4.3.3. Середні величини


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 

Загрузка...

В економічному аналізі часто застосовуються середні вели-чини, що являють собою узагальнюючу характеристику якісно однорідних, але кількісно відмінних одна від одної величин.

Середні величини використовуються в якості однієї з най-важливіших характеристик варіаційного ряду, що отримані при обробці економічних даних. Вони мають величезне пізнавальне значення при вивченні економічних явищ, що полягають: в об’єктивно точному вимірі економічних явищ, що досліджують-ся, у практичній цінності як одного з засобів розрахунків.

Середні величини найтісніше пов’язані з сутністю суспільних явищ, що розглядаються. Вони можуть бути обчис-лені для випадків, коли кожний з варіантів варіаційного ряду зустрічається тільки один раз, тоді середня називається про-стою, або незваженою, і для випадків, коли варіанти або інтер-вали повторюються різне число разів. При цьому число повто-рень варіантів або інтервалів називають частотою, або статис-тичною вагою, а середню, обчислену з урахуванням статистич-ної ваги, — зваженою середньою.

Вибір виду середньої необхідно узгодити із природою ре-альної сукупності й ознаки, що підлягає усередненню (ознаки, що варіює). Найбільш уживаними є сумарні та структурні (порядкові) середні. Сумарні середні поділяються на степеневі, логарифмічні, показові, параболічні тощо. При цьому степе-неві середні, в свою чергу, поділяються на середню арифме-тичну, середню гармонійну, середню хронологічну, середню квадратичну, середню кубічну тощо. Структурні середні: мода, медіана, квартили, децили й ін.

Степенева середня — корінь ступеня z із середньої ариф-метичної z-их ступенів варіантів. Якщо є варіанти х1, х2, .., хп, то степенева середня порядку z із варіантів може бути обчис-лена за формулою простої незваженої:

z

 

lxz

n

При наявності відповідних частот т1, т2,…, тп середня об-числюється за формулою зваженої степеневої середньої:

z

 z

 

z *

£*

5>

m

 

де

xz

степенева середня порядку z.

Мажорантність середніх (франц. majeur — більший) — по-лягає в тому, що якщо для однієї сукупності обчислити се-редні (гармонійну, геометричну, арифметичну й квадратичну тощо), то за числовим значенням вони розташуються в певно-му порядку. Порядок зростання степеневих середніх визначає показник ступеня z в формулі степеневої середньої, тобто чим більше z, тим більша середня (табл. 4.5).

Таблиця 4.5

Порядок зростання середніх

 

z          - 1       0          + 1       + 2

Назва середньої         Гармонічна x гарм.   Геометрична x геом. Арифметична x а      Квадратична x кв

X

гарм. < x геом. <

x

а

x

кв

Розділ 4

Докладне з’ясування загальної умови мажорантності вперше було проведено А. Я. Боярським.

Зважування середніх — розрахунок середніх з урахуван-ням їх ваг (частот). При цьому зважування означає такі ариф-метичні дії: а) для середньої арифметичної — ділення суми до-бутків варіантів на їх ваги на суму ваг; б) для середньої гар-монійної — ділення суми добутків варіантів на їх ваги на суму часток від їх ділення на відповідні варіанти; в) для середньої геометричної — знаходження кореня ступеня, рівного сумі ваг, з добутку варіантів, що зведені у ступінь, показник якої — відповідна вага.

Середня арифметична — сума значень ознаки, що варіює, розділена на їх число (відповідає формулі степеневої серед-ньої при z = 1).

Розрахунок простої середньоарифметичної (незваженої) проводиться за формулою:

n

Наприклад, на складі швейного МП “А” знаходиться три куски тканини довжиною відповідно 52 м, 54 м та 60 м. Знай-ти середню довжину куска тканини.

52 + 54 + 60

x=        = 55,3 м.

3

Таким чином, середня довжина куска тканини складає 55,3 м.

Зважена середня арифметична обчислюється так:

∑mi

Наприклад, визначити, в якому цеху рівень кваліфікації вище, якщо відомо, що: в першому цеху 20 робітників мають ІІ розряд, 35 робітників — ІІІ розряд, 50 робітників — ІV розряд;

в другому цеху 10 робітників — ІІ розряд, 40 робітників — ІІІ розряд, 50 робітників — ІV розряд.

