§1.9. Застосування матричного числення при розв’язанні економічних задач 1.9.1. Розв’язання прикладів


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Приклад 1.107. Два залізобетонних заводи випускають вироби M, N, P вищої, першої та другої категорії якості. Кількість випуще-них кожним заводом виробів за кожною категорією якості характе-ризується наступною таблицею:

 

Категорія якості         Готові вироби

 

            І завод            ІІ завод

 

            м         N         P          М        N         P

Вища   150      240      320      280      300      450

Перша 100      130      175      120      150      170

Друга  25        15        20        30        20        18

Який загальний випуск виробів за означеними категоріями якості?

Розв’язок. Кількість виробів, випущених першим заводом, можна розглядати як елементи матриці А, а другим заводом — як елементи матриці В:

A =

 

150 240 320^             ^280 300 450^

100 130 175    ; В =    120 150 170

25 15 20 ,                   30 20 18 ,

Додавши їх, отримаємо матрицю С, яка визначає загальне число виробів за означеними категоріями якості:

С = А + В =

Г430 220 55

540

280

770 345 38

Приклад 1.108. При виготовленні деталей чотирьох видів вит-ратних матеріалів, робочої сили та електроенергії задаються наступ-ною таблицею (в умовних одиницях):

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

 

Ресурси          Витрати на одну деталь кожного виду

 

            1          2          3          4

Матеріали      1          3          0,5       2

Робоча сила   1,5       2          3          1

Електроенергія          2          1          1          0,5

Обчислити загальну потребу в матеріалах у1, робочій силі у2 та електроенергії у3, для виготовлення заданої кількості деталей кож-ного виду: х1 = 10; х2 = 2; х3 = 8; х4 = 4.

Розв’язок. Загальна потреба в матеріалах, робочій силі та елект-роенергії для виготовлення кількості хі (і = 1, ..., 4) деталей одного виду визначається рівнянням Y = АX, де

Y =

V &

% &

— матриця загальної потреби в ресурсах;

 

Л =

 

' 1        3          0,5

15        2          3

2          1          1

 

1

0,5

— матриця норм витрат ресурсів;

fx

X =

х

х

— матриця кількості виробів (за видами).

KX4J

При X =

f10

2 8

v4y

із рівняння Y = АX отримаємо:

67

Y =

У3 KV4J

 

' 1        3          0,5

1,5       2          3

2          1          1

2

1

0,5

10| 2 8

28 47

тобто для виготовлення заданої кількості деталей кожного виду не-обхідно 28 одиниць матеріалів, 47 одиниць робочої сили, 32одиниці електроенергії.

Приклад 1.109. У наступній таблиці у вибраних одиницях наве-дено склад вітамінів в харчових продуктах П1, П2, П3:

 

Продукти       Вітаміни

 

            А         В         С         D

П1       0,5       0,5       0          0

П2       0,3       0          0,2       0,1

П3       0,1       0,1       0,2       0,5

1.         С к ільк и віта м інів кожного вид у міститься в р а ціоні, що вклю чає 5 одиниць продукту П1, 10 одиниць продукту П2 і 8 одиниць продукту П3?

2.         Враховуючи тільки вартість вітамінів у кожному продукті з розрахунку відповідно 10, 20, 25 і 50 грош. од. за одиницю кожного виду продукту.

3.         Підрахувати вартість раціону, склад якого наведено у п. 1.

Розв’язок. Введемо такі позначення: А = (5 10 8), а1і — кількість

одиниць продукту і-того виду в раціоні, і = 1, 3 ;

в =

0,5 0,5 0 0 0,3 0 0,2 0,1

b — кількість вітамінів j-го виду в

0,1 0,1 0,2 0,5

одиниці і-того виду, j = 14 ; ^10^

20 25 50

С =

/1

VV

вартість одиниці вітаміну j-того виду.

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

1. Позначимо D =

(d Л d

21

#31 V^4lV

d

кількість вітамінів j-того виду,

що містяться в раціоні. Тоді АВ = D.

D = (5 10 8)

f0,5 0,5 0 0 0,3 0 0,2 0,1 0,1 0,1 0,2 0,5

 

^2,5 + 3 + 0,8^                       '6,3Ї

2,5 + 0,8                     3,3

2 + 1,6            3,6

V 1 + 4 j                     v 5 J

 

2. Позначимо F =

уЛіу виду i = 1,3. Тоді F = BC.

fi1 — вартість одиниці продукції і-того

 

F =

f0,5 0,5 0 0 0,3 0 0,2 0,1 0,1 0,1 0,2 0,5

fio

20

25

v50y

 

( 5 + 10 >                    '15Ї

3 + 5 + 5         =          13

vl + 2 + 5 + 25;                       33

3. Позначимо через S — вартість раціону, склад якого наведено у

п. 1.

