2.3.5. Приклади розв’язання задач


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Задача 2.51. Скласти рівняння кола з центром в точці С(2; -3) і радіусом, що дорівнює 6.

Розв’язок. В рівнянні (2.16) (х - df + (г/ - bf = г2 маємо a = 2; Ь = -3; г = 6. Зразу одержимо:

(х - 2)2 + (г/ + З)2 = 36. Задача 2.52. Визначити центр і радіус кола, яке задано рівнянням:

х2 + г/2 - 2х + 4г/ - 20 = 0. Розв’язок. Так як в заданому рівнянні коефіцієнт при х2 і г/2 рівня між собою і відсутній член з добутком координат, то задане рівнян-ня є рівнянням кола. Його необхідно привести до вигляду (2.16). Випишемо члени, ЯКІ МІСТЯТЬ ТІЛЬКИ X, і члени, які містять тільки г/. Виділимо повний квадрат:

х2 - 2х = х2 - 2х* 1 + I2 - I2 = (х - 1 )2 - 1, у2 + 4г/ = г/2 + 2г/ * 2 + 22 - 22 = (г/ + 2)2 - 4. Ліва частина заданого рівняння запишеться так:

(х-1)2-1 + (г/ + 2)2-4-20 = 0

            v                                  v          *

Xі -2х у2+^У

звідки: (х - I)2 + (г/ + 2)2 = 25.

Порівнюючи одержане рівняння з рівнянням (2.16) приходимо до висновку, що це рівняння визначає коло, центр якого має коорди-нати С(1; -2), г2 = 25, a г = 5.

Задача 2.53. Скласти рівняння кола, що проходить через точки М.(-1; 1) і М„(1; -3), якщо центр його лежить на прямій 2г - г/ +1 = 0. Рішення. Канонічне рівняння кола:

(х - df + (г/ - bf = т2.

Розділ II. Аналітична геометрія

Так як коло проходить через точки М^-І; 1) і М2(1; -3), то ко-ординати цих точок повинні задовольняти рівнянню кола. Звідти маємо два рівняння:

(-1 - а)2 + (1 -Ь)2 = т2, (1 - а)2 + (-3 -Ь)2 = г2. Якщо центр кола знаходиться на прямій 2х - у + 1 = 0, то коор-динати центра повинні задовольняти рівнянню прямої. Одержуємо трете рівняння:

їа - Ь + 1 = 0. Розв’яжемо систему рівнянь:

1+        2а + а2            + 1       -2Ь

1-        2а + а2            + 9       + 66

2a        -Ь + 1  = 0.     

\-l-af+(l-bf=r2, (l-af+(-3-bf=r2 2a-b + l = 0,

Віднімемо від першого рівняння друге. Одержимо систему:

Г4А-8А-8 = 0, [2а-Ь + і = 0. Тепер віднімемо від першого рівняння друге, помножене на 2:

Г4А-8А-8 = 0,

[Aa-2b + 2 = 0. Отримаємо:

-ЗЬ = 5,

ь=-5-.

3

Шдставивши отримане значення b у рівняння 2а - b + 1 = 0, одержимо значення параметру а:

_5_!

Ь-\ 3    4

Таким чином, координати центра кола знайдено: С

З' 3

115

Щоб визначити т2, скористаємося рівнянням: 7а = (-1 -df + (1 - b)2;

4          5          164 65

ї2 = (-\ + — )2 + (1 + т )2 = — + — = — •

3          3 99 9

Отже, рівняння кола:

(^ + т) + (г/ + 7 ) = — •

3          3          9

Задача 2.54. Скласти рівняння кола, що проходить через три задані точки: М^-І; 5), М2(-2; 2) і М3(5; 5).

Розв’язок. Шукане рівняння має вигляд: (х - df + (у - bf = т2. Так як коло проходить через задані точки, то координати кожної з цих точок задовольняють рівнянню кола.

Підставляємо по черзі в шукане рівняння координати заданих точок, одержимо три рівняння для визначення a, b і г.

 

(-l-a)2+(5-bf=r2,         \ + 2a + a2+25-10b + b2=r2,

(-2-af+(-2-bf=r2,^      A + Aa + a2 +A + Ab + b2 =r2,

(5-a)2+(5-bf=r2,         25-10a + a2 +25-10b + b2 =r2.

Від першого рівняння віднімемо друге, а потім від першого рівнян-ня віднімемо трете. Одержуємо систему двох рівнянь з двома невідо-мими:

ї-2а-1АЬ + 18 = 0, Їа + 7Ь = 9,

[-24 + 12а = 0.           \а = 2.

Звідки a = 2, Ь = 1.

Для знаходження г2 скористаємося точкою М.(-1; 5) і рівнянням:

г2 = (х - df + (г/ - bf. г2 = (-1 - 2)2 + (5 - I)2 = 9 + 16 = 25.

Шукане рівняння кола моє вигляд:

(х -2)2 + (у - I)2 = 25.

Задача 2.55. Знайти довжину осей, координати фокусів і екс-центриситет еліпса 4г2 + 9г/2 = 144.

Розділ II. Аналітична геометрія

Розв’язок. Приведемо це рівняння до канонічного вигляду (2.17):

2          2

х у ,

—        + — = 1

а2 Ь1 '

Розділивши обидві частини заданого рівняння на 144, одержимо:

2          2

х у

—        + ^- = 1.

