§1.3. Ранг матриці та способи його обчислення 1.3.1. Теоретичні відомості


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Матриця має ранг r, якщо серед її мінорів існує хоча б один мінор порядку r, відмінний від нуля, а всі мінори порядку (r + 1) і вищого дорівнює нулю, або не існують.

Приклад 1.29. Знайти ранг матриці А

(\ 4 2 25 4 31 6

Розв’язок. Ця матриця третього порядку, отже, її ранг не може бути більшим трьох. Визначник третього порядку дорівнює нулю:

14 2 /± = &etA-2 5 4=0,

але існує мінор другого порядку нює двом, r(A) = 2.

14

Ф 0. Ранг матриці А дорів-

(А 5 7 2 8

14381 23 57 1

Приклад 1.30. Знайти ранг матриці А

Розв’язок. Ця матриця має розмір 3x5, тому її ранг не більший

3. Існує визначник третього порядку

45 7 143 235

14^0. Отже,

 

r(A) = 3.

Елементарними перетвореннями матриці називаються такі її пе-ретворення:

1.         Транспонування, тобто заміна кожного рядка стовпчиком з тим ж номером і навпаки.

2.         Перестановка двох рядків або двох стовпчиків.

3.         Множення всіх елементів рядка або стовпчика на будь-яке число не рівне нулю.

4.         Додавання до всіх елементів рядка або стовпчика відповідних елементів паралельного ряду, помноженого на одне і те ж число.

Матриці, одержані одна з другої елементарними перетвореннями, називаються еквівалентними. Еквівалентні матриці не рівні одна одній, але при елементарних перетвореннях матриці її ранг не змінюється.

Приклад 1.31. Знайти ранг матриці А =

 

r2 3      5          -3        "2

34        3          -1        -3

56        -1        3          -5

Розв’язок. Розділимо елементи першого рядка на 2, одержимо еквівалентну матрицю (ранг цієї матриці дорівнює рангу вихідної):

1 3/2 5/2 -3/2 -1

A ~

4

1

1

Віднімемо з другого і третього рядків перший рядок, помноже-ний відповідно на 3 і 5, одержимо:

1

3/2       5/2 -3/2

A ~

0

-1/2     -9/2 7/2

0 -3/2  -27/2 21/2

Віднімемо від третього рядка другий, помножений на 3.

3/2 -1/2

5/2 -9/2

-3/2 7/2

1 3/2 5/2 -3/2  -1

Л ~

0

0 -1/2 -9/2 7/2 0

00        0          0          0

К/1) = 2.

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

При знаходженні рангу матриці, як правило, треба обчислювати велику кількість визначників. Щоб полегшити цей процес, застосо-вують спеціальні засоби. Ранг можна обчислити, наприклад, так: над матрицею послідовно виконують елементарні перетворення до тих пір, поки в кожному рядку і кожному стовпчику стоятиме не більше одного ненульового елемента. Тоді ранг матриці буде дорівнювати числу цих ненульових елементів.

Приклад 1.32. Знайти ранг матриці А

1

2 1

2 0 1

Розв’язок. Перетворимо в нулі всі елементи першого рядка, крім першого елементу, для чого перший і другий стовпчики залишаємо без зміни, замість третього стовпчика запишемо різницю між пер-шим і третім стовпчиком, а замість четвертого — суму четвертого і першого, помноженого на (–2).

А

 

f1 0      0          01

21        -1        -4

11        0          -1

Далі без зміни залишаємо перший і третій стовпчики, замість дру-гого запишемо різницю між третім і другим стовпчиками, а замість чет-вертого — суму четвертого стовпчика і третього, помноженого на –4.

А

 

r1 0      0 0^

00        -1 0

01        0 1)

І, нарешті, остаточна перетворимо останній стовпчик на нулі. Замість нього запишемо різницю між другим і четвертим стовпчиками.

A ~

 

r1 0      0 0^

00        -1 0

01        0 0

Одержана матриця містить три ненульових елемента, тобто r(A) = 3.

1 1 1 3 -2 1