2.4.1. Приклади розв’язання задач


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Задача 2.76. Валова продукція на 1 га сільськогосподарських угідь за чотири роки збільшилась на 24%. Скласти рівняння прямої, яка відображує зміну валової продукції на 1 га протягом чотирьох років за умови, що валова продукція у відсотках змінюється пропор-ційно часу. Дослідити вплив розширення тракторного парку на зро-стання врожаю зернових

Розв’язок. Валову продукцію, випущену у перший рік, приймає-мо за 100% і будемо шукати рівняння прямої у вигляді у = kx + b:

24        , ,

k = — = 6,1; 100 = 6,1*1 + 6; 0 = 93,9. 4

Отже у = 6,1х + 93,9, де х — рік.

Задача 2.77. В 1980 р. держава мала 108,5 тисяч тракторів і одер-жала з одного гектара 8,5 ц зернових В 1995 р. держава мала 510 тисяч тракторів і одержала з одного гектара 21 ц зернових

Розв’язок. Позначимо час — х, кількість тисяч тракторів — у; вро-жай, який одержали з одного гектара, позначимо — z (центнерів).

Розділ II. Аналітична геометрія

За умовою задачі маємо чотири точки: А(х1, у1); х1 = 1980, у1 = 108,5; В(х2, у2); х2 = 1995, у2 = 510; М(х1, z1); х1 = 1980, z = 8,5; М(х2, z2); х2 = 1995, z2 = 21.

Знайдемо рівняння прямих — графіків зростання тракторного

парку та врожайності зернових з одного гектара за 1980-1995 роки у вигляді у = kx + b, — рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Використовуючи рівняння прямої, що проходить через дві задані очки, одержимо:

х-1980 Z/-108.5 х-1980 у-108,5

1995-1980 510-108.5            15        401,5

=> 401,5л:- 401,5-1980 = 15г/ -15 • 108,5 => ^>15г/ = 15 • 108,5 + 401,5 -х -401,5 -1980 =>

=> 15г/ = 401,5а:-793342,5^ у = 401,5х-793342,5 .

У         У 15    15

Таким чином, кутовий коефіцієнт прямої зростання тракторного парку буде:

^=01.5«26,77.

401.5 15

Використовуючи точки М1 та М2, аналогічно знаходимо рівняння прямої зростання врожайності зернових з одного гектара.

х-1980 г-8,5 _ х-1980_ 2-8,5 _

1995-1980 "21-8,5^ 15          12,5 ^

=>12,5x-1980-12,5 = 15z-8,5-15=> => 152 = 12,5х-12,5-1980 -8,5-15 =>

=>15z = 12,5*-24877,5.

Отже її кутовий коефіцієнт буде:

12 5 L =—-0,83. 2 15

125

З умов задачі можна зробити висновок, що при зростанні трак-торного парку врожайність зернових з 1га зростає. Але кутовий ко-ефіцієнт k1 графіка зростання кількості тракторів значно більший за кутовий коефіцієнт k2 графіка зростання врожайності зернових. Та-ким чином, зростання тракторного парка сприяє зростанню врожай-ності. Зернових, але не пропорційно. Зростання кількості тракторів — зростання енергоозброєності сільського господарства не є основним фактором у підвищенні ефективності сільського господарства. Необ-хідно враховувати вплив інших факторів, наприклад, якості насіння, культуру агротехніки.

Задача 2.78. Транспортні витрати перевезення одиниці вантажу (y) залізничним та автомобільним транспортом на відстань (x) зна-ходять за формулами:

У

1

x + 10 та y = x + 5,

де (x) вимірюється десятками км. Визначити рентабельність транс-портного постачання.

 

Розв’язок. Побудуємо графіки транспортних витрат перевезення (див. рис. 2.19). Графіки прямих перетинаються в точці N(10; 15). Для перевірки координат точки N знайдемо точку перетинає аналі-тично:

x + y = 10 5

2

-x + y

-x + 2y = 20 x - z/ = -5

Рис. 2.19.

=^> г/ = 15; x = 10.

Графіки витрат дозволяють зробити висновок:

а)         коли хє [0, 10], тобто х < 100 км, транспортні витрати у пере-

везення автотранспортом нижче витрат перевезення залізничним

транспортом;

б)         коли хе [10, со], тобто х > 100 км, більш рентабельним буде

залізничний транспорт.

