2.5.4. Приклади розв’язання задач


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Задача 2.91. Задано дві точки М1(3; –1; 2) і М2(4; –2; –1). Скла-сти рівняння площини, яка проходить через точку М1 перпендику-

лярно вектору M1M2 .

Розв’язок. Скористаємося рівнянням (2.27). Одержимо рівняння площини, яка проходить через точку М1:

А(х – 3) + В(у + 1) + С(z – 2) = 0. Нормальний вектор

MtM2 = (4 - 3)f + (-2 + \) j + (-1 - 2)k = i - j - "ik = = {1; -1; -3}.

Підставимо координати вектора M1M2 = {1; –1; –3} замість А, В і С в рівняння, що одержали раніше, будемо мати:

(х – 3) – (у + 1) – 3(z – 2) = 0 або х – у – 3z + 2 = 0.

Це й є шукане рівняння площини.

Задача 2.92. Знайти рівняння площини, що проходить через точ-ки М1(3; 0; 4) і М2(5; 2; 6) перпендикулярно до площини 2х + 4у + + 6z – 7 = 0.

Розв’язок. Нехай точка М(х; у; z) — довільна точка шуканої пло-

щини. Тоді вектори M1M = {x – 3; y – 0; z – 4} i M1M2 = {2; 2; 2} належать цій площині.

Вектори M1M і M1M2 компланарні з нормальним вектором

N = {2; 4; 6} заданої площини 2х + 4у + 6z – 7 = 0. Через це міша-ний добуток цих трьох векторів дорівнює нулю:

(MtM ■ MiM2 ■ N) = 0 138

Розділ II. Аналітична геометрія

або

x-3 z/-0 2-4

2          2          2 =0.

2          4          6

Розв’язавши визначник, одержимо шукане рівняння площини: x- 2z/+ z - 7 = 0.

Задача 2.93. Обчислити відстань d від точки Р(-1; 1; -2) до

площини, що проходить через три точки М.(1; -1; 1), М„(-2; 1; 3) і М„(4; -5; -2).

Розв’язок. Складемо рівняння площини, що проходить через три задані точки М.(1; -1; 1), М„(-2; 1; 3) і М„(4; -5; -2). Використаємо формулу (2.23):

2-        1

3-        1

-2        -1

х-1 Z/ + 1 -2-1 1 + 1 4-1 -5 + 1

х-1 г/ + 1 2-1 -3 2 2 3 -4 -3

Розкривши визначник, одержимо рівняння площини

2г - Зг/ + 6z - 11 = 0.

А тепер обчислимо відстань d від точки Р(-1; 1; -2) до площини 2х - Зг/ + 6z - 11 = 0. Використаємо формулу (2.32):

|2(-1)-3(1) + 6(-2)-И

d

4.

-28[_28

7 " 7

#

■(-3)2+62       7

<і = 4 (од. довж.). Задача 2.94. Скласти рівняння площини, що проходить через точку перетину трьох площин 2x-y- z -\ = Q, х + 2z - 4 = 0, х - у = 0, через початок координат і через точку Р(7; 1; 2).

139

Розв’язок. Знайдемо точку перетину трьох заданих площин. Для цього розв’яжемо систему рівнянь:

 

                        2x-z/-   2-1 = 0,

            х + 22-4 = 0,

            х-г/ = 0.

Знайдемо визначник системи:

            2 -1 -1

л =       10 2     = 1 - 2 + 4 = 3.

            1          -1 0    

Знайдемо визначник А:

 

1

-1 -1

4          0 2

0          -1 0

 4 + 2 = 6.

Таким чином:

 

х

2; х = 2.

3

Із третього рівняння системи знайдемо, що

у = х, г/ = 2. Із другого рівняння системи знаходимо z.

4-х 4-2

1.

1,

22

Точка перетину трьох заданих шющин М(2; 2; 1). Для знаходження рівняння шуканої площини використаємо фор-мулу (2.23).

х-0       г/-0      2-0

2-0      2-0      1-0

7-0      1-0      2-0

140

Розділ II. Аналітична геометрія

Спростивши, маємо:

х у z 2 2 1=0. 7 12

Розкривши визначник, одержимо рівняння шуканої площини:

х + у - Az = 0. Задача 2.5.95. Знайти канонічне рівняння прямої:

Г3х +2г/+ 4z = ll, [2x + y-3z = l.

Розв’язок. Нехай х, = 1, тоді маємо:

і

|3-l + 2z/ + 4z = ll J2z/ + 4z = 8, [2-l + y-3z = l =>\y-3z = -i. Від першого рівняння віднімемо друге, помножене на 2:

|2z/ + 4z = 8,

[2y-6z = -2.

10z = 10, zi = 1. г/ = 1 + 3z - 2х, г/ = 1 + 3 - 2 = 2, г/ = 2. Отримали точку площини М.(1; 2; 1).

Знайдемо вектор S:

5

 

2          4          / +        4 3       ?' +      3 2

1          -3                    -3 2                 2 1

jfe = -10i + 17;-Jfe.

Маємо / = -10, т = 17, и = -1.

Користуючись формулою (2.34), одержуємо канонічне рівняння прямої:

х-1 у-2 2-1

10 17

1

Задача 2.96. Скласти канонічне та параметричне рівняння, що проходять через точки М1(3; –5; 2) та М2(1; –1; –4).

Розв’язок. За формулою (2.36) маємо:

х-3 у + 5 2-2 х-3 у + 5 2-2

1-3

1 + 5 -4-2

6

або

х-3 у + 5 2-2

це канонічне рівняння прямої.

