§1.2. Визначники 1.2.1. Теоретичні відомості


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Число А називається визначником (детермінантом) другого

порядку і позначається так:

Д =

21

22

 CL11C22

 

$21 12-

(1.1)

Числа а11, а12, а21, а22 — елементи визначника, причому перша циф-ра індексу у записі числа вказує на номер рядка, в якому стоїть цей елемент, а друга цифра індексу — на номер стовпчика. Діагональ, на якій розміщені елементи а11 і а22, називається головною діагоналлю, а діагональ, на якій знаходиться а12 і а21, називається побічною. Отже, визначник другого порядку дорівнює різниці добутків елементів го-ловної та побічної діагоналей.

Аналогічно, визначником третього порядку називається число, що утворюється з дев’яти чисел за таким правилом:

31

22

23

а аа + а аа + а аа – а аа

11 22 33          21 32 13          31 12 23          31 22 13

— а12а21а33 – а11а23а32.   (1.2)

Ця сума складається з шести додатків. В кожний додаток вхо-дить по одному числу з кожного рядка і в той ж час по одному еле-менту кожного стовпчика. Знаки додатків легко запам’ятати корис-туючись схемами:

 

о

 

Нагадаємо основні властивості визначників третього порядку.

1.         Величина визначника не зміниться, якщо його рядки замінити стовпчиками, причому кожен рядок замінюють стовпчиком з тим же самим номером.

2.         Якщо у визначнику поміняти місцями лише два рядки (або два стовпчики), то визначник змінює знак на протилежний, зберіга-ючи абсолютне значення.

3.         Якщо визначник має два однакових стовпчика або два однако-вих рядка, то він дорівнює нулю.

4.         Якщо визначник містить два пропорційних рядки (стовпчики), то значення його дорівнює нулю. Якщо елементи деякого рядка (стов-пчика) дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.

5.         Якщо всі елементи деякого рядка (стовпчика) помножити на одне й те ж число, то значення визначника також помножиться на це число. Звідси зрозуміло, що спільний множник всіх елементів рядка (стовпчика) можна винести за знак визначника.

6.         Якщо кожний елемент деякого рядка (стовпчика) є сума двох доданків, то визначник можна представити у вигляді суми двох виз-начників: в першому з них на місці кожної суми лишається тільки перший доданок, а в другому — тільки другий доданок (інші елемен-ти визначника зберігаються).

7.         Значення визначника не змінюється, якщо до елементів деякого рядка (стовпчика) додати відповідні елементи іншого паралельного рядка (стовпчика), помноживши їх попередньо на одна й те ж число.

Якщо у визначнику A (1.2) викреслити і-тий рядок іj'-тий стовп-чик, на перетині яких розміщено елемент а.., то одержимо визначник другого порядку, який називається мінором М.. елемента а... Алгеб-

рагчним доповненням А. елемента а.. визначника A (1.2) називається відповідний йому мінор зі знаком, який обчислюється за таким пра-вилом:

А.. = (-1)і+іМ...          (1.3)

Ще одна властивість визначника.

8.         Визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка

(стовпчика) на відповідні їх алгебраїчні доповнення.

Якщо за цим правилом розкрити визначник A (1.2) по першому рядку то одержимо:

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

A = aA + anA + aA=a

11 11   12 12   13 13 11

 

a

22        a

23        – а       a

21        a

23

a

32        a

33                    a

31        a

33

 

+ а

U21 0-22

#31 (232

(1.4)