Відповіді до задач та прикладів Розділ І. Лінійна та векторна алгебра


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

3

1.3.

-19 -8)

26 -9

-21 -2

-18 -9 2 14

Ґ14

10

-21 16 -1

-24 -39 -23

. 1.4.

-4 5

-6 -7 37

 

 

^7        24 11>            ^5        -1 3^

-2        -3 0     ,           1          2 0

V9       -5 25;              v9        2 5J

Г6 -8 9Л

І2 6 -4}

(11 0 15 -2 4 -2 10 -1 0

12

Ґ17 3 0

-31 -51

1 34

-1 12

6 -1

1.5.

 

Г27      29        25^

6          -3        -3

[18       -6        57)

. 1.6. -340; 20; 55; 0.

 

1.7.

Г4280 [ 2480

18480. 1.8. 30, 60. 1.9.

 

490 540 770^             '28^

220 280 345    . 1.10.  47

55 35 38 j                   32

1.14. 91. 1.15. 86. 1.16. -9. 1.17. 27. 1.18. 203. 1.19. 144. 1.20. 185. 1.21. 41. 1.22. 68. 1.23. -38. 1.24. -162. 1.25. 15. 1.26. 120. 1.27. -126. 1.28. 144. 1.33. 2. 1.34. 2. 1.35. 2. 1.36. 3. 1.37. 2. 1.38. 2. 1.39. 3. 1.40. 3.

1.41. 3. 1.42. 2. 1.43. 2. 1.44. 3. 1.45.

 

3/2 -1/2

1 1 -1 5 4-7 -3 -2 4

 

 16/21 10/21 -1/21")

2/7       3/7 -1/7

J

17/21 -8/21 5/21

6/7 -1/7 4/7 13/14 4/7 -11/14 -5/14 1/7 -1/14

оберненої не

Відповіді до задач та прикладів

існує,

7/34 5/34 -3/34 4/34 -2/34 8/34 -5/34 11/34 7/34

(2 -2 1 1 1 -2 -10 1

(-2 1 O -1 0 1 5-13

 

1.46.

1/2 1/2 0 -1/2 1/6 1/3 0 -1/6 1/6

. 1.47.

12/7 2/7 -9/7 6/7

1.52. (1;1;1), (-1;0;1),

(0;1;1), (1;2;0), (1;1;0), (-1;1;0), (3;-5;2). 1.57. (0;x2;9/7+ x2;l/7).

1.58. (-5/17; 23/17 ). 1.59. Система не сумісна. 1.60. Система не

сумісна. 1.61. (5/'4 + 1/4 х,- 3/4х4 - х5; -1/4 + 7/4х3 + 7/4х4;0;0;0). 1.62. (1;-1). 1.63. Система не сумісна. 1.64. (1;-1;2). 1.65. (х.;-і + +2^ - 4г4;-1 - х4;х4). 1.66 Система не сумісна. 1.67. ( 30/41;- 53/41;

-5/41). 1.68. (-1;1;1). 1.69. (0;1;-1). 1.70. (2;0;-1). 1.71. (2;3;4).

1.72. (1/5 С;-4/5 С;С), (8С. - 7С--6С. + 5С„;С.;С„). 1.76. 22.

-—      —        -20      — 20

1.77. Л5=(-4;3;-1), БЛ=(4;-3;1). 1.78. пр-о =—, пр-иа = —.

а 3       * 7

 ,— 1 - 2 - , 2 -,-, т Г ті 1.79. arccos2/7. 1.80. a =— ї + — і + — Ь. 1.81. \а + о| = \а - Ь\= 13.

3 3       3

1.83. -4. 1.84. (-24;32;30). 1.85. \а\ = 70, cosa = 2/7, cos/? = 3/7, cosf = -6/7. 1.86. arccos -4/9. 1.87. -61, 37. 1.88. Вектор AB в 2

рази довший вектора CD ; вони напрямлені в один бік. 1.89.

26 6

 

1.92. /L = 2, /L = 3, X = C

1          Z          1

 

Л ~~ i

v2 J

C^ 0. 1.93. /^ = 3, \ = -1,

 

x = c

 

, x = c

-Л

vb

C^O. 1.94. At = 1, /l2 = -1, Xi = C

 

x=c\

2          Л

СФ 0. 1.95. A, = 0, Л0= 1, /L = 2, X = С

ҐГі

о

х = с

п

л

 

х = с

m

С^О. 1.96. ^=^=2, Л, =-7, Хі =

 

ZUj ZUn

с2

К Сі ;

 

|С1|+|С2|^0,Х2

Г с ї

CV0. 1.97. X, =/L =Ао = -і,Хі =

12        6          ' 1

с

СФО.

1.102. yl + уі + уі, уі= х,+ х„, у = хЛ 2г„, у, = х„. 1.103. -yl + ill + ill,

1 х1+ 1 22

у1 = х1, у2 = х2 – 2х3, у3 = х1 + х3. 1.104. y12 – y22 – y32 , у1 = х1+ х2+х3

1          1

2          2          2

у2 = х1 – х3, у3 = х3. 1.105. y12 + y22 – y32 , у1 = х1 – х2 + х3 – х4, 22

у2 = х2 + х3 + х4, у3 = х2 – х3 + 2х4, у4 = х4. 1.106. y12 – y22 + y32 – y42 ,

 

У, = X. + ТГ-^о, У-> = ТГ-^о, VQ = T-^Q + 7^/> У, =T^Q — #,. 1.113.

82 44 55 150^

63 77 39 62 36 160 120 135

 

1

х3 1

2 2

11 2 х3 + 2

. 1.114. а) (102 204 81 144 116); б) (184 161 160);

в) 3607. 1.115. (1 1 3). 1.116. а) АX = В, X = (х1 х2 х3)Т, В = (40 40 80)Т; б) (10 5 10). 1.117. (4200; 39000).

Відповіді до задач та прикладів

Розділ ІІ. Аналітична геометрія

2.11. a) (-3;-5); b) (3;5); с) (3;-5); d) (5;-3); е) (-5;-3). 2.12. 5; 13; 25; 10. 2.13. АВх8,6; АС«8,9; ВС& 1,4; РААВС «18,9. 2.14. Трикутник -

гострокутний, так як довжини його сторін дорівнюють: АВ=V82;

АС= Vl30 ; BC=Vl36 . 2.15. (1;-1). 2.16. (0;2;0). 2.17. Z)(2;-2).

2.18. с(6;1;19); Z)(9;-5;12). 2.19. V30 . 2.20. — v/4 . 2.33. Точки М

3

та Р лежать на прямій, точки N та Q над прямою, точка R під пря-

мою. 2.34. 1) 2х + Зг/ - 7 = 0; 2) Зх - 2г/ - 4 = 0. 2.35. (-2;-1).

2.36. (11;-11). 2.37. (10; 5). 2.38. Ах + г/ - 3 = 0. 2.39. у - 1 = 0.

2.40.    2г + Зг/ - 19 = 0; 2х + Зг/ + 27 = 0; 8г - 11г/ - 7 = 0; 8г-11г/+39=0.

2.41.    х - г/ - 7 = 0; х - 2г/ - 10 = 0. 2.42. 2х - Зг/ + 11 = 0; 5х-г/-18=0.

 

3 19

5 ; 5

9 \іЛ    6

2.43.

