3.2.6. Основні елементарні функції


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

I. Лінійною називається функція виду у = ах + Ь, де a, b&R Властивості

 

Х         Y         Парність         Монотон-ність          Періодич-ність          Графік

(— со;+со)     (— со;+со)     Загального виду (ні пар-на, ні непар-на), а#0; якщо а=0 -парна            а>0 – зрос-таюча; а<0 – спад-на; а=0 – стала  Неперіодич-на при а Ф 0, а=0 - періо-дична з будь-яким пері-одом     \            І У

 

           

           

           

           

            П         4 X

ряма лінія

II. Функція у = Xа, де a — будь-яка дійсна стала, називається степеневою.

Наведемо властивості степеневої функції, які залежать від показ-

ника а:

( \ь

1.         х° = 1, ХФО.  4. уха \ = х*.

2.         Xа Xі = x° + b.            .

о v, J, v, ь        5. (ху)а = х^у".

ill

 

 

Показ-

ник сте-

пеня    X         Y         Парність         Монотонність           Періоди-чність          Графік

a = п, neN       (—oo;+oo)      (—oo;+oo), ЯКЩО n - не-парне;

(0;+co), якщо n - парне;        Непарна, якщо п - не-парне; парна, якщо п - nap-He       Зростаюча на (-оо;+оо), якщо п -непарне; спадна на (-оо;0] ізростаючана [0;+оо) ,якщо п- nap-He       Неперіо-дична          У'        1 \ у>і 1

 

           

           

           

           

           

            7Т

п -       непарне п -    X

парне

a = -п, neN     (-oo;0) U (0;+oo)        (-°°;0)U (0;+oo), якщо n - непарне; (0;+oo), якщо

n - парне        Непарна, якщо п - не-парне; парна, якщо п - nap-He       Якщо п - парне, зрос-таюча на (-оо;0)і спадна на (0; +оо) ; як-що п - непарне, спадна на(-оо;0) U (0;+оо)       Неперіо-дична          J          \_ J)\._

 

           

           

           

           

           

            7. '

\ 1

п - нспар ч - нєЕарнє           х '

НС

a = i/n, neN      (0;+oo), ЯКЩО n -парне;

(—oo;+oo) ,

ЯКЩО n -непарне    (0;+oo), якщо n - парне; (—oo;+oo), ЯКЩО n - не-парне            Непарна, якщо п - не-парне; зага-льного виду (ні парна, ні непарна), як-що п - парне           Зростаюча на (-оо;+оо), якщо п -непарне; зростаюча на (0; +оо) , якщо п - nap-He Неперіо-дична          A у''/-"

 

           

           

           

           

           

            п - непарне п -          X

- парне          

и a я

я о

и

и

» s

I

ft

s

s

ft «

s

g ft

ft

I

Розділ III. Вступ до математичного аналізу

III. Функція y = (f, якщо a>0, a^O, називається показниковою функцією.

Властивості

 

Х         Y         Парність         Монотон-ність          Періодич-ність          Графік

(-оо;+оо)        (-оо;0) Загально-го вигля-ду (ні пар-на, ні не-парна)      Якщо а>\ -зро-стаюча на

(-оо;+оо); якщо 0<а<1 -спадаюча на

(-оо;+оо)        Неперіо-дична          \ а>\1

0<а<1 —=* "=—

 

           

           

           

           

            (           X

Основні формули:

1.         а° = 1, а^О.

2.         cfay = ах+у.

3.         ах:аУ = а%-у.

 

4.         I ах I = а*2'.

5.         (а£)х = а"^*.

/V. Функція у = loga х, якщо a > 0, афі, називається логариф-мічною функцією. Логарифмічна та показникові функція взаємо обернені.

 

Х         Y         Парність         Монотонність           Періодич-ність          Графік

(0;+со)            ( — оо;+оо)    Загального вигляду (ні парна, ні непарна)            Якщо а>\ -зростаюча на (0;+со) ; якщо 0<а<1 - спа-даюча на (0;+<ю)           Неперіо-дична          У '       а>\      

 

           

           

           

           

            0          ' xQ<a<l х

4. loga

Основні формули:

1.         log 1 = 0, a > 0, аф\.

2.         log (хи) = log х + log z/.

3.         log a = 1.

х

logax – logay.

p 5. log r bp = logab.

