2.1.4. Приклади розв’язання задач


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Задача 2.1. Побудувати точку С(–3; 2).

X

Рис. 2.3.

Розв’язок. Абсциса точки С дорів-нює –3, а її ордината 2. Виберемо оди-ницю масштабу та візьмемо на пло-щині прямокутну систему координат. Відкладаємо на осі Ох вліво від почат-ку координат О відрізок, ОА, величи-на якого дорівнює –3, а на осі Оy уго-ру від початку координат — відрізок ОВ, який дорівнює 2. Проводимо че-рез точку А перпендикуляр до осі Ох, а через точку В — перпендикуляр до осі Оy. Перетин цих перпендикулярів і визначить точку С (рис. 2.3).

Задача 2.2. Точка М(а; b) знаходиться у першому координат-ному куті. Визначити координати точки N, яка симетрична точці М відносно бісектриси цього координатного кута.

Розв’язок. Оскільки точка N симетр ична точці М відносно бісект-риси першого координатного кута, то вона лежить з точкою М на пер-пендикулярі, який проведений до бісектриси ОР і МР = РN (рис. 2.4).

Враховуючи це, а також те, що в трикутниках OMP i OPN катет ОР – спільний, маємо, що ці прямокутні трикутники рівні між со-бою. Розглянемо тепер трикутники ONE i OMD. Прийдемо до вис-новку, що вони рівні, cкільки будучи прямокутними вони мають рівні гіпотенузи і рівні гострі кути MOD i ONE.

Розділ II. Аналітична геометрія

Y

N

Із рівності трикут-ників ONE і OMD маємо, що OD = NE, a MD = ОЕ. Так як за умовою абсци-са OD точки М дорівнює а, а її ордината MD = b то ми приходимо до виснов-ку, що точка Л^має абсци-су ОЕ = MD = b, a орди-нату NE = OD = а.

0          ~~(ґ     D X

Рис. 2.4.

Отже, координатами точки JV служать числа Ь та а: N(b; а).

Задача 2.3. Знайти відстань між точками Mt(4; -5) і М2(7; -1). Розв’язок. За формулою (2.1) для відстані d між двома точками, якщо взяти в ній х. = 4; х= 7; у. = -5; у= -1, одержуємо:

uf = 7(7 -4)2+(-1-(- 5))2 =V32+42 =V9 + 16=V25=5.

Задача 2.4. Задана точка Р(3; 5; 2). Знайти координати точки, що симетрична з точкою Р

1)         відносно початку координат;

2)         відносно площини xOz;

3)         відносно осі Оу. Розв’язок.

 

1)         Точка Р лежить в I октанті, симетрична їй точка відносно по-чатку координат Р, буде знаходитися в VII октанті. її координати -Р.(-3; -5; -2).

2)         Точка Р„, симетрична точці Р відносно площини xOz, буде зна-ходитися в IV октанті, отже, її координата Р2(3; -5; 2).

3)         Точка Р3, симетрична точці Р відносно осі Оу, буде знаходити-ся в VI октанті, отже, її координати Р„(-3; 5; -2).

Задача 2.5. Показати, що один із внутрішніх кутів трикутника Л(3; 5; 3), В((2; -1; 4), С(0; -2; 1) тупий.

Розв’язок. Знайдемо довжини сторін трикутника за формулою (2.2):

d = j(x2 -xlf+(y2 -у,)2 +(z2 -ztf ■

AB = y(2-3)2 + (-1 -5)2 + (3-4)2 = vT+36+T = V38 ; AC = yj(0 - 3)2 + (-2 - 5)2 + (1 - 3)2 = -y/9 + 49 + 4 = V62 ;

BC = s](0 - 2)2 + (-2 +1)2 + (1 - 4)2 = V4 +1 + 9 = УІЇ4.

Розглянемо співвідношення між числами, що виражають квадра-ти сторін даного трикутника:

38 + 14 = 52, 62 > 52, 62 > 38 + 14, тобто

АС2 >АВ2 + ВС2. Отже, сторона AC лежить проти тупого кута. Кут В - тупий.

Задача 2.6. Ha осі Oz знайти точку, рівновіддалену від двох то-чок М(-2; 1; 4) і Л^(3; 0; 1).

