1.9.2. Задачі балансового аналізу


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

До задач економічних, що зводяться до систем лінійних рівнянь, відносяться задачі балансового аналізу Мета балансового аналізу -відповісти на питання, що виникає в макроекономіці і пов’язане з ефективністю ведення багатогалузевого господарства: яким має бути обсяг виробництва кожної з п галузей, щоб задовольнити всі потре-би у продукції цієї галузі? При цьому кожна галузь виступає, з од-ного боку, як виробник деякої продукції, а з іншого — як споживач і своєї, і виробленої іншими галузями продукції.

Зв’язок між галузями, як правило відбивається в таблицях міжга-лузевого балансу, а математична модель, що дозволяє їх аналізувати, розроблена в 1936 р. американським економістом ВЛеонтьєвим. Розглянемо докладно модель Леонтьєва багатогалузевої економіки.

Припустимо, що розглядаються п галузей промисловості, кожна з яких виробляє свою продукцію. Частина продукції йде на внутріш-ньо-виробниче споживання даною галуззю та іншими галузями, a решта призначена для мети кінцевого (поза сферою матеріального виробництва) особистого і суспільного споживання.

Розглянемо процес виробництва, наприклад, за рік.

Введемо такі позначення: х. — загальний (валовий) обсяг продукції

г-тої галузі (і = 1п); х — обсяг продукції г-тої галузі, що спожи-

вається і-тою галуззю в процесі виробництва (і, j = 1п); у. — обсяг кінцевого продукту г-тої галузі для невиробничого споживання.

Оскільки валовий обсяг продукції будь-якої г-тої галузі дорівнює сумарному обсягу продукції, що споживається п галузями, і кінцево-

п

го продукту, TO X = 2^,Xij +Уі ' і = 1>п-

Це співвідношення балансу. Будемо розглядати вартість міжга-лузевий баланс, коли всі величини, що входять у рівняння балансу мають вартісне вираження.

Введемо коефіцієнти прямих витрат:

a.. =

x ij

i, j = 1,n,

що показують витрати продукції і-тої галузі на виробництво одиниці продукції j-тої галузі. Можна вважати, що в деякому проміжку часу коефіцієнти аij будуть сталими і залежатимуть від технології вироб-ництва, що склалася. Це означає лінійну залежність матеріальних

витрат від валового випуску, тобто хij = аij хj, і, j = 1, n .

Так побудована модель міжгалузевого балансу отримала назву лінійної.

Запишемо співвідношення балансу у вигляді

х.=

I

Havxj

j=1

Уі, i= 1,n.

Введемо позначення:

(x

O

\XnJ

А

\an1

и2

ии J

Y

У2

кУп)

де O — вектор валового випуску; Y — вектор кінцевого продукту; A — матриця прямих витрат. Тоді співвідношення балансу в матричному вигляді є

O = АO + Y.

Основна задача міжнародного балансу полягає у відшуканні та-

кого вектора валового випуску O, який при відомій матриці прямих витрат забезпечує заданий вектор кінцевого продукту Y. Перепишемо співвідношення балансу у вигляді

Y = (Е-А)O.

Це система лінійних рівнянь відносно O.

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

Якщо матриця (Е - А) невироджена, тобто det(£ - А) ф 0, то існує єдиний розв’язок системи, що знаходиться матричним способом

6 = (E-AyxY.

Матриця 5 ={Е - Ау1 називається матрицею повних витрат.

Щоб з’ясувати економічний зміст елементів матриці 5 = (5..), будемо задаватися одиничними векторами кінцевого продукту Y. = (1, 0,..., 0)г, К = (0, 1,..., 0)г,..., Y = (0, 0,..., 1)г. Тоді оскільки

1          ' 2        '           и

6 = SY, відповідні векгори валового випуску будугь б. = (5.., 5„„ .., 5 У, 60 = (5, 5„„,..., 5 ЛТ,..., 6 = (5. , 5„ ,..., 5 )т. Отже, кожний елемент

2          12' 22' ' и2' ' ' п          Іп' 2п' ' пп'

5.. матриці 5 є валовий випуск продукції і-тої галузі, необхідний для забезпечення випуску одиниці кінцевого продукту j-тої галузі у.. Відповідно до економічного змісту задачі значення х. повинні бути

невід’ємними при невід’ємних значеннях у., a., i, j = \^п.

Матриця A (a.. > 0) називається продцктивною, якщо для будь-яко-

го вектора Y (у. > 0) існує розв’язок б (xt>0) системи б = SO + Y. У цьому випадку і модель Леонтьєва називається продуктивною.