. 2.44. 5. 2.45. 4. 2.46. h, =h=—j=. 2.47. (4;5).

5          г          1 2       /і-

5 У      V5

2.48.    ВС: х - у - 3 = 0; AC: 4г + 5г/ - 20 = 0; СН: Зг - 12г/ - 1 = 0.

2.49.    2х + 7г/ + 22 = 0; 7г + 2г/ - 13 = 0; х - г/ + 2 = 0. 2.50. 2х-г/+6=0;

(=', ZDAB « 53° . 2.61. (х+1)2 + (г/-2)2 = 25. 2.62. (х-1)2 + (г/-4)2 =8. V5

2.63. (х-1)2 + (г/+1)2 = 4. 2.64. (х-2)2 + (г/-4)2 = 10. 2.65. (х-1)2 + г/2 =1.

х2 г/2   х2 г/2   х2 у2   х2 у2

2.66. 1) —+—= 1; 2) +—= U 3) — + — = I; 4) — +—=1;

25 9     169 144           25 16   100 64

х2 у2   х2 у2   х2 у2   х2 у2

5) += 1-2.67. 1)—+^= 1; 2) —+, = 1; Д) ~+т = 1;

169 25 36 9     16 16/3            20 15

Xі у2    х2 у2   у[2 л/То          х2 у2

4) +—= 1; 5) +—= 1. 2.68. 1) —; 2) —. 2.69. 1) —-—=1;

20 4     9 5       2          5          9 16

х2 у2   х2 у2   х2 у2   х2 у2

2) ——— = 1; 3) Г-— = 1; 4)           = 1; 5) — = 1;

4 5       64 36   36 64   32 8

557

 o         ^          V2       2          „ч        |-          1 ,ч      3

6) х2- у2 = 16; 7)        ^— = 1. 2.70. 1)—j=; •<) ./2 • 2.7. 7) .г = —;

18 8     -ч/З     2

3          3          3          „

2) х = —; 3)у = — ; 4)у = — . 2.72. 1) у2 = Ахг, 2)у2 = -9х; 3) х2 = у;

2          2          2

х1 у2 4) х2 = -2г/. 2.73. х2 = -2г/; 2г/ - 1 = 0. 2.74. — +— = 1. 2.75. х2 +

100 84

+ г/2 - 1440г + 288000 = 0. 2.82. 1500. 2.83. у = 0,7г + 8,4. 2.84. 5.

2.85. При х > 400 більш економічні перевезення другим видом транс-

порту. 2.86. у = Q,5x + 150. 2.87. Споживачам, що знаходяться всере-

дині круга (х - 83,3)2 + г/2< 66,72, доцільніше купувати на В, поза

кругом — на А. 2.88. Всередині круга (х + 62,5)2 + г/2<37,52 будуть

купувати на підприємстві А, поза кругом - на В. 2.89. Всередині круга

(х + 12,5)2 + г/237,52 будуть купувати на підприємстві А, поза кругом -

на В. 2.90. (х + 100)2 + г/2 = 2002. 2.101. х + Зг/ - Az - 21 = 0. 2.102. х+

+ 4г/ - 2z - 2 = 0. 2.103. x + y + z - 4 = 0. 2.104. 2x - y + z - 5 = 0.

2.105. V6. 2.106. 2x + Зг/ + z - 11 = 0. 2.107. (1;-1;2). 2.108.

\3x + 2y = 0,    x-1 г/ + 2 2-0

s          2.109.==         . 2.110. 90°. 2.111. (2;-3;6).

[z = A. 19        7

2.112. (3;-2;4). 2.113. (l;4;-7). 2.114. 21. 2.115. 8x - 9г/ - 22z - 59 = 0. 2.116. \\x - 17г/ - 19z + 10 = 0. 2.117. 6x - 20г/ - lOz + 1 = 0.

x-2 y-3 z-\

2.118. (-5;1;0). 2.119. (4;l;-3). 2.120.            =          = —.

3          3-1

Розділ ІІІ. Вступ до математичного аналізу

3.4. a) AvjB = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 12}; BnC = {5}; (ЛиУЗ)пС = {3; 5}; АглВ^ C=0; б) ЛиB = {1; 3; 4; 6; 7; 8; 21}; BпС= {3;7}; (A u 73) ^ С=

={3;7}; Ас^Вгл С=0. 3.5. 81. 3.19. х = 1; у = -2. 3.20. б)   і;

20 4

-s/З 5 -s/3        5

з) 28. 3.21. 1) z =         + г—; Re z = ; Im z = —; 2) z = i; Re z = 0,

7          7          7          7

Відповіді до задач та прикладів

Im z = 1. 3.24. 1) 16 - 16v3i; 2) 512i; 3) 260; 4) 16v3 —16г.

3.25. а)л/2 (cos— - zsin—), k = 0; Ц2 (cos— + zsin—), k = 1;

16        16        16        16

//7Г 15я- . 15я" ,         ,- 23я" . 23л-

Ц2 (cos           + zsin  ), к = 2; і/2 (cos           + zsin  ), k = 3;

16        16        16        16

б) ±(л/3 - 0; e) >/8(cos           я" + isin            n), k = 0, 1, 2, 3, 4

20        20

3.36.    1) He визначена лише при x = 0, x = \, x = -\; 2) хє( -oo;— ];

2

3;хє(-оо;1)и(1;2)и(2;оо); 4;хє(-оо;0)и(4;оо); 5;л:є(-оо;1]и u [3;oo); 6) хє(-оо;1)и(2;оо); 7) -4<x<4; 8) хє(-оо;0); ^)те0; /0) хє[-2;0) u(0;l); 11) хє[-1;3]; 12) х = \; 13) хє(-1;0)и и(1;2)(2;оо );74) хє(3-2я" ;3-ж)и (3;4]; 75) іє [-4;] u [0; л"].

3.37.    /(х) = loga x; 3.38. f(x) = ах. 3.71. 0,5. 3.72. оо. 3.73. 0. 3.74. 1.

3.75. 1. 3.76. 0. 3.77. 0. 3.78. 1. 3.79. 0,5. 3.80. 9. 3.81. 0. 3.82. 0,8.

5          2sp2

3.83. 1,8. 3.84. —. 3.85. 6. 3.86. <». 3.87. 1. 3.88. 0,5. 3.89.          .

13        3

3.90. 1,2. 3.91.           . 3.92. 2,5. 3.93. —. 3.94. 0. 3.95. 0, якщо х —> +со;

12        3

оо, якщо х —> -оо. 3.96. 0,5. 3.97. 0,75. 3.98. -1. 3.99. 0,5. 3.100. -2sina.

3.101. 4. 3.102. 0,4. 3.103. 0,5. 3.104. 0,5. 3.105. е4. 3.106. е 3. 3.107. е 3. 3.108. е 2. 3.109. е 3. 3.110. еп. 3.111. е3. 3.112. е2. 3.113. 4. 3.114. 1. 3.115. 1. 3.116. 1. 3.117. 2,25. 3.118. е3. 3.122. а) х = ± 3 точка розриву

другого роду так, як lim г/ = -co, lim г/ = +оо, Нт г/ = -co,

х->-3-0           х^-3+0            х->3-0

Ііт у = +со; 6) в точці х = 1 має нескінчений розрив (розрив дру-ГОГО роду) так, як lim у = +оо; в) функція розривна в точці х = -2,

х->1+0

де її стрибок дорівнює 2; г) функція має нескінчений розрив в точка

x = 1, x = 0 i x = 4; д) в точці х = -1

має розрив другого роду так, як

і           і

lim ех+і = 0; a lim ех+1=оо;

*->-1-0           х->-1+0

ж) функція розривна в точці х = -1, де її стрибок дорівнює -2, а в точці х = 1 її стрибок нескінчений.

