випуску продукції обмежуючими умовами в завданні є: потужність по-токів; ресурси матеріалів різних артикулів; установлений гра-ничний випуск швейних виробів певних різновидів.

В ЕМ моделі повинна також знайти відбиття структура виробництва в основних цехах. У цьому аспекті варто ввести поняття одиниці структурного підрозділу. Під структурним підрозділом будемо розуміти сукупність потоків у цеху, яким встановлюється загальна виробнича програма. Зазвичай структурному підрозділу відповідає цех, потік або група по-токів.

Одним з напрямків використання методів лінійного про-грамування в легкій промисловості є також вибір оптималь-них розкладок матеріалів. Оптимальний план рішення такої задачі в умовах непостійних обсягів виробництва і роботи підприємств із нестабільними параметрами сировини має за-безпечити: виконання замовлення по розміро-зростовому асортименту при максимально можливій кількості повних на-Розділ 6

стилів, сумарну мінімальність усіх видів втрат тканини, у тому числі міжлекальних, по ширині, по довжині настилу.

В цілому постановка задачі розкрою тканини така. Зада-ний розміро-зростовий асортимент виробів даного замовлен-ня; для їхнього виготовлення є визначена кількість тканин у вигляді кусків, різних за шириною та довжиною; для кожної ширини тканини попередньо розроблені й обрані варіанти розкладок з мінімальними міжлекальними випадами і втрата-ми по ширині; відома мінімально гранична висота настилу, що розкроюється на автоматичному комплексі. У залежності від поставлених цілей рішення задачі може здійснюватися за ря-дом вимог, а саме за мінімальною витратою тканини або мінімальними втратами тканини, за максимальним випуском або сумарним прибутком тощо, дотримуючись ряду обмежень і умов.

Умовні позначення, що використовуються при постановці задачі:

вихідні дані:

β — індекс ширини тканини (β =1,f ); f — число ширин тканини;

α — індекс куска тканини (α =1,aβ ); аβ — число кусків тканини шириною β; j — індекс варіанта розкладки лекал (j =1,nβ );

ljβ — довжина j-розкладки для тканини шириною β; nβ — число варіантів розкладок лекал, що розроблені для розкрою тканини шириною β;

i — індекс розміру і росту виробів (i=1,m );

m — число розмірів і ростів виробів;

аijβ — число комплектів деталей виробів i-го розміро-зрос-ту, що міститься в j-розкладці, побудованійдля тканини β-ши-рини (під комплектом розуміють сукупність різних деталей, необхідних для виготовлення одного виробу).

Дані, які необхідно визначити:

xja$ ~ кількість полотен y повних настилах, що викрою-ються автоматично по j-варіанту розкладки з куска а шири-ною (3.

Постановка задачі така:

1.         Вихід комплектів деталей даного розміро-зросту пови-

нен відповідати розміро-зростовому асортиментові замовлен-

ня, тобто вихід комплекту деталей виробу і-розміро-зросту по

;-розкладці з тканини (3-ширини а^ (з одного полотна), що по-

множений на кількість полотен x;-ap і просумований за всіма

варіантами розкрою^, всіма кусками тканини a і всіма шири-

нами (3 222 а^ * х;-ар, не може бути менше, ніж частка виробу і-

розміро-зросту:

іііжвхх;бв -рг; і = \™.

І a Р

Для вирішення задачі симплекс-методом нерівність не-обхідно привести до рівності, додавши до лівої частини по-слаблюючу змінну Wi, яка означає можливий надлишок ви-робів і-розміро-зросту:

ІІІaj/B х % -W1 = р,. і = \т

І б в

2.         Ресурси тканини в кусках обмежені, тобто загальна до-

вжина полотен з різними варіантами розкладок лекал, що от-

римуються з даного куска тканини, не може перевищувати

умовну довжину куска a шириною (3 — Dycii:

5ХВ хх;бв ^ Дувсл; б = Щ; в = \J .

j

Перетворивши нерівність у рівність і ввівши в її ліву час-тину послаблюючу змінну Vap, отримаємо:

І* ,в хХ;бв + Кв = DHn; б = ЇД; в = \J t j

Розділ 6

Де Vap — можливий залишок куска а шириною (3. 3. Умови невід’ємності всіх змінних:

х;бв > 0; Щ > 0; Гбв > 0 .

Цільова функція відбиває:

- мінімізацію міжлекальних і крайових втрат П;-р noj-роз-кладці, що побудована на тканині (3 -ширини куска a:

п a f

L = ХХіЖв ХХ/ав "^ W/W . І б в

Наприклад, проведемо оптимізацію використання ткани-ни за вихідними даними швейного підприємства.

