2.7.8. Приклади розв’язання задач


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Задача 2.126. Визначити координати центра сфери і її радіус

х1 + у1 + z2 - 6г + 8г/ + 10z + 25 = 0. Розв’язок. Представимо задане рівняння в вигляді (2.43), для цього:

1)         об’єднаємо в ірупи члени, які містять однойменні координати;

2)         виділимо в ірупах повні квадрати (ми раніше так само визна-чали координати центра кола і його радіус). Одержимо:

х2 - 6х + у1 + 8г/ + z2 + 10z + 25 = 0;

х1 - 2 * Зх + З2 - З2 + г/2 + 2 * 4г/ + 42 - 42 + z2 + 25z + 52 - 52 +25= 0; (х - З)2 - 9 + (г/ + 4)2 - 16 + (z + 5)2 - 25 + 25 = 0; (х - З)2 + (г/ + 4)2 + (z + 5)2 = 25.

Порівнюючи з (2.43), маємо a = 3, Ь = -4, с = -5, W = 25. Отже, центр сфери — точка С(3; -4; -5), радіус R = 5.

Задача 2.127. Еліпс з півосями 5 та 3 обертається навколо своєї великої осі, яка співпадає з початком координат. Скласти рівняння поверхні, що описує еліпс при обертанні.

Розв’язок. Складемо канонічне рівняння еліпса з центром в по-чатку координат, який розміщений в площині yOz: a = 5, b = 3.

2          2

У         Z

— +     = 1

x = 0

Щоб одержати рівняння поверхні, яка утворена обертанням елі-пса, що розміщений в площині yOz, навколо осі Оу, необхідно в

рівняння еліпса замінити z на ±VX2 + 22 . Одержуємо еліпсоїд обер-тання, який витягнуто вздовж осі Оу:

2          2          2          2          2          2

V х + Z            х у Z

^— +   = 1, або — + —+ — = 1.

25 9     925 9

Задача 2.128. Скласти рівняння конуса з вершиною в початку координат і напрямною:

[z = c.

Розв’язок. Канонічні рівняння твірних, що проходять через вер-шину О(0; 0; 0) конуса і точку (х; у; z) напрямної, будуть:

X _ Y _ Z

х у Z Виключимо х, у, z із заданих рівнянь. Замінюючи z через с, виз-

 X        Y

начимо х і у із останніх двох рівнянь: х = с—, у = с—.

z          z

Підставимо одержані значення х і у в перше рівняння напрямної,

будемо мати:

2 Y2 r2V2       „,2 , „ 2            2

с л С I 2          х +у Z

2          2          2          2

z          z          a          с

Задача 2.129. Які поверхні визначаються рівняннями:

1) х2 + z2 = 16; 2)      1          = 1; 3) х = 2z; 4)         = 1.

64        57

a , або             ^          = 0.

Розділ II. Аналітична геометрія

Розв’язок. Кожне із цих рівнянь містить тільки дві змінні х і z, та визначає на площині xOz криві: 1) коло; 2) еліпс; 3) параболу; 4) гі-перболу.

В просторі ж кожне із них визначає циліндричну поверхню з твірними, що паралельні осі Оу, так як ці рівняння не містять змінної у. Напрямними цих циліндричних поверхонь являються вказані криві:

1) х2 + z2 = 16 — рівняння прямого кругового циліндра;

2          2

2)         1          = 1 — рівняння еліптичного циліндра;

64

3) х = 2z2 — рівняння параболічного циліндра;

2          2

4)         = 1 — рівняння гіперболічного циліндра.

57

Задача 2.130. Гіпербола з півосями 3 і 4 обертається навколо своєї уявної осі, яка співпадає з віссю Oz. Центр гіперболи співпадає з початком координат. Скласти рівняння поверхні, яку одержуємо при обертанні гіперболи.

Розв’язок. Складемо канонічне рівняння гіперболи з центром в початку координат, що знаходяться в площині yOz: a = 3; b = 4;

2          2

y—z- = 1,

9 16

x = 0.

Щоб скласти рівняння поверхні, утвореної обертанням гіпербо-ли, що знаходиться в площині yOz, навколо осі Oz, необхідно в рівнян-

х +у

1.

ня гіперболи замість у підставити ±д/-л'

(У^7)2 г2_1 або х2+у2 г2

9          16        916

Отже, одержуємо однопорожнинний гіперболоїд обертання:

2          2          2

9 9 16

161