179

V. Функції y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x називаються тригонометричними.

 

Функ-ція        Х         Y         Парність         Монотонність           Періодич-ність

y=sin x (— co;+co)

f— +2xn; L2

^ + 2жп] 2      [-1; 1]  Непарна         Зростаюча на

гп Л"п

[U; —J; спадна на 2

[ + 2™; + 2^1 2 2 J    Періодична

Т = 2лп; Гтіп=2;г

y=cos x            (— co;+co)     [-1; 1]  Парна Зростаюча на [-ж + 2жп;2жп]; спадна на [ 2лп; л- + 2;ги ]            Періодична Г= 2тш; Гтіп=2л-

y=tg x  V 2

^2nn) 2            (-oo;+oo}        Непарна         Зростаюча      Періодична Г = я"га; Ттіп=л:

z/=ctg x            (жп;ж + жп)   (— co;+co)     Непарна         Спадна           Періодична Т = лп;

Ттіп=ж

Графіки

 

-Зя/2

тг/2 \я

у = sin X

Y

71

у = COS X У'

-ж/7\ 0

\

 

у = tg x

= CtgX

180

Розділ III. Вступ до математичного аналізу

Основні формули:

1.         sin2 x + cos2 x = 1.

11

2.         1 + tg2 =         2 ; 1 + ctg2 x = 2 ;       tg x ctg x = 1.

cosx     sinx

3.         sin 2x = 2sin x cos x;

cos 2x = cos2 x – sin2 x = 2cos2 x – 1 = 1–2sin2x;

2tg x

tg 2x =

1 - tg2 x

 .          l-cos2x l + cos2x

4.         sm2 x =           ; cos2 x =        .

2          2

5.         sin 3x = 3sin x - 4sin3 x, cos 3x = 4cos3 x - 3cos x;

3tg x - tg3 x

tg 3x=  ;           •

l-3tg x

6.         sin(x±z/) = sin x cos г/+ cos y sin x;

cos(x+z/) = cos x cos г/+ sin x sin г/.

tg x ± tg y

7.         tg(x±z/) =         .

1 + tgxtg?/

1

8.         sin x cos y = — fsin(x + y) + sin(x - г/)1;

2

cos x cos y = [cos(x + y) + cos(x – y)]; 2

sin x sin г/ = — fcos(x - y) - cos(x + г/)1. 2

x + г/ х-г/ 9. sin x + sin y = 2 sincos;

2          2

x-y x+y

sin x - sin y = 2sincos   ;

2          2

181

x + y x-y

cos x + cos y = /cos     cos       ;

2          2

„ . x + y x-y

cos x - cos y = - ism    sin

tg x± tg y =

sin(x±z/)

COS X COS?/

 

10. sin x =

2tg 2

2 X 1 + tg

1-tg2

cos x =            2_;

1 + tg 2 2

 

tg x =

2tg— 2

2 X

2

1-t*

ctg x

j           9

x

1-tgSr 2

2

2tg

 

71

+ ctga;

.a

cos a;

11. sin

sin(;r±a) = +sina;

12. tg — ±

 

cos —±a

[2 ,       = +sino

оач(л±а\          = -cos a;

\%{n±a)           = ±tga;

 

ctg —±a

+ tga;   ctg(^±a)= +ctga.

VI. Функції у = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x називаються оберненими тригонометричними функціями. Вони є оберненими до функцій y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

Розділ III. Вступ до математичного аналізу

 

Функція          Х         Y         Парність         Монотонність           Періодичність

y = arcsin x      [-1; 1]  71 . 71

L 2 ' 2. Непарна         Зростаюча      Неперіодична

y = arccos x     [-1; 1]  [0;ж]    Ані парна, ані непарна         Спадна           Неперіодична

y = arctg x       (-GO;+GO)     7Ї ■ 7Ї

L 2 ' 2. Непарна         Зростаюча      Неперіодична

y = arcctg x      (-GO;+GO)     [0; л]   Ані парна, ані непарна         Спадна           Неперіодична

Основні формули:

1. arcsin a= -arcsin(-«) = — arccos a = arctg==        

2          Vl-«2

к a

2. arccos a = n - arccos(-a) = — - arcsin a= arcctg^  

2          Vl^a1

3. arctg a = -arctg(-« ) =

71

arcctg a = arcsin

a

 

 

к

Vw

2

Графіки

4. arcctg a = n - arcctg(-« ) =

Y

1 X

-Iі /O

 

a

arctg a= arccos

 

Y

71        k

0         

_^y      JT

"2"      

y = arctg x

м

 

y = arcsin x

y = arccos x

 

y = arcctg x

0          X

183

VII. Функціі ch х =     , sh х = називаються гіпербо-

. е - е е + е

лічним косинусом і синусом, а функцїї tax =         —, cthх =        —

е + е    е - е

відповідно гіперболічним тангенсом і котангенсом.

Для гіперболічних функцій справджуються співвідношення:

1.         сігх - sh2x = 1.

2.         sh 2х = 2sh х ch х.

3.         th х cth x = 1.

shx chx

4. th x =

Наведемо графіки головних гіперболічних функцій:

 

-2 -10 1 2

 

            Y'        i

            1 ■      

-1        /C        1 X

./          -1-      

y' /                  

y = sh #

ch

I

 

 

4 X

z/ = th x

y = cth x

184

Розділ III. Вступ до математичного аналізу