Необхідно розкроїти тканину трьох ширин на деталі паль-та жіночого зимового трьох розміро-зростів: 50/2, 48/2, 46/2 (і = 3). Потреба у виробах, відповідно, одиниць: Ьх = 500; Ь2 = 800; Ь3= 500. На підприємстві є тканина шириною 144 см — 3300 м, 145 см — 2950 м, 147 см — 2450 м.

Необхідно визначити кількість полотен, які необхідно пе-редбачати із тканини кожної ширини по кожній з трьох роз-кладок.

Варіанти розкладок, норми витрати тканини і міжлекальні випади подано в табл. 6.8

ЕМ модель складається з трьох рівнянь (/= 3) першої гру-пи і трьох рівнянь другої групи.

Кожне рівняння першої групи показує, що довжина куска всіх полотен, що передбачені із тканин шириною (3, не може бути більшою, ніж кількість тканин, що є в наявності, тобто Qp.

1)         10,37 хп + 7,82 х2\ + 10,3 х31 + 10,39 хА1 + Vi = 3300;

2)         10,31 х12 + 7,77 х22 + 10,24 х32 + 10,32 х12 + V2 = 2950;

3)         7,7 х13 + 7,59 х23 + 10,18 х33 + V3 = 2450,

де: Vb V2 , V3 — можливий залишок тканини відповідно шириною 144 см, 145 см, 147 см.

Таблиця 6.8

Варіанти розкладок, норми витрат тканини і міжлекальні випади

 

                        Кількість комплектів де-талей в розкладці

a ijb                            

 

           

                                              

           

           

 

p= 1     Ð 11    2                      2          10,37   0,5       Õ 11

 

            Ð 21    1          2                      7,82     0,4       Õ 21

 

            Ð 31                2          2          10,3     0,1       Õ 31

 

            Ð 41                4                      10,39   0,05     Õ 41

P = 2   Ð 12    2                      2          10,31   0,04     Õ 12

 

            Ð 22    1          2                      7,77     0,5       Õ 22

 

            Ð 32                2          2          10,24   0,4       Õ 32

 

            Ð 42                4                      10,32   0,4       Õ 42

р = 3    Ð 13    2          1                      7,7       0,5       Õ 13

 

            Ð 23    1                      2          7,59     0,4       Õ 23

 

            Ð 33                4                      10,18   0,4       Õ 33

Кожне з рівнянь другої групи показує, що загальний вихід комплектів деталей для виробу визначеного розміро-зросту не повинен бути менше потреби:

1)         2 х11 + х21 + 2 х12 + х22 + 2 х13 + х23 — W1 = 500;

2)         2 х21 + 2 х31 + 4 х41 + 2 х22 + 2 х32 + 4 х42 – W2 = 800;

3)         2 х11 +2 х31 + 2 х12 + 2 х32 + 2 х23 – W3= 500,

де: W1, W2 , W3 — можливий надлишок комплектів деталей відповідно таких розміро-зростів 50/2, 48/2, 46/2.

Для побудови цільової функції необхідно визначити су-марні міжлекальні втрати. Вони дорівнюють сумі величини міжлекальних випадів, що помножена на кількість полотен (хiβ) за всіма розкладками.

Розділ 6

Тоді цільова функція має такий вигляд: min L = 0,5Х11 + 0,4 Х21 + 0,1 Х31 + 0,05 Х41 + 0,04 Х12 + 0,5 Х22 + 0,4 Х32 + 0,4 Х42 + 0,5 Х13 + 0,4 Х23 + 0,4 Х33;

Хjb ≥ 0; Vаβ ≥ 0; Wі ≥ 0.

У векторно-матричній формі ЕМ модель приведена в табл. 6.9.

V         результаті рішення задачі симплексним методом на

ЕОМ отримано такий оптимальний план:

Х41 = 200; Х12 = 250;

VI        = 1221;

V2 = 372,5;

V3 = 2450;

W3 = 0.

Відповідно до оптимального плану економічно передбача-ти із тканини 144 см — 200 полотен за розкладкою j= 4 та 205 полотен із тканини 145 см за розкладкою j= 1. Залишок ткани-ни складає 1221 м шириною 144 см, 372,5 м шириною 145 см та 2450 м шириною 147 см. Тобто, тканина шириною 147 см не є раціональною і випадає з розкладки. При цьому мінімальне значення міжлекальних втрат складає 20 м2.