8.7.2. Розв’язання прикладів


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Приклад 8.42. Розкласти в ряд Фур’є функцію

ЯХ)

1

2'

(-я- < x < 0)

1, (0 < x < я-)

Розв’язок. Обчислимо коефіцієнти Фур’є функції f(x):

 

1 1       0

= -(—х            + х

п 2       -п

0L =

— \f(x)dx = — [ — А+ \\dx

; о ;

п

\ =

11        1

= —(— я" + я") = —;

ж 2      2

a =

Л 71    \ ( ^ ( \\            К

— \ f(x)cosnxdx = — | —- cos nxdx + \lcos nxdx

 

1 1

= — (  sin rax

7Г 2и

 

1

0

+ — sin nx

-71      П

и

) = 0;

 

b =

1

я          \ ( ^ ( \\            "

jf(x)sinnxdx = — f — sin nxdx + \lsin nxdx

■71      V —Я" V        /           0

 

1 / 1

= —( — cos nx к 2n

0 -я

1

rc

cos nx

n 4f1 — (—1V4)

 ) =      ;

2л-??

так як cos nn = (-1)", TO

Ьп. = 0, (k = 1, 2, 3,...),

2й

3

(k = 1, 2, 3,...).

b =      

2k+1 n(2k +1)'

Функція f(x) задовольняє умовам Дирихле, а через це розкла-дається в свій ряд Фурє. Отже, в кожній точці неперервності:

541

1 3 ^ sin(2& + \)x

j(x) = — + — >         

4 к k=o 2k +1

Приклад 8.43. Розкласти в ряд Фур’є функцію/(х) = х(-ж <х< л).

F

 

л X

0

Розв’язок. Задана функція задоволь-няє умовам Дирихле і через це може бути розкладена в ряд Фур’є. На інтер-валі (-7С <х<к ) функція f(x) = х — непарна (див. рис. 8.1). Звідси слідує, що ряд Фур’є цієї функції буде містити тільки синуси.

Знайдемо b

1

Ь = — \ fix) sin nxdx

Рис. 8.1.

 

u = x,

du = dx

 

71

\xsinnxdx

dv = sin nxdx, v = [sin nxdx = —cos nx

 

2 / 1

= —(   cos nx

7Z П

П         1 "Г     J          2 / 1

+ ~~ \cosnxax) = —(—cos nx

л n

0

0          П J

71

 

+ 2 sin nx n

71\ 2 1 , 14      ,2

n

) =       я"(-1)" = (-1) —;

K П

 

b = (-1)"+1

«

Отже,

sin nx

x =

 / / I       I I

> (-1) -SIIIBI

H

n=\       n=l

sin 2x + sin3x – sin 4x + …).

B розгорнутому вигляді, надаючи n значення 1, 2, 3, ... , одержуємо: sinx

x = 2{

3

2

4

1

Розділ VIII. Ряди

В інтервалі (-я";я") ця функція має місце в точках непервності функції f(x), тобто в даному випадку у всіх внутрішніх точках інтер-валу (-я" ;л ). Поза інтервалом цей ряд зображає періодичне провод-ження розглянутої функції.

В точках же розриву якими являються точки +л, ±3тг, ..., сума ряду дорівнює середньому арифметичному її лівосторонньої та пра-восторонньої границі в цих точках.

Знайдемо ці границі. Наприклад, в точці х = л.

lim fix) = lim х = л;

lim fix) = lim x = - л. Середнє арифметичне цих границь:

Ля-0) + Ля + 0) = я-я=0 22 У всіх точках розриву цієї функції одержуємо