1

C

r

л

Розділ ІV. Диференційне числення функції однієї змінної

4.4. 7)

1-х2 (х2 +1)

; 2)

І + Злг-1

2-Jx

; 3)

?>х

2л/Г

■ х

; 4)

3sin2 vl + х2 Ц{\ + х2 )2

 

5) Ах3, ■ tg2x +

2x4 sin x

cos3 x

; 6) -sin xsin(2cos х); 7) ecos x(sin2x - sin%);

 

2x nx -y/l-x2 arccosx-2x ,„4

8)         > V      /^=^=  > "v

2v.

 

(У -l)m3

2

arccos 2xvl - 4x2

 , 4x-arcsin(ln(a2+x2)) 1

11) 2(1 + in sin x)ctg x; 12)     ,           n n ; 13) —, n;

(a2 + x2 )yjl - In2 (a2 + x2)     vl-x2

„ lnx-2 1-lnx

74)       sin(2( 

X         x

 ^ 2x2 +3 „      x

)); 75), ; 76) 2(x-arctg— + 1);

2-sjx2 +1         2

 

/7)

2arcsin32xln2-6arcsin22x        9e-3xarccteV3*

; 1 8)

l + e~

Vl-4x2

 

19)

arctg ^/l+ln(2*+3)

(2x + 3)(2 + ln(2x + 3)X/l + ln(2x + 3)

; 20; 2л/4~

■ x2 ;

560

Відповіді до задач та прикладів

40 ,. , 2xsinx    ,

27)       ,           ; 22) (x2 + l)smx.(        - cos x-m(x2 + 1));

x2+l

2x-3Vl-4x2

1          , ,         3x cos4x

23) (In x)x-(     + mm x); 24) -4(1 - ix3)005 4x(         т. +

Ini        1-Ax

1          -

x

sin 4r-m(l - Ax3)); 25) — (1-Ctg3x)*

3

sin3x(sin3x - cos3x)

 

; 26)

ln(l-ctg3x)^      ctg^/arctge3x -e3

X

(1 + e6x )^/(arctg e3x )2

; 27)

2arctg

1 + x2

1

x

 

2garcSin2x       (ІПХ-1)ІП2

2<§)

; 29)

Vl-4x2

3x5 „ 1 x          „„.

3/)ararctg.r+    ;j2)      j+ctg x,33)

arctgvl + x2(2 + x2)vl + x2      (ax+ &)(! +In (ax + fc)

34) 2xhx~1'ln x; 35) 36)

 

2lnx ; 30)

3

a         

ln2x

: ~~x

2V3x-9x3

(x2 - 32л: - 73)(3 - x)

2(x + lfyJx + 2

д/1п(ааг +*x+c)

(2ах + й)е

2(ax + &x + c)^/ln(ax2 + &x + c)

 

38)

(l-4x)2

l-4x l + 4x

+ arcsin 4x

; 39) 10xtg xlnl0(tgx +

x

cos2x

);

 

 2(x-2)(x2+llx + l)        r

40) -    ,           =r'' 41) (2xyx

3(x-5)4^/(x + l)2

•v/x ln2x

             +         !=

x 2vx

 

42)

1

(2 + 2x + x2)arctg

1

1 + x

; 43) 2sin x(xsinxcosx2 + cosxsinx2);

561

44)

x-2

2Vx + 3^(1 + ХлІх + Зу

; 45) (tg2x)

 

x

4ctg i r, 2 mtgzx

sin4x    2 ^

2sin

 .ч y(x + x\ny-y)           z/sinx + sinz/     y(l-x)

4.10. 7)           ; 2)       ; 3)       ;

x(y\nx - x -y) cos x - x cos z/ x(z/-l)

,ч І-г/е^ 1-г/(х + 3гу) _, sin(x-у)-уcosх

хе^-З x(x + 3z/)-3 sinx + sin(x-z/) + sinz/

„ч г/(1-х) „ч 2х-уеху 2х-у(х -у )         Зґ2-1

х(2у-1)            хеху+2у х(х-уг) + 2у

"/ ^^     > '/ет  =          2          гТ• 4.11. 1)

2t

t

l+t2

t

coscp-cpsmcp

; 6;

2) ctg— ; 3) -1; 4) — ; 5)

2          2          l-sin<p-<pcos<?          t(2 + 3t-f)

 l-tg£    6x(2x2-l) ^ч 2x           ч          x

7)         . 4.12. a)          ^; 6)     j + 2arctg x, e) —,

1 + tgt  (x +1)  1 + x    V(1 + x2)3

a2

arcsinx + xvl-x2

; d)       1                      . 4.16. a) 2x - y + 5 = 0,

^

г)

2 „2 чЗ

y(l-x2)3

•(й2-х2)3

x + 2г/ - 5 = 0; 6) Ax - Зу + 1 = 0, Зх + Ay - 18 = 0, Ax + 3z/ + 1 = 0, Зх - 4г/ - 18 = 0; в) х + у - A = 0, х - г/ - 2 = 0. 4.17. (3;4), (-3;-4).

21пЗ

4.20. 1) 5ln tg х sjn2x dx> 2)

 

2л/

1

^zvarcsmx

2arctgx

dx:

 

3)

 _L 2

X

ln3 + 9x2

\/X

5e5x(2e5x -1)

dx, 4) dy=        dx; якщо x = 0

1 + e

 

і dx = 0,1, то dy = 0,25. 4.21. a) 0,0100; б) 1,9895. 4.27. 1) 1; 2)

I

 

Відповіді до задач та прикладів

2x(l-x)

3) 2; 4) 1; 5) 1; 6) 0; 7) 0; 8) 1; 5') 1; 10) e2. 4.39. 1) E (y)= r

E(y) = Q; 2) E (y) = 5x, E(y) = 5, Елу) = 0, Ely) = 10; 3) E (y)=

lnx

E,n(y)=            -0,4343; £(z/) = 1, E Ay) = 0,25; 4) E (y) = I - 2x*,

1

lnlO

Ei(y) = ~1> £2(#) = ~^- 4.40. O £10(Jf)«0,91; E50(K)x -0,33; 2) E,(K)~0,87; EJK)& 1,25. 4.41. 1,5. 4.42. 146 o3. 4.43. 9 грош. од.,

p(3-4p)            1

7 грош. од. 4.44. £ (q) =        т,         , E,(q) = — . 4.45. a) 3 гоош. од.;

 рУ -2p2+3p + 8 lK    9          н

6) £ (<7) = -0,75, E (s) = 1; e) 1,25%. 4.46. 1. a) x = 20; 6) EJK) ~ 0,039; E^(K) ~ 1,788; 2. a) .r = 50; &) Д-(ІГ) = 0,0198; E„JK) = 0,4. 4.47. 3. 4.53.