36 16

Звідти одержуємо, що а2 = 36, Ь2 = 16. Отже a = 6, 2а = 12; Ь = 4, ЇЬ = 8. Знаючи а і Ь, із співвідношення а2 - с2 = Ь2 знаходимо с:

с2 = а2 - Ь2 = 36 - 16 = 20, с = V20 = 2V5. Координати фокусів будуть: і7^ 2-у/5 ; 0) і F2( -2V5 ; 0).

с 2S S

Ексцентриситет еліпса є - — -        =          .

a 6 3

Задача 2.56. Велика вісь еліпса дорівнює 8, а відстань між ди-ректрисами дорівнює 16. Знайти рівняння еліпса. Чому дорівнює його ексцентриситет?

Розв’язок. Для знаходження рівняння еліпса необхідно знайти його піввісі а ти Ь. За умовою 2а = 8, a = 4.

Піввісь Ь знаходимо із співвідношення Ь2 = а2 - с2, a с можна знайти, використовуючи відстань між директрисами

па2 dA = z— = 16,

12        с

а2 42 Таким чином, Ь2 = 42 - 22 = 16 - 4 = 12.

2          2

Одержуємо рівняння елшса:            ь ^— = 1.

16 12

с 21 Ексцентриситет еліпса е = — = — = —.

a 42

Задача 2.57. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої знаходять-ся на осі абсцис, симетрично відносно початку координат, якщо за-

-2

9 дана точка М1( ; –1) гіперболи та рівняння асимптот y

3

2

2          2

Розв язок. Для знаходження рівняння гіперболи  — = 1 не-

обхідно знайти її піввісі а та Ь. Скористуємося умовою: точка

д^( 9

м. —; -1) знаходиться на гіперболі, а це означає, що координати

12

точки М повинні задовольняти рівнянню гіперболи:

1

(-1)2 1 81_1 = 1

S2        4o2 f,2 '

 

a          2          a2

6                      a

= ±2

x, а ми маємо y

x . Отже,

3

81

-±»

Рівняння асимптот y

a

Одержали систему рівнянь: 81 1

4a2

81 1

2

a 3

 1,

4a2 6

h 2 b = — a.

3

b = —a. 3

6 2

— = —

a 3

 

a

=>

 

= 1

72

4a2

b =—a. 3

a2 =18,

b =—a. 3

 3/2,

», 2

b =—a. 3

118

Розділ II. Аналітична геометрія

Шдставимо отримані значення параметрів в канонічне рівняння гіперболи:

2          2

х1        У _л

(3V2)2 (2V2)2 Таким чином, отримуємо шукане рівняння гіперболи:

2          2

х          У _А

18 8 Задача 2.58. Знайти канонічне рівняння гіперболи, якщо кут між

її асимптотами дорівнює 120° і відстань між фокусами дорівнює 8V3 ■ Розв’язок. Канонічне рівняння гіперболи має вигляд:

2          2

х          У_А

2          7 2

a о

,Ь         b

= ± —

Рівняння асимптот у = ±- х, де — = tg(p, a #? - кут нахилу

й          a

асимптоти до осі Ох.

120°

Так як кут між асимптотами дорівнює 120°, то ср =        = 60°.

„ b Ь гт:           гг

Звідси tg60 = —; — = V3; b = ^3a. a a

За умовою задачі 2c = 8v3, TO C = 4л/3. Із співвідношення c2 = a2 + fe2 одержуємо друге рівняння:

(4-\/3 )2 = a2 + b2. Розв’яжемо систему рівнянь:

Гй2+62=48, fa2+(V3a)2=48,

{Ь = УІЗа.       [Ь = \ІЗа.

2          2

* у =1

(2V3) 2 6 2

Отримуємо рівняння:

1.

X         У_

12 36

Задача 2.59. Скласти рівняння параболи, знаючи, що парабола симетрична відносно осі Ох, проходить через точку М(1; -4) і поча-ток координат.

Розв’язок. Канонічне рівняння параболи, що симетрична віднос-но осі Ох, вершина якої знаходиться в початку координат є у2 = 2рх. Для складання рівняння необхідно знайти значення параметра р. Так як парабола проходить через точку М(1; -4), то координати цієї точ-ки задовольняють рівнянню параболи:

(-4)2 = 2р • 1, 16 = 2р, р = 8.

Звідси у2 = 16х

Задача 2.60. Обчислити довжину сторін правильного трикутни-ка, який вписаний в параболу у2 = 2рх.

Розв’язок. Трикутник АОВ розміщений симетрично відносно осі параболи. Одна із його вершин співпадає з вершиною параболи, а протилежна сторона — перпендикуляр до осі параболи (рис. 2.18).

За умовою задачі ААОВ рівносторонній. Кут ZAOB = 60°, то

ZAOD = 30°. Нехай координати точки А(х; у). З ADOA маємо

tg30°, тобто:

 

AD OD

3

х.

У "v3

У

х 3       3

Отже, точка А має координа-

 V3

ти А(х;            х )■

3

Ця точка лежить на пара-болі, її координати задовольня-ють рівнянню параболи. Звідти:

120

Рис. 2.18.

Розділ II. Аналітична геометрія

Тоді

—x

V3 J

x2

2рх;     = 2рх; х2 = 6рх; х = 6р.

OA =   =Y= = Ару[з .

cos 30° V3

2 Довжина сторін трикутника a = 4рл/3.