Визначимо середній розряд робітників:

І цех:

__20*2 + +35*3 + 50*4

X=       20 + 35 + 50   = 3,286;

ІІ цех:

_ 10*2 + 40*3 + 50*4

x =       = 3,4.

10 + 40 + 50

Таким чином, в другому цеху рівень кваліфікації вищий. Середня гармонійна обчислюється як відношення суми оз-нак до суми добутків цих ознак на обернені значення варіант,

 1 1      1

тобто виходячи з варіантів —, —,...,— . Середня гармонійна

Х1 Х2 Хп

виходить з формули степеневої середньої при z = -1. У цьому випадку:

п          п

X =       =        

11        11 (незважена);

 + + ... +          £

Х1 Х2 Хп       Х

__ х1т1+х2т2+... + хптп _^хт

Х~1ст, хТт     хт„ ~'хт (зважена).

J1^1 + 2 2 +...+ " " X

Х1       Х2       Хп       Х

Наприклад, визначити, в якій бригаді середні витрати ча-су на 1 виріб менші. Вихідні дані для аналізу наведені в таб-лиці 4.6.

Розділ Вихідні дані

Таблиця 4.

Члени бригади          І бригада        ІІ бригада

 

            Витрати часу на 1 виріб, хв.            Витрати часу на всі вироби, хв.      Витрати часу на 1 виріб, хв.            Витрати часу на всі вироби, хв.

1          9          360      10        400

2          10        450      9          765

3          11        308      12        336

4          12        1020    11        495

Середні витрати часу на один виріб:

I           бригада:

360 + 450 + 308 +1020 x=

360 / 9 + 450 /10 + 308 /11+1020 /12

II         бригада:

х

400 + 765 + 336 + 495

 

400/10 + 765/9 + 336/12 + 495/11

= 10,798 хв.

= 10,081 хв.

Таким чином, у другій бригаді середні витрати часу на об-робку одного виробу менші.

Середня антигармонічна розраховується за формулою:

£х2

х

х12+х22 + ... + Х2

 

           

X1 + х2+... + х„

Середня геометрична широко застосовується для обчис-лення середніх темпів зміни в рядах динаміки. Обчислюється добуванням кореня n-го ступеня із добутку значень ознак, що аналізуються, за формулою:

x = 4Jx1* х2 *...*.

 

п

х

 

Увівши знак П — добуток, записуємо:

Хагш =щП(х) (незважена);

- "Jn(xm) (зважена).

Наприклад, розрахувати середні темпи зростання випуску продукції, якщо ці темпи складали в:

1996 р. — 100,03 % 1997 р. — 102,1 % 1998 р. — 102,8 %

х = 3/1,0003 • 1,021 • 1,028 = 1,016.

Таким чином, середні темпи зростання за три роки склада-ють 101,6 %.

Середня квадратична обчислюється добуванням квадрат-ного кореня з частки від ділення суми квадратів окремих зна-чень ознаки, що досліджується, на їхню кількість за такими формулами:

X

 

Ех2

п (незважена);

 

X

 

\

£х2 * т

у т (зважена).

Середня квадратична виходить із формули степеневої се-редньої при z = 2. Ця середня величина здебільшого викорис-товується для обчислення середнього квадратичного відхи-лення.

Також досить часто в економічному аналізі застосовується середня хронологічна, яка характеризує середній рівень рядів динаміки. Для однакових проміжків часу середня хроно-логічна обчислюється за формулою:

Х1       Хп

х-= 2               2

п — 1

Розділ 4

Наприклад, визначити середні квартальні залишки нере-алізованої продукції, якщо ці залишки склали: на 01.01 — 105 тис. грн на 01.02 — 109 тис. грн на 01.03 — 110 тис. грн на 01.04 — 108 тис. грн.

_ 105/2 + 109 + 110 + 108/2

х =       =108,5 тис. грн.

4-1

Таким чином, середні квартальні залишки нереалізованої продукції склали 108,5 тис. грн.