1) функція зростає на інтервалі (-оо;оо); 2) функція зростає на інтер-

валах (-оо;-2)и(1;оо), спадає на інтервалі (-2;1); 3) функція зрос-тає на інтервалі (-1; 1), спадає на інтервалах (-оо ;-1)и(1;оо ); 4) спадає на інтервалі ( -оо ;0), зростає на інтервалі (-0; оо ); 5) спадає на інтервалах ( -оо ;0) u (0;1), зростає на інтервалі (1; оо ). 4.54 1) точка х = 0 — точка максимуму, /ІГ0) = 1, точка х„ = 1 — точка мінімуму, /(1) = 0; 2) точка хі= \ — точка максимуму,/(1) = 1, точка х2 = 3 -точка мінімуму, /(3) = -3; 3) точка х = 0 — точка мінімуму, /(0) = 0,

точка х2 = 1 — точка максимуму, /(1) = 7/9, точка х3 = 4 — точка

мінімуму, /"(4) =         ; 4) точка х = -1 — точка максимуму, /(-1) = 0,

128 3

1          /v         -. 331

 

— — точка мінімуму, д-1/5) = -1    , точка х = 1 —

5          3125

не є точкою екстремуму; 5) точка х = 0 — точка мінімуму, /(0) = 0; 6) точка х = ±2 — точка мінімуму, /( ±2 ) = 4; 7) точка xf = 0 — точка

мінімуму, f(0) = 0, точка х2 = 2 — точка максимуму, f(2) = 2 ;

4

е2 8) точка х = е — точка мінімуму, /(e) = е; 9) точка х=-1 — точка

л          1

мінімуму, д-1) = m-v/2          ; 10) екстремумів немає; 11) точка х= г

4          Ve

г/ 1 1

точка мінімуму, ді= ) =          ; 12) точка х= -3 — точка, максиму-

мУ./(^3)=3-у/3 , точка х2 = 2 — точка мінімуму,/(2)=->/44 ; 7Д) точка #!= 1 - л/Ї9 — точка мінімумуДІ-^/їд )«-14, точка х2= 1 +>/19 -точка максимуму,/(І + ^/Jg )~^,5; 74) точка хх = 0 — точка максиму-

му, /"(0) = 0, точка х = 1 — точка мінімуму, /(1)=  ; 15) точка х,=\

2

— 3

точка максимуму, /(1) = 2,5, точка х2 = е — точка мінімуму,

е(4-е)  365

/(е)=    ~ 1,76. 4.55. х = -4 — точка мінімуму, /(-4) =       ,

2          і           3

67        85

х2 = 2 — точка максимуму, f(2)= , х3 = 3 — точка мінімуму, f(3) =

—, -*; = 3 — точка мінімуму, /(3) = —,

3 3       4

67        365

на відрізку Г-5;21 и „,. = г/(2) = —, г/ . = г/(-4) = -. 4.56.

— , у. =г/(-4) = -^

я) min/(j)=/(+l)=2, max/(x)=/(-2)=ll; о) mm/(x)=/(3)=-—,

[-2;1]   [-2;1]   [-1;3]   13

max/"(x)=/(0)=l; в) mmf(x)=f(-i)=-i\, maxf(x)=f(-\)=40;

[-1;3]'' [-4;4]   [-4;4]

г) min/"(x)=/(0)=-10, max/"(x)=/(2)=10; д) шп f(x)=f(2)=2(\-ln2),

 [0;3] У           J          [0;3] У J          [1;е]

max/(-^)=/(l)=l; e) min/"(.r)=/(i)=(), max/(j)=/(e)=e2;e) min/"(x)=

[l-e] w w          [i;e] ^ ' J          [i-e] Jy J          \-2-\\

/V        /V        2          2          ,           .

=/(0)=l, max/(x)=/(-2)=3. 4.60. x= —a, V=— a\ 4.61. 3,6 1 4 CM.

[-2;4    3          27

4.62. Радіус основи дорівнює висоті R=i\— . 4.63. Довжина сторінки

V к

Відповіді до задач та прикладів

a          1

30 CM, a ширина — 20 CM. 4.64. r =2. 4.65. AP=l-a ■ cte a, де cos a = —.

4.70. 7) точка перегину (l;-2), при -oo< x < 1 крива опукла, a при

1          < x < oo крива вгнута; 2) точки перегину (-3;294) і (2; 114), при -co < х < 3 та 2 < .г < со крива опукла, а при -3 < х < 2 крива вгнута; 3) крива вгнута на всій області визначення: -оо < х < 2 і

2          < х < со; 4) точка перегину (0;2), при х < 0 крива вгнута, а при х > 0 крива опукла. 4.72. 1) горизонтальна асимптота г/=0, верти-кальні асимптоти х=-2 та х=2; 2) горизонтальна асимптота г/=1, вер-тикальна асимптота х=-А; 3) горизонтальна асимптота г/=0, верти-

 2 кальна асимптота х=0; 4) вертикальна асимптота х= —, похила

3

1          3

асимптота у= — х     ; 5) вертикальна асимптота х=-Ь, похила асимп-

2          4

тота у=2х-\\; 6) горизонтальна асимптота г/=0 при % -^ +оо; 7) вертикальна асимптота х=0, похила асимптота у=х. 4.74. 1) виз-начена: хє (-оо;оо); графік симетричний відносно початку коорди-

1          1

нат; г/ = — при х = 1, у . =— при х=-і; точки перегину графіка

 J max  о          тши     0

(V3 ;    ); асимптота г/=0; 2) визначена: хє( -oo ;-1) u (-1;1) u (1; +00 );

4

графік симетричний відносно осі ординат; г/ . =1 при х=0; максимумів немає; точок перегину немає; асимптоти х=±\, г/=0; 3) визначена: хє(-оо;-1)и(-1;1)и(1;+оо); графік симетричний відносно почат-ку координат; екстремумів немає; точка перегину (0;0); асимптоти

х=±\, г/=0; 4) не визначена при х=±\; графік симетричний відносно осі ординат; г/ =0 при х=0, мінімумів немає; при х < -1 зростає; при

 J max

х > 1 спадає; точок перегину немає; асимптоти х= ±1, г/=1; 5) визна-

1

чена: хє(-оо,0)и(0;оо); у . =3 при х=—; максимумів немає; точка

2

32 перегину ( —— ;0); асимптота х = 0; 6) визначена: хє( -<х> ;0) u (0; оо ); 2

графік симетричний відносно осі ординат; у . = 2 при х =±1; макси-мумів немає; точок перегину немає; асимптота х=0; 7) визначена: хє(-оо,1)и(1;оо); г/пгіл=–1 при х=0; максимумів немає; точка пере-

18        _

гину ( -—; -— ); асимптоти х=1, г/=0; 8) визначена: хє ( -оо, —J3 ) u

2 9       v

u(—73 ;\/3 )^(\/3 ;+°о); графік симетричний відносно початку координат; г/ = -4,5 при х = 3, у = 4,5 при х = -3; точка перегину (0;0);

асимптоти х=-\І3 , x=^J3 , у=- х; 9) визначена: хє(-оо;1)и(1; +оо );

уmin=   при х= ; максимумів немає; точка перегину (0;0);