Тоді S = AF.

S = (5 10 8)

Ґ15^ 13 33

75 + 130 + 264 = 469.

Приклад 1.110. З деякого листового матеріалу необхідно викрої-ти 200 заготовок типу А, 260 — типу В і 290 — типу С.

 

Тип заготовки           Спосіб розкроювання

 

            1          2          3

А         3          2          1

В         1          6          2

С         4          1          5

При цьому можна застосувати три способи розкроювання. Кількість заготовок, одержуваних з кожного листа при кожному спо-собі розкроювання, наведена в наступній таблиці. Записати в матема-тичній формі умови виконання завдання. Встановити, скільки листів буде потрібно для викроювання означеної кількості заготовок.

Розв’язок. Позначимо через x1, х2, х3 — кількість листів матеріалу що розкроєні відповідно першим, другим і третім способами. Тоді за першим способом розкроювання х1 листів буде отримано 3х1 загото-вок типу А, за другим — 2х2, за третім х3. Для повного виконання завдання по заготовкам типу А сума 3х + 2х + х повинна дорівню-

 1         2          3

вати 200, тобто

3х + 2 х + х = 200.

1          2          3

Аналогічно одержуємо рівняння:

х + 6х + 2г„ = 260,

1          2          3

4х + х + 5х = 290,

1          2          3

яким повинні задовольняти невідомі х, х, х для того, щоб виконати

 1 2 3

завдання по заготовкам В і С. Система лінійних рівнянь

3х1 + 2х2 + х3 = 200,

<          х1 +6х2 +2х3 =260,

4x1 + х2 + 5х3 = 290.

виражає в математичній формі умови виконання всього завдання по заготовкам А, В, С.

Для розв’язку системи використаємо метод Гауса. Перепишемо одержану систему у вигляді

х1 +6х2 +2х3 =260,

<          3х1 + 2х2 + х3 = 200,

4х1 + х2 + 5х3 = 290.

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

Перетворимо розширену матрицю системи

 

(1 6 2   260^    /

3 2 1    200      ~

v4 1 5  290;     \

6 -16

-23

260

-580

-750

 

260 580

r           1

16

23 16

23 16

0 16 0 0

-3 + 5

-750 + 580

 

580 20

1 6 2 260

0 16 5 00 1

Запишемо спрощену систему у відповідність розширеній матриці

12

16x

x + 6x + 2x3 - 260, 5x3 = 580, x3 = 20.

\x

T

 

/Y zz

260-6-30-2-20 = 40, 580 5

■20 = 30,

16

16

20.

Отже, х1 = 40, х2 = 30, х3 = 20.

Приклад 1.111. Нехай функція, яка характеризує валовий дохід підприємства, має вигляд yt = a + bqt + c qt2 , де yt — валовий дохід,

qt — випуск продукції за період t. Спостереження охоплюють лише два періоди, для яких значення qt, yt наведені в наступній таблиці:

 

Період t          (if         Iff

1          10        100

2          20        150

1. Виходячи з матричної форми завдання функції валового при-бутку

А(а -Ь-с)т = ул

де A = (1 qt q2 ), скласти з урахуванням проведених спостережень систему рівнянь для визначення параметрів а, Ь, с і розв’язати їх.

2. Визначити всю сукупність функцій валового прибутку, що за-довольняють згаданій в п. 1 системі рівнянь.

Розв’язок. Запишемо функцію валового прибутку у вигляді:

a

(1 qt qt2 )

Підставимо задані значення з таблиці:

KCJ

J t

a

(1 10 100)

100,

\CJ

a

(1 20 400)

150.

KCJ

Одержимо систему:

a + 10A + 100c = 100,

[a + 206 + 400c = 150. Розв’яжемо її методом Гауса:

100^ (1 10 100

150

0 10 300

'1 10 100 1 20 400

100

Ранг матриці системи і ранг розширеної матриці співпадають і рівні 2. Система сумісна. Так, як n = 3, то система має безліч розв’яз-ків:

га + 10 + 100с = 100, 106 + 300с = 50.

=>

10(5-30с)+ 100-100с, 6 = 5-30с.

 

=^> <^

а = 50 + 200с,

6 = 5-30с,

ceR.

72

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

2. Уся сукупність функцій валового прибутку у, = (200с + 50) + (5 - 30с W + с at.