1          -2 3

Для знаходження параметричного рівняння цієї прямої викорис-таємо формулу (2.35), тоді одержимо:

x = 3 + t,

y = -5-2t, te(-oo;oo)

z = 2 + 3t.

Задача 2.97. Скласти рівняння прямої, що проходить через точ-

ку М (2; –3; 4) і перпендикулярно до прямих

х + 2 у-3 2 + 1

1

1

х + 4 _ у-0_2-4

2 "1"3 .

Розв’язок. Рівняння шуканої прямої є: х-2_у + 3_ 2-4

/           m         и

Задані прямі мають напрямні вектори:

S1 = {1; -1; 1} i 52 = {2; 1; 3}. Так як шукана пряма перпендикулярна до заданих прямих, то за

напрямний вектор її можна прийняти векторний добуток S1xS2:

^ = [^1S2]

і j k 1 -1 1 213

-4i-j + 2k,

142

Розділ II. Аналітична геометрія

або

S = {/; т; п) = {-4; -1; 2}. Звідси буде, що координати напрямного вектора шуканої прямої дорівнюють: / = -4, т = -1, п = 2. Шукана пряма має рівняння:

х-2_у+3_z-A -4 " -1 "^Г' або

х-2 _ г/ + 3 _ 2-4 4 " 1 ~^2" Задача 2.98. Знайти координати точки перетину прямої

х-1 у+2 2-2     „

            =          =          з площиною Зх - у + 2z + 5 = 0.

211

Розв’язок. Представимо рівняння прямої в параметричній формі. Прирівняємо кожне з співвідношень, які входять в рівняння прямої, до параметра t

х-1       у + 2    2-2

            = t;       = t;       = t;

2          11

x = 2t +l; y = t - 2; z = t + 2.

Шдставимо ці значення x, y, z в рівняння площини:

3(2t + 1) - (t - 2) + 2(t + 2) + 5 = 0,

&t + ?> - t + 2 + 2t + 4 + 5 = 0,

It + 14 = 0,

t = -2.

Одержане значення t = -2 є значенням параметру в точці пере-

тину прямої з площиною. Шдставляємо це значення в параметричні

рівняння прямої:

x = 2t +\; y = t - 2; z = t + 2,

одержуємо:

х = 2(-2) + 1 = -3, у = -2 - 2 = -4, z = -2 + 2 = 0 — точку перетину

прямої 3 площиною.

Отже, пряма перетинає площину в точці М(-3; -4; 0).

Задача 2.99. Знайти проекцію точки М(2; -1; 3) на площину х + Зг/ - 4г -13 = 0. Розв’язок.

а)         Складено рівняння прямої, що проходить через точку М(2; -1; 3)

перпендикулярно до площини х + Зг/ - 4г - 13 = 0. Спочатку напи-

шемо рівняння прямої, що проходить через точку М(2; -1; 3):

х-2_у + 1_2-3

/           т          п

На основі умови перпендикулярності прямої і площини

ABC

~г- — - — числа /, т, п пропорційні числам А, В, С із рівняння / т п

площини. Через це, замінивши в останньому рівнянні /, т, п числа-

ми 1, 3, -4, одержуємо рівняння прямої в вигляді:

х-2_у+1_2-3

б)         Щоб знайти проекцію точки на площину, необхідно знайти

координати основи перпендикуляра, проведеного із точки М на пло-

щину, тобто точку перетину прямої 3 площиною.

х-2_у+\_2-3

< 1 "~"^4'

х + Зг/-42-13 = 0.

.. х-2 у + 1 z-3

Рівняння прямоі        =          =          представляємо в парамет-

ричній формі. Одержимо: х = t + 2, у = 3t - \, z = -it + 3. Одержані значення х, у, х підставляємо в рівняння площини:

t + 2 + 3(3t - 1) - 4(-4t + 3) - 13 = 0,

t + 2 + 9t - 3 + 16t - 12 - 13 = 0,

26t - 26 = 0, t =\.

Значення параметра t =\ підставимо в рівняння

x = t + 2, y =3t -\, z = -At + 3.

Маємо:

Розділ II. Аналітична геометрія

x = 1 + 2 = 3, z/ = 3*l-l = 2, z = -4*l + 3 = -l. Отже, проекція точки на площину є точка М.(3; 2; -1). Задача 2.100. Скласти рівняння площини, що проходить через

 х-1 у-3 z

ку М.(1; 1; -2) і пряму           =          = —.

Z          15

Розв’язок. В шуканій площині повинні знаходиться точка

х-1 у-3 z

М1(1; 1; –2) та пряма

. Виберемо в шуканій пло-

1

 Х-1 у-3 Z

щині точку М(х, у; z). Якщо пряма =          = — лежить в шу-

2          15

каній площині, то точка Р(1; 3; 0) заданої прямої знаходиться в пло-щині, а напрямний вектор S = {2; -1; 5} паралельний шуканій

площині. Розглянемо вектори: M1M = {x – 1; y – 1; z + 2},

MtM ■ MJ3 -5= 0, х-1 у-\ 2+2

M1P = {1 – 1; 3 – 1; 0 + 2} та S = {2; –1; 5}. Ці вектори компла-нарні, а це означає, що їх мішаний добуток дорівнює нулю:

або

 0.

022 215

Розкриваємо визначник:

10(х – 1) + 0(z + 2) + 4(y – 1) – 4(z + 2) – 2(x – 1) – 0(y – 1) = 0; 8(x –1) + 4(y – 1) – 4(z + 2) = 0; 2(x – 1) + (y – 1) – (z + 2) = 0; 2x + y – z – 5 = 0.

Ми отримали рівняння шуканої площини.