27        3

— при х= —

4          2

асимптотa х = 1; 10) визначена: хє ( -оо;1) u (1; +оо ); г/ =0 при х=0,

 J max

у . =—34 при х= 34 ; точка перегину ( -32 ; —32 ); асимптоти х=1,

3          3

г/=х; 77) визначена: хє(-оо;оо); графік симетричний відносно осі

27        , 1

ординат; гі =0 при х=0, гі . =           при х= ±— ; точка перегину (±1 ;0),

при х«0,7 і х«±0,26 ; асимптот немає; 12) визначена: хє(-оо;-1)и

2

u (-1;+оо ); 2/,^=— при х=5, утіп=0 при х=1; абсциси точок переги-

ну 5 ± 2V3 ; асимптоти х=-1, г/=0; 73) визначена: хє (-оо;оо); утах=-

при х=1, мінімумів немає; точка перегину (2;—2); асимптота г/=0;

е

4 74) визначена: хє (-оо;оо); г/ = — при х=2; у . =0 при х=0; абсциси

 ^ е2    тт

Відповіді до задач та прикладів

точок перегину 2±л/2 ; асимптота z/=0; 15) визначена: хє(-1, оо); у . =0 при х=0; максимумів немає; графік немає точок перегину; асим-птота х=-1; 76) визначена: хє (-оо;оо); графік симетричний віднос-

1

но осі ординат; упшх=— при х=±\; утіп=0 при х=0; абсциси точок

л/5 + 17

перегину ±     ; асимптота г/=0; 17) визначена: хє(-оо;оо);

2

графік симетричний відносно осі ординат; утіп=0 при х=0; максимумів

немає; точки перегину (±1; In 2); асимптот немає; 18) визначена:

27 хє (-оо;оо); г/ =^ при х=3; мінімумів немає; абсциси точок пере-

тах ей

гину 0 і 3 ± V3 ; асимптота г/=0; 75>) визначена: хє ( -оо ;0) и (0; +оо ); екстремумів немає; графік немає точок перегину; асимптоти х=0, г/=0, г/=-1; 20) визначена: хє(0;<х>); екстремумів немає; точка перегину

3/ 3/ 3 з/ (е/2;е/2+— е ); асимптоти х=0, у=х. 2

Розділ V. Диференціальне числення функції багатьох змінних

dz dz    , & 1 & 1         ,           1

5.7. — =2г, — =-бу2. 5.8. — =т=г/, — =j=x. 5.9. zx =

У/^/ 5г/ "Цуу   cos (х-г/)

z =       т,         • 5.10. zx =2xcos(x2+y2), z =2г/ cos(x2+y2).

у cos (х-у)

Зх2-2у , -2х    ,           ,

5.11. z =^        , zv=,   . 5.12. z =ех~у, z = -ех~у.

х - 2ху х - 2ху

5.13. z' x = 2sin(x+^ln2cos(.r+z/), z' y = 2sin(x+^ln2cos(.r+z/). 5.14. z' x = cos x,

z'y = sin y. 5.15. z' x = 2z/cos xy, z' y = 2^cos xy. 5.16. z' x = -3■ 2xyhm(x2y3),

,           X

z„ = -3- SrVsinO^z/3). 5.17. dz=2xuidy + 4x2y3dy. 5.18. dz =          dx+

y          a          a          X2+y 2

+          яг/. 5.19. dz= <?~lydx - 2^lydy. 5.20. dz = cos(x-y)(ydx+xdy).

x +y

 ,          n 1       ^ ,

5.21. az = zxmydx + —яг/. 5.22. dz = (2xy - y2)dx + (x2 -2xy)dy. y

1 1 1 1 , 1 x

5.23. oz=i        or         ,           яг/. 5.24. dz=   — ах-  —r dy.

Ч%-У ЧХ~У  cos2-^ cos'-У

У         У

х у х     у

5.25. dz= I       dx+ .    dy. 5.26. dz= , = dx- ■            dy.

^x2+y2 yjx2+y2          4х2-y2 \F' ~y2

 

111      bz

dz л/3-l

5.40. =(M) =   , gradzjM =

dl ° 4

. 5.41. ^(МЛ = 6,

2 2/      5/

&         3

^ (M0) = —

gradz|Mo = (0;12). 5.42. ^(М0) = — (З-^/з )> gradz|Mo = (9;-3). 5.43.

52        6          &         1

ту(М0)= —=, gradz|Mo = (-2;0). 5.44. ^ (М0) = т=, gradzj Мо = (2;3).

йг,.,     і           5г/д, 7

5.45. — (М0) = 0, gradzj Мо = (24;0). 5.46. = (М0) = і=, gradzj Мо = (4;3).

=(М) = 0, gradzjм = (24;0). 5.46. = (М) = р

5/         5/         V2

&/д,     8 52

^(М0) = 0, gradzМо = (0;0). 5.4. ^

5.47. — (М0) = 0, gradz Мо = (0;0). 5.48. ^(М0)= -20, gradz Мо = (-20;-12).

5.49. —(М0) = 12, gradz|Mo = (—13;—12). 5.54. 2max = 2(/0;30) = 500.

dz Jl 5.55. 2max = 2(10; 50) = 2850. 5.56. 2max = 2(40; 30) = 700.

Відповіді до задач та прикладів

5.57. 2max =2(20;50) = 800. 5.58. 2max =2(20;40) = 300. 5.59. 2max = 2(10;40) = 200. 5.60. 2max = 2(50;20) = 900. 5.61. 2min =2(2;2) = 4 ; 2max =2(-2;2) = 4. 5.62. 2min = 2(1; 1) = 2 .

5.63. 2min =2(-3/2;-3/2) = -19/4. 5.65. y = l,525x - 0,12.

5.67. y = -2,186x + 2,92. 5.67. y = 3,46r + 2,86. 5.68. y = 15,93r + 110,57. 5.73. Я(240;340/3) = 26866,67. 5.74. Я(10;5) = 475. 5.75. 1) E (z)«0,042; E (z)«0,958; 2) E (z)»0,911; E (z)« 1,821; 3) E (z) = 1; E (z) = 1; 4) E (z)« 0,363; £ (z)« 0,545. 5.76. x. = 9994, x, = 3. 5.78. 25; 50.

Розділ VI. Інтегральне числення

6. 17. C— m |5-3ar |. 6. 18.,= arcsin1= +C. 6. 19.p= in

6          v7        v3        2V35

 2 ,                   _          1

6.14. —V3-7x + C 6.15.       

7          3(7 -3x)

+ C. 6.16. C    ln|7 - 3x\.

3

V5+x-v/7

S-xy/7

1          W5      1, .       /—      

+ C. 6.20. j=arctgj=^ + C. 6.21. —т\Зх + уІ9х -5 | + C.

V15     V3       3

1 6.22. —;=ln 4V7

2х-л/7

2Х + УІЇ

1          1          /-

+ C. 6.23.        22 + C. 6.24. i= ln|xv7 +

12(5 -3x )        V7

 

-xa

1

1 7

+ yj7x +A\ + C. 6.25. C          e . 6.26. C

5          3 ln7

6.27. C - 2cos v x

 

6.28.

—j= + 18vi + 51n|x| + C 6.29. — ^/x

vi         7

4

V/T3 + С

 

3 „r-r 18 сГ— 9 чГ—

6.30. — Vx + ~ л/х + ~ VI +

6 к/—7            1

 VI + С. 6.31. є?+ — + С.