Розв’язок. Точка, що лежить на осі Oz має координати Р(0; 0; z). Знайдемо відстані МР і NP:

МР = л](0 + 2)2 + (0 -1)2 + (z - 4)2 = д/4 +1 + (z - 4)2 =

= V5 + z2-8z + 16=Vz2-8z + 21;

NP = v(0-3)2 +(0-0)2 +(z-l)2 =y9 + 0 + (z-l)2 =

= V9 + z2-2z + l=Vz2-2z + 10. Згідно умови, що МР = PN, одержуємо:

N/Z2 -82 + 21 =4z2 -22 + 10.

Розв’язавши одержане рівняння, знаходимо аплікату точки Р.

z2 - 8z + 21 = z2 -2z + 10;

-6z = -11;

z = 11/6.

P(0; 0; 11/6).

Задача 2.7. Знайти координати кінця В відрізка, якщо один кінець відрізка — точка А(-5; -7), а середина відрізка — С(-9; -12). Розв’язок. В формулах (2.4)

_ хі + х2          _ уі + у2

Розділ II. Аналітична геометрія

координати середини відрізка позначено через x i y. За умовою за-дачі x = –9; y = –12.

Координати одного кінця відрізка точки А в цих формулах: x1 = –5; y1 = –7. Координати відрізка точки В (другого кінця відрізка) — ве-личини невідомі, позначені через x2 i y2.

Тоді за формулою (2.4) для визначення цих невідомих одержує-мо два рівняння:

Звідси:

-5 + x„ -7 + y„

-9 =     ; -12 =

2          2

-18 = -5 + x„ i x = -13;

2          2

-24 = -7 + z/„ i z/ = -17.

^2        ^2

5(-13; -17).

Задача 2.8. Відрізок M.AL що зєднує точки MX 2; 5) і М„(4; 9), розділити в відношенні / = 1/3.

Розвязок. Умова задачі вимагає знайти координати точки Р, що ділить відрізок МХМ2 у відношенні / = 1/3.

Використовуючи формули (2.3), точку МХ2; 5) будемо вважати початком відрізка, а точку М2(4; 9) — його кінцем. Тоді х і у — коор-динати точки Р, які ми шукаємо, х. і у. - координати точки М., х„ і м„ — координати точки М„; / = 1/3. Отже, у нас х. = 2; х= 4; у, = 5;

J2        2'         1          2          J1

z/2 = 9. Маємо за формулами:

2+І4    2+4

3          3          5

х =       1 ^ х = —т=>х= —;

1 + -    2

3          3

4          5 + 3    „

у =       у =^> у=——=> У = о.

1 +

3          3

Точка Р має координати Р(5/2; 6).

Задача 2.9. Визначити координати кінця відрізка АВ, якщо відо-мо, що його початок в точці А(-\; 2; 4) і точка М(2; 0; 2) відтинає від нього третю частину.

Розв’язок. Точка М відтинає від відрізка АВ третю частину його

AM 1

довжини, ділить його в відношенні / =      = —.

MB 2

Використаємо формули поділу відрізка в заданому відношенні (2.3):

 Ах

 Az

Х>

           

           

уА + Лув

м

м

 

Ул

1+Л     м         1 + Л   т          1 + Л

Підставивши в ці формули координати точок A і М:

2

           

1

1

1+

хв

1

0

 

 1

2 + ув 2

; 2

           

4 1

1

1 +

та розв’язавши одержані рівняння, знайдемо:

2

1          1

2 ь

 ^

4; х =8

 

0—= 2 3

2— = 4 2

УІ

% = -2; Ув=-4 ;

= -2.

z =-1;

5(8; -4; -2).

Задача 2.10. Задано дві вершини трикутника: Л(-3; -2; 2), 5(4; 1; -2). Знайти третю вершину С, знаючи, що середина сторони AC лежить на осі Оу, а середина сторони ВС — на площині xOz.

Розв’язок. Позначимо середину сторони AC буквою М. Так як вона лежить на осі Оу, то її координати М(0; ум; 0). Середину сторони ВС позначимо як N, яка лежить на площині xOz, N(xM; 0; z„). Скористав-шись формулами поділу відрізка навпіл, одержимо:

           

+ х

0

м

; х = 3;

2

2

           

           

0

; z = -2;

 с

м

2 + zc 2

2

Розділ II. Аналітична геометрія

Уп +Уг п 1+Уг

Ум ~    > v =   ; у = -1.

С(3; -1; 2).