§2.2. Пряма лінія на площині


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

В прямокутній системі координат рівняння прямої на площині задається одним із наступних видів.

1.         Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

y = kx + b,       (2.6)

де k — кутовий коефіцієнт прямої, тобто тангенс того кута, який пряма утворює з додатним напрямом осі Ох, причому, цей кут відра-ховується від осі Ох до прямої проти годинникової стрілки; b — ве-личина відрізка, що відтинає пряма на осі ординат. При b = 0 рівнян-ня (2.6) має вигляд y = kx, і відповідна йому пряма проходить через початок координат.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом розв’язане відносно поточної координати у.

2.         Загальне рівняння прямої

Ах + Ву + С = 0.        (2.7)

Окремі випадки загального рівняння прямої:

а) якщо С = 0, то рівняння (2.7) буде мати вигляд:

Ax + By = 0, y X,

B

A,

якщо k то y = kx, і пряма, що визначається цим рівнянням,

В

проходить через початок координат, так, як координати початку ко-

ординат х = 0, у = 0 задовольняють цьому рівнянню.

б)         якщо в загальному рівнянні (2.7) В = 0, то рівняння матиме

вигляд:

Ах + С = 0, або х =    = а.

С

Рівняння не містить змінної г/, і цим рівнянням визначається

пряма, яка паралельна осі Оу.

в)         якщо в загальному рівнянні (2.7) A = 0, то рівняння приймає

вигляд:

 5 ,

By + С = 0, або г/ =   = о.

С

Розділ II. Аналітична геометрія

Рівняння не містить змінної х, і цим рівнянням визначається пряма, яка паралельна осі Ох.

Необхідно запам’ятати, якщо пряма паралельна якій-небудь ко-ординатній вісі, то в її рівнянні відсутній член, який містить коорди-нату, однойменну з цією віссю.

г)         При С = 0 і A = 0 — рівняння (2.7) має вигляд By = 0 або у = 0.

Це рівняння вісі Ох.

д)         При С = 0 і В = 0 рівняння (2.7) запишеться в вигляді Ах = 0

або х = 0. Це рівняння вісі Оу.

3.         Рівняння прямої в відрізках на осях:

Х V

—+ —= 1,      (2.8)

Й Ь

де a — величина відрізку, який відтинає пряма на вісі Ох,

Ь — величина відрізку, який відтинає пряма на вісі Оу.

Кожний з цих відрізків відкладається від початку координат.

4.         Якщо пряма має кутовий коефіцієнт k і проходить через зада-

ну точку Мп(хп; уп), то її рівняння має вигляд:

у - уп = k (х - хп).      (2.9)

Якщо в цьому рівнянні параметру k надавати різні значення, то будемо одержувати різні прямі, які проходять через задану точку (хп; уп). Тоді рівняння (2.9) дає пучок (в’язку) прямих з центром в точці Мп(хп; уп).

5.         Якщо пряма проходить через дві задані точки Mix.; у.) і

Mix- уЛ, то рівняння:

ЛУ Х\  LI LI \

            1 _»^і^            (2.10)

х2 — х і у2 — ух

називається рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки Mix.; у.) і Mix- уЛ.

1\ 1\     2^2' 2'

6.         Якщо задано вектор S = {т; п), паралельний прямій, і точку

Мп(хп; уп) на цій прямій, то рівняння прямої можна записати у виг-

ляді:

% ~ -^о _ У ~ Уо

т          п

Вектор S називається напрямним вектором прямої.

7. Кутом між прямими у = k1x + b1 і y = k2x + b2 називається кут, на який необхідно повернути пряму (з кутовим коефіцієнтом k1) до збігу її з другою прямою (з кутовим коефіцієнтом k2), проти годин-никової стрілки.

 

0

Puc. 25.

I цей кут (p обчислюється за формулою:

tg(p =

%2 К

1 + kL

(2.11)

Необхідно звернути увагу на те, що в чисельнику дробу від куто-вого коефіцієнта другої прямої віднімається кутовий коефіцієнт пер-шої прямої.

Умова паралельності двох прямих:

k1 = k2.          (2.12)

Умова перпендикулярності двох прямих:

*.-4

kL = -1, або

&

 v

Якщо прямі задані рівняннями в загальному вигляді: А1х + В1у + С1 = 0 і А2х + В2у + С2 = 0,

(2.13)

90

Розділ II. Аналітична геометрія

то умовою паралельності буде рівність

 

A

B

A2 B2

а перпендикуляр-

ності є А1А2 + В1В2 = 0.

Координати точки перетину двох прямих визначаються шляхом розв’язання системи рівнянь цих прямих:

J A 1x + B 1y + C1 = 0

[A2x + B2y + C2 =0

x

           

A

y

A

(2.14)

де

А =

 

A         B                     "C        B                     A         -C

                         А =                            А =                

A2       B2                   -C2      B2       y         A2       "C2

Відхиленням 8 заданої точки М0(х0; у0) від заданої прямої Ах + Ву + С = 0 є довжина перпендикуляру, який опущено із цієї точки на пряму взята зі знаком плюс, якщо задана точка і початок координат лежить по різні сторони від заданої прямої, і зі знаком мінус, якщо вони лежать по одну сторону від прямої.

Відхилення S обчислюється за формулою:

By0лC

Ax 0 5=

JA2+B2

Відстань d від точки М0(х0; у0) до прямої Ах + Ву + С = 0 є абсолют-на величина відхилення точки М0(х0; у0) від прямої Ах + Ву + С = 0.

(2.15)

d

           

\Ax0 +By0 +C УІA2+B2

91