Розділ II. Аналітична геометрія

Наведемо приклади задач, пов’язані з використанням рівнянь другого порядку.

Задача 2.79. Дослідженням виявлено, що витрати палива суд-ном на підводних крилах зростають пропорційно квадрату швидкості судна. Треба знайти аналітичну залежність між витратами палива т та швидкістю судна V, враховуючи, що при V = 40 км/год витрачено 20 л палива за годину, а також визначити витрати палива за годину при швидкості 60 км/год.

Розв’язок. Згідно з умовою задачі шукану залежність записати у вигляді:

V2 -km, де k — деякий коефіцієнт пропорційності

Порівняння цієї формули з рівнянням параболи у2 = 2рх доз-воляє зробити висновок, що витрати палива змінюються за парабо-лічним законом. При т = 0 швидкість V = 0, тобто парабола прохо-дить через початок системи координат mOV. Згідно з умовою задачі парабола проходить через точку М0(20; 40), тому її координати задо-вольняють рівнянню параболи

402 = k ■ 20, k = 80.

Таким чином, аналітична залежність між витратами палива та швидкістю судна буде:

 

Рис. 2.20.

80-т

т

v 80

Графік цієї залеж-ності зображено на рис. 2.20. З останньої формули випливає, що при швид-кості 60 км/год витрати палива (у літрах) за годи-ну повинні дорівнювати:

т

45 (літрів) .

602

Задача 2.80. Два однотипних підприємства А та В виробляють продукцію з однією і тією ж відпускною оптовою ціною т за один виріб. Однак автопарк, що обслуговує підприємство А, оснащений новішими та потужнішими вантажними автомобілями. Тому транс-портні витрати на перевезення одного виробу складають за 1 км: для підприємства A — 10 грош. од., а для підприємства В — 20 грош. од. Відстань між підприємствами 300 км. Як територіально має бути поділений ринок збуту між двома підприємствами для того, щоб витрати споживача на відвантаження виробів та їх транспортування були мінімальними?

Рішення. Позначимо через Si та S2 відстані до ринку від пунктів A та В відповідно. Тоді витрати споживачів складуть:

f(A) = т + 105.; f(B) = т + 205„.

Знайдемо множину точок, для яких 5. = 25„, тобто ті випадки

 12

розміщення ринку, коли f(A) = f(B).

Sx=^x2+y2; S2 =yj(300-х)2 + y2 ■

yjx2+y2 = 2^1 (300-xf+y2 ;

x2 + y1 = 360000 - 2400r + Ax2 + Ay2; (x - 400 )2 + y2 = 2002.

Це коло. Таким чином, для споживача всередині кола вигідніше купувати у пункті В, поза колом — у пункті A, а на колі — однаково.

Задача 2.81. Компанія виробляє вироби А та продає їх по 2 до-лари за кожний. Керівництво компанії встановило, що сума ув за-гальних щотижневих витрат (в доларах) на виготовлення виробів A кількістю х (тисяч одиниць) має таку закономірність:

ув = 1000 + ІЗООх + ІООх2.

Визначити щотижневу кількість виготовлення та продажу виробів А, яка забезпечує рівновагу витрат та доходу.

Розв’язання. Доход від продажу х тисяч виробів А вартістю 2 долари за кожний буде:

уД =2000х.

Для рівноваги доходу та витрат треба щоб виконувалась рівність:

Розділ II. Аналітична геометрія

ув=уд ^1000 + 1300х + 100х2=2000х^х2-7х +10 = 0^ ^>(х-2)(х-5) = 0=> xt =2; х2=5.

Отже, ця задача має дві точки рівноваги. Компанія може вироб-ляти 2000 ■ (х - 2) виробів А з доходом та витратами 4000 доларів, або 5000 (х = 5) виробів з доходом та витратами 10000 доларів.

Розглянемо на цьому прикладі можливості компанії. Позначимо щотижневий прибуток Р, тоді

Р = Уд-Уд=2000х-(1000 + 1300х + 100х2) =

= -1000 + 700х-100х2 =-100(х-2)(х-5).

3 останнюї рівності випливає, що при х = 2 або х = 5 маємо Р = 0, тобто ці значення х будуть точками рівноваги.

Коли 2 < х < 5, тоді х - 2 > 0, х- 5 < 0 і маємо Р > 0. Тобто компанія одержить прибуток. При інших значеннях х, тобто коли х£ [2, 5] будемо мати Р < 0 — компанія несе збитки.