§ 2.5. Площина та пряма в просторі 2.5.1. Площина


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Будь-яке рівняння першого степеня з трьома змінними визначає площину. І навпаки, будь-яка площина визначається рівнянням пер-шого степеня відносно змінних координат, які задають довільну точ-ку площини.

2.5.1.1. Загальне рівняння площини

Загальне рівняння площини має вигляд:

Ax + By + Cz + D = 0,           (2.21)

де числа А, В, С — координати нормального вектора. Особливі випадки рівняння (2.21):

а)         Якщо в рівняння (2.21) вільний член D = 0, тоді одержуємо

рівняння

Ax + By + Cz = 0        (2.22)

площини, що проходить через початок координат.

б)         Нехай в рівняння (2.21) один із коефіцієнтів А, В або С дорів-

нює нулю. Тоді одержимо рівняння площин, які паралельні відповід-

ним координатним осям.

Рівняння площини, що паралельна осі Ох:

By + Cz + D = 0.        (2.23)

Рівняння площини, що паралельна осі Оу:

Ax + Cz + D = 0.        (2.24)

Рівняння площини, що паралельна осі Оz:

Ax + By + D = 0.        (2.25)

Необхідно запам’ятати, що якщо площина паралельна якій-небудь координатній осі, то в її рівняння відсутній член, який містить коор-динату, однойменну з цією віссю.

в)         Якщо в рівняннях (2.23), (2.24), (2.25) вільний член D = 0, то

одержимо рівняння площин, які проходять через відповідні осі ко-

ординат.

Рівняння площини, що проходить через вісь Ох:

By + Cz = 0.

Рівняння площини, що проходить через вісь Оу:

Ах + Cz = 0. Рівняння площини, що проходить через вісь Oz:

Ax + By = 0.

г)         Нехай в рівнянні (2.21) два коефіцієнта дорівнюють нулю, тоб-

то: В = С = 0, або A = С = 0, або A = В = 0. Тоді одержуємо рівняння

площин, які паралельні відповідним координатним площинам:

Рівняння площини, що паралельна координатній площині yOz:

Ax + D = 0, або х = a. Рівняння площини, що паралельна координатній площині xOz:

By + D = 0, або у = Ь. Рівняння площини, що паралельна координатній площині хОу:

Cz + D = 0, або z = c.

д)         Нехай в рівнянні (2.21) три коефіцієнти В, С i D, або A, С i D,

або A, В i D дорівнюють нулю. Тоді одержуємо рівняння координат-

них площин.

Рівняння координатної площини yOz:

Ax = 0, або х = 0. Рівняння координатної площини xOz:

By = 0, або у = 0. Рівняння координатної площини хОу:

Cz = 0, або z = 0.

2.5.1.2.            Рівняння площини в відрізках

Рівняння площини в відрізках має вигляд:

X         У         Z

—ь — + — = 1,         (2.26)

а Ь с

де a, b і с — величини відрізків, які відтинає площина на осях координат.

2.5.1.3.            Рівняння площини, що проходить через задану точку

Рівняння площини, що проходить через задану точку MJx; z/; z0) має вигляд:

Розділ II. Аналітична геометрія

А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0) = 0,           (2.27)

де А, В, С — координати нормального вектора площини N = {А; В; С}.

2.5.1.4. Рівняння площини, що проходить через три задані точки

Рівняння площини, що проходить через три задані точки М1(х1; у1; z1), М2(х2; у2; z2) і М3(х3; у3; z3), які не лежать на одній прямій має вигляд:

 

У-Ух

z-z

 

0.

(2.28)

■^з -^і Уз У\ ^з

2.5.1.5. Кут між двома площинами

Кут між двома площинами, які задані рівняннями: А.х + В.у + C.z + D = 0,

і           w         1          1

AJC + Вм + C„z + Д = 0 визначається за формулою:

А1А2+ВІВ2 + С1С2

cos^ = +

 7л2 + В2 + Ct * JA22 + В22 + С2 Умова паралельності двох площин має вигляд:

Авісі

A2B2C2

Умова перпендикулярності двох площин має вигляд:

А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0.

(2.29)

(2.30) (2.31)

2.5.1.5. Відстань між точкою та площиною

Відстань від точки М0(х0; у0; z0) до площини Ax + By + Cz + D = 0 визначається за формулою:

d

Ах0 + Ву0 + Cz0 + D

У]А2+В2+С2

(2.32)

133