13        х

ax        2          ,— 2

6.32.— + j= + C. 6.33. -ctg2.r - tg2.r + C. 6.34. 3^/x + F= + C.

lna 4x   Vx

3,, , 6.35. -mr-4 - In 2

x-2

x + 2

+ C. 6.36.        x2 + arcsinx + C.

 o         o          638 1   1 •       1 3 2x

6.37. tg2.r - ctg2.r + C. .. —x             smx + C. 6.39. —x + -sin— + C.

2 2       2 4 3

3          x          r-         r.

6.40. 2arctg x - 3arcsin x + C. 6.41. -j= arctgp - ln| x + л/5 + x \ + C.

V5 V5

 x2 2 IT           o/— „  (x + 2)2

6.42.    vr + x + C. 6.43. -2cos x + 3vx + u 6.44.       + C.

2 3       2

 51,      x          r~o— i i n~-; ^

6.45. — m|x2+4| - arctg— + C. 6.46. y^+1 + іщх+ух +1| + u

x3

3v/3

6.47. x - arctgx + C. 6.48. — + 3x + ——In

3          2

х-л/З

х + \/3

+ C

 

6.49.

1

2(3-2lnx)

arctg x

+ C 6.50.         + 2arctg x + C 6.56. C

ln|x|+l

1 _       3 „r— ,

6.57. C - — e~lx{2x + 1). 6.58. — vx (ш|і|-1) + C.

x          A         A

6.59. —xsm 6x + —cos 3x + C. 6.60. -x-ctg x + In sin x + C.

3          9

x          x          ln2 x2lnx          2

2

6.61. 4sin – 2xcos + C. 6.62. C –       –          –

x

x

2

x

6          \           X         X         "^

.63. —cos Ax + —sin 4r         cos Ax + C. 6.64. -2e 2 (x2 + Ax + 8) + C.

32        8          A

Відповіді до задач та прикладів

e3x ,    x2 1     1

6.65.    (жг - 6x + 2) + C 6.66. — + —x-sin2x + —cos2r + C.

27        4 4       8

x3+1    x3 x2 X           1, .

6.67.In 1+x - — + —  + C. 6.68. x-arctgr      ml+r-

3          9 6 3    2

1          5x/2 „ 2x          4          x

            arctg2x + C. 6.69. 2    (x         + —^) + C. 6.70. —(coslnx+

2          ln5       In5 In 5            2

+ sinlnx) + C. 6.71.— (3sin2r - 2cos2r) + C. 6.72. .r-arctgлМх-l -13

1 /                    (x+3)3 /t          2,         2

- —J^x-1 + C. 6.73.   (m2(x+3) - — In|x+3| + —) + C.

16        3          3          9

 ь^ o    „ 3       4x        x          1

6.74. x-ln|lrar+9| - 2r + —arctg— + C. 6.75. ;           tg3r+

2          3          6cos 3x 18

+ C. 6.79. 2sjx-2 + y[2 arctg J—-— + C. 6.80. 2(vx - ln(l+-y/x))+

^681. 6vx 3-s/x „ i- оГ- _/— „, .„/—

+ U . X +         +          + ІуІХ + 3\/X + bvi + 61n vx -1 +

5          2

і(Щх5 + 2$x5 + 2ln |\rx5 -1) + C. 6.83. —

5          2

-3(x+l)1/3 + 3ln|l + л/х+Т | + C. 6.84. 2-s/l + lnx + In |lnr| +

+2ln| Vl + In x -1| + C 6.85. 8 x + i= In

-v/3

л/3 + х-л/З

•v/3 + x + л/3

+ C.

 

6.86 3 „Г-       —7      6 „,-                 1 , |q/-             ,

Ж —^/(5x + l) - - v5x + l +In\V5x +1 + 2 + C.

10 v     5          12

1 i                    3 „,      9         ,          

6.87. — l/(l-3x) + + — vl-3x + ~ In 2vl - 3x - 3 + C.

4 v       4          8

571

 /          9,i       7 27 y  81, .„„,            - ol

6.88. Jx + A + т vx + 4 +— vx + 4 + —In \2yx + 4 -S\ + C.

4          4          8

 

2

2

Z I       —        #—■

6.89. — V2-5x + 2v2m 5

V2 -5x - v2

V2-5x+V2

+ C 6.90. — V5xTT +

 

2ln

V5x + 1-1

V5x + 1 + 1

+ C 6.91. 2vJr - 12 vx + 96vx - 384ln|$[% +4| + C.

 

1          /~ 1 i r-            !

3

6.92. In |ln x| + C 6.93. x - 2vx + 2m|vx +1| + C. 6.98. — m

x-5

x-2

+ C.

1          2x + l   1          3x + l   1, ,

6.99. — arete  + C. 6.100. —;= aretej= + C. 6.101. — m\4x2-

4          2          3V3     V3       2

,           H         1          2X-1    І (ї-^    •

-4r+5 + —arete           + C. 6.102. m,            + C. 6.103. arcsm(x - 2)+

4          2          *-3

1          3x + l

+ C 6.105. 3vx2+2x + 2 - 4ln|x+l +

+C 6.104. — arcsiny=

3          V3

+ л/х2+2х + 2 | + C. 6.106. C -- V3-2x-x2 - 4arcsin

x + 1 2

1 I -?f — 11    3          2          I

6.110. In ■      + C 6. 111. —ln3x+l +— ln2x-3         lnm + C.

V2x-1  H         33        3

Xі x1 6.112. — + —+ 4r + In 3 2

x2(x-2)£

(x + 2)d

+ C. 6.113. 2ln|x| + ln|x+2| +

 

10        1. ,       „, , „. 27

+          + C. 6.114. x2 - Ax + —mh:+l + 2mh:-2 + — Inhr+j? + C.

x + 2    2          2

6.115. — + ІП

X

j-2

X

2          1

+ C. 6.116. hCx(x-l) +            . 6.117. гт In

10v3

x-\

x-V3

Х + УІЗ

Відповіді до задач та прикладів

2

1          X

5V2     >/2

^arctg= + C. 6.118. C

6.119. \n\pc-\\(x2+Ax+Y5) - 2arctg

2

x + 1

x + 2

 

In |x+11

ln|x+2|.

x + 2 x2-6x + 10

+ C. 6.120. In

\x + l\

 

+5arctg(x-3) + C. 6.121. In

x2+l (x-2)2

+ 3arctg #

3

x-2

+ C.

 

6.122.

 

3 „,      ,           1          x

             2m |x-3| + in |x2+2| + 1= arctg^= + C.

x-3       V2       V2

 

11 6.123. —in

6

6.124. —In

j2+2

j2-x + l x2 -x + 1

x + 4

1 x       1          2x-l

+ —y=arctg1= ^=arctg= + C.

3V2     v2 V3  V3

1          2x-l

1—      j—

V3       V3

^arctg= + arctg x + C.

 

2x-l      1

6.125. Ink - ll -            + C. 6.126. —7= In

1          ' (x-1) 2           2V2

x-V2

х + л/2

 

1

2л/3

х-л/З

Х + УІЗ

+ C. 6.127. In

x-2

x + 1

2

x + 1

+ C. 6.135. C

1          1          x15      11

– (cos 4x + cos 8x). 6.136. 3(sin + sin x) + C. 6.137. ( sin 2x –

8          2          656      22

1          cos3 x  2sin3 x

sin 8x) + C. 6.138. –cos x +    + C. 6.139. sin x –       +

83        3

sin5 x   1x        11

+          + C. 6.140. x – sin + C. 6.141. x + sin 6x + C.

5          2          2          212

11        tg3 x

6.142. x – sin 6x + C. 6.143.   – tg x + x + C.

212      3

1 6.144. j=m

V5

^+tg|

^-*f

x

r,          5tg+ 4

+ C. 6.145. — arctg    + C.

3          3

 

6.146.

1

2>/3

In

tg—3-2V3 2

X „ „ rr

tg—3 + 2V3 2

4          3,         .

+ C 6.147. —x            m|tg x + 21 +

25 25

 

V7tgx-1

2          3,         9 .

             - —In cosx + C. 6.148. —1= In

V^tgx + l

+ C. 6.150. C

4

5(tgx + 2) 25   2V7

tgx

1 .        1

10tgx + 9

— m 7tg2x-l + C. 6.149. —m

14        18

9

1 ,        .           7

             - — in|2tg x+5\. 6.151. —x + — ln|7+4tg x\ +

4(2tgx + 5) 4   65        65

10

V5tgx 7

arctg    p? + — mptg2.r+2 + C.

4

+ ^ln|cos xl + C. 6.152.

65        VI0      V2

3 ІГ r-         /—       /—       ,—

6.158. — Vx + 2Vx + 3Vx + 6vx + 6ln|vx-l| + C.

6.159. 6ln

ь

з

x+1

 

4

4

+ C. 6.160. — vx3      Іп|л/х^+1| + C.

3          3

6.161. Aifx + 2ln|l + Vx| - 4arctgv^r + C. 6.162. Ayjx + 3 +

+4Іп|^х + 3 -l| + C. 6.163.

(V2x-1)3

1

V2x-1 + C.

574

Відповіді до задач та прикладів

 л/(1 + х2)3     4x1 -9  25        x

6.164. C —     ^          . 6.165.             + C. 6.166. —arcsin —

3x        9x        2          5

— V25-X2 + C. 6.167.-kiWx-8 +2 + ~Ьі\Шх-8)2 -2vx-8 +4+

2          4

1 л/х-8-l          x          x

+ —i=arctg      j=         . 6.168. ,          - arcsin— + C.

2V3     V3       V4-x2  2

1          X         X ,                   x

6.169. — I      + C. 6.170. тГл/16-х2 + 8arcsin— + C.

9 V9 + x 2       ^          4

 1 (vx2-36)3 ^ 1          7

6.171.              + C 6.178. 19—. 6.179. 0. 6.180. —.

108      x          6          72

 .—      2          1          1 ,

6.181. -5(i/i6-l). 6.182. 7—. 6.183. arctg—. 6.184. — In 2.

3          7          2

 3-V3 Зя- In2  1 5

6.185. . 6.186. — +   . 6.187. —In—. 6.188. 1. 6.189. 0.

3          8          2          3 4

6.190. —. 6.191. —. 6.192. 2. 6.193. 1. 6.194. V2-1. 6.195. —.

6          6          4

4          14

6.196. —. 6.197. —In—. 6.206. 4. 6.207. 7 + ln4. 6.208. 2 ln2.

3          5 3

7 6.209. —. 6.210. A -л. 6.211. In2. 6.212. I,5(ln4 1). 6.213. 0.

16

15 In 2 я" 1 я-2 3 1 5

6.214. — -. 6.215. — -—h2 - ——. 6.216. — ln3 - —. 6.217. 2     .

256 64 4 2       32        2          4          e

 1 3 я-2 3 2V3 ._ n

6.218. —         . 6.219. — - 7- 6.220. Jo        . 6.221. J3       .

4 4e 2  8 2       ^          3          3

5          _,         i           2

6.222. Jn2 - 1. 6.226. 5— (кв.оо.). 6.227. 4,5 (кв.оо.). 6.228. 4— (кв.оо.).

24        3

3          2

6.229. ^О— (кв.од.). 6.230. 24 (кв.од.). 6.231. Ю— (кв.од.). 6.232. (4 -

8          3

,           . И2 ,- .           5

-іп27) (кв.од.). 6233. V7 (кв.оа). 6.234. 5— (кв.од.). 6.235. 9 (кв.од.).

9          24

6.236. 21— (кв.од.). 6.237. 2(л        ) (кв.од.). 6.238. — (кв.од.).

3          3          8

2          1          3 1

6.239. 10— (кв.од.). 6.240. — (кв.оо.). 6.244. — + — 1п2 (л.оо). 6.245. 1+

3          3          4 2

3          19        2 і- ^    1

+ In— (коо). 6.246 3 + — In— (л.од). 6.247. — V2 (л.оо). 6.248. — ІпЗ (л.оо).

2          2 5       3          2

6.249. 8 (л.од). 6.250. 15 (л.од). 6.251. — (л.од). 6.252. 48 (л.од).

3

6.253. 2V3 (л.од). 6.258. л2 (куб.од). 6.259. 19,2л (куб.од).

11        14        16

6.260. — (куб.од). 6.261. —л (куб.од). 6.262. — л (куб.од).

2          3          15

8          л          2л

6.263. —л (куб.од). 6.264. — (куб.од). 6.265. — (куб.од).

3          5          3

л          2л        5

6.266. — (е4 + е~4 - 2) (куб.од). 6.267.        (куб.од). 6.274. 17; —.

2          3          3

л/9Ї-1  , 17      3, 17

6.275. 61;        . 6.276. In— + 5. 6.277. —In— + 4. 6.287. 220.

3          14        4 13

 19 6.279. 910. 6.280. 348,88. 6.281. 800. 6.282. а) 4,8%; —; о) 4,96%; 0,313.

60

6.283. 1,5. 6.284. а) Р. = 61,47; Р. = 66,42; друга стратегія краще; 576

Відповіді до задач та прикладів

б) Рі = 5,976; Р2 = 7,535; друга стратегія краще. 6.286. Точне зна-чення 1,97512; метод трапецій 2,02018; метод Сімпсона 1,98558. 6.287. Метод трапецій 0,915728; метод Сімпюна 0,915985. 6.288. 0,746825.

 . 1 1    1 3       „          2 4/——

6.294. а) —; б)           ; в) —; г) —; д) розбіжнии; ж) к; з) -1; и) — \/125 ;

2          1п2 2 2           3

ч/тг      ^. ,чо я-          121      13

і) -1; г) 6>/2 . 6.298. а) 1; о) (е - I)2; в) —. 6.299.   . 6.300. 13—.

12        486      15

 1 ,1 п ^ 5 1 1 ,01

6.301. 4—. 6.302. а) 6 - 41п2 « 3,28; о) 20—; в) —           ; г)\6—;

3          6 2 е    3

9) V2 -1; ж) 5.

Глава VIІ. Диференційні рівняння

у-\ 7.4. $(\ + у) = С. 7.5. х2 + у2 = тСх2. 7.6. у = Csinх - a. 7.7. Сх =

У

ех+1

I           Т          I           9          о          , Є +1

7.8. \]\ + х + J\ + y - С. 7.9. у - 1 = 21п         . 7.10. 1 + у2 = С(1 - х2).

е + 1

 . ,~ „ С „ , ех +1

7.11. 10х + vd~y = С. 7.12. у = —. 7.13. у = х. 7.14. у2 - 1 = 2In   .

х          е + 1

7.15. 1 + у2 = 2(1-^). 7.16. 10х + Ю"* = 11. 7.17. у = е 2 ■ 7.18. у = -2г.

У         Г~2     2

7.19. у = -х. 7.23. arctg— = 1п(Сл]х +у ). 7.24. г/іпг/ + х = Су.

х

у

X

7.25. у = xtgCx 726. 2Су = Ох2 + 1. 727. у = хеі+а. 7.28. у - 2г = Сх*(у+х).

у 7.29. х2 + у2 = Су. 7.30. у2 = ^(2ln|Cr|). 7.31. х2 = С2 + 2Су. 7.32. ех = Су.

7.33.у = x(2arctgCx + — + kn), k&Z. 7.37. y = е~х (с + —). 7.38.у = Сх2ех +

2          2

+ х2. 7.39. у = (х + Q(1 + х2). 7.40. у = Сх2 + х4. 7.41. у = (2х + 1)(С+

+ ln|2x+l|) + 1. 7.42. y = sin x + Ccos x. 7.43. y = e*(ln|x| + C). 7.44. xy = C - \n\pc\. 7.45. y = x(C + sin x). 7.46. y = Cin2x - lnr. 7.52. y = e2x(C,cos x + C„sin x). 7.53. e = C.cos2x + C„sin2x 7.54. y =

 1         2          1          2

=C,e~x + Ce3* + — e4*. 7.54. y = C.e* + C„e~x + xe*. 7.55. y = C.e* + C„e~x+

12        12        12

1

           

5

+ x2 + 2. 7.56. z/ = C.e2* + C,e2. 7.57. y = <?YC. + CJC). 7.58. y = C.+

J          1          2          4 12/    J          1

+c„e5x - 0,2r - 0,12.r - 0,048x 7.59. y = C,<f+ c„e_4x         e . 7.60. г/=

2          ^          1          2          r-         J

x 1 "1

= C,ex + C„e_4x

1          2

— + — \e"x. 7.64. x = C,el+ C„ea, y = -C.&+ 3C„ea.

n or»    1          2          1          2

7.65. x = С,е~г+ C„e3t, y = 2С,е~г - 2C„e3t. 7.66. x = 2C,e3t - AC,e~3t, y =

1          2          1          2          1          2

=Cfe*+ C2 e"*. 7.67. x = e2t(Cfos t + C2sin t), y = e2t((Cl + C2)cos t + +(Cl - C2)sin t). 7.68. x = &(Cfos "it + C2sin 3t), y = ef(Cfos 3t - C2sin 3t).

7.69.    x = (2C2 - C^cos 2t - (2Cl + C2)sin 2t, y = CjCos 2t + C2sin 2t.

7.70.    x = (Cl + Cf)e3t, y = (Cj + C2 + Cf)e3t. 7.71. x = (Cl + С2ґ)е*, z/ = =(2C. - C„ + 2Cl)ef. 7.72. x = (C, + 2СЛ)е~\ z/ = (C. + C„ + 2C/)e~*.

1          2          2          1          2          ' ^        1          2          2

iV

7.73. x = (C. + 3C±)e2t, y = (C„ - C. - 'iC±)e2t. 7.88. x =    тжт.

 1         2          2          1          2/         i_i_/i/    i \/9-^"

111      x2        x2

7.89. y = — x +          e4*. 7.90. y = 50000.Г           . 7.91. V(x)= — +

4 16 16            2          2

+ 100x + 25000. 7.92. y = Xа.

Розділ VІІІ. Ряди

 3         1,3 1 .ч„ 1       1 „ 1    тт

8.5. a) S= — ; S = — (           ); о) 5 = — (1  ); 5= —. 8.6. a) He

4"22п+2          "2 2п+1           2

виконується; б) Виконується; в) Виконується; г) He виконується;

д) He виконується. 8.17. а) Збіжний; б) Розбіжний; в) Розбіжний;

г) Збіжний; д) Збіжний; ж) Збіжний; з) Збіжний; и) Збіжний. 8.18.

а) Збіжний; б) Збіжний; в) Збіжний; г) Збіжний. 8.19. а) Збіжний;

Відповіді до задач та прикладів

б) Збіжний; в) Розбіжний; г) Збіжний; д) Збіжний; ж) Розбіжний. 8.21. а) Розбіжний; б) Збігається неабсолютно; в) Збігається неаб-солютно; г) Збігається абсолютно; д) Збігається неабсолютно. 8.25.

а)         хє(       ; — ); б) хє[-10;10); в) ряд розбігається всюди. Збігаєть-

10 10

ся тільки при х = 0; г) хє(     ;           ); д) хє[—;—]; ж) хє (-оо;оо).

2 2       е е

х          хп-{     vv v, х2п+і

8.30. 1 + — + ... +       + ...; (-оо;оо). 8.31. / (-1)^:   !

2!         п\         t~o       2 (2п + 1)!

vv ,ч»+і 22п~1х2п      х5 х1

(-оо;оо) 8.32. У_\-ч   ; (-<ю;<ю). 8.33. з?- — + — + ... +

п=\      (2п)\    2 3

х2п+1  If          „+і„ хп 1

+ (-1)"+1         ; (-1;1). 8.34. — >((-1) 2 +1)— =х-— х1 +

п          3 ^       п          2

5          1          1          х2 1 х4

+ х3 - — х4 + ... — < х < —. 8.35. 1 + (—  + ... +

4          2          2          2 2 4

1-3-...-(2п-3)х2п        1 ГлЛ  2 fx^

+ (-1)"+1                     +•••)• 8.36. 2 - 2( — — - — 7

2-4-...-(2п-2)2п         3\2) 3-6^2

2-5-...-(Зп-4)(х)3п

+ ... + (-1)"+1  — +...), (-1<г<1). 8.41. а) 40,87;

3 ш      \2у

л2 cosx cos2x cos3x

б)         0,098; в) 0,310; г)0,245. 8.50. х2=—-4(—   ^ +

 і          9          о 9

3          Iі          2          3

cos4x   л-х л

+ ...). 8.51.      = — - (sin х - sin2r + sin3x - sin4r + ...)

4          2 2

3 2 sinx sin3x sin5x      sin(2n-l)x

8.52. f(x) = —+ — (   +          +         + ... + :           + ...)

2 л 1    3          5          2n-l

х к sinx sin2x sin3x 8.53. — =

2

3

2 2       1

л -^л sin nx 2 tt n

 12 " (-1)и+1 я-пх      1

8.54. 2x - 3 = -3 + — >          sin        . 8.55. j(x) = - —

л t~l n  3          2

 

6

1

л

sm3X   sin*x    smTX

3

5

+           +         — +

8.56. \x\-\ =

 

8

1

 к1

 

sinx sin—3x sin5x

2 + J— + —2_ +...

32        52

У

1 . 8.57. f(x) = — + 2

 

2 ^ (-!)"-! япх 2 " (-1)" nnx 1 4

+^S^

cos       -— > sin        =

2 я ^ n 2 2

-?

 

7Z"X

cos

2

l2

 

Зя-х 5кх

cos       cos     

2 ,        2 , ...

H         +         +

32        52

 

\           f

+          2

/           Я-

            V

я"Х      2ях      "Зпх

sin— sin           cos     

            2          2          2

1

2

 

cos

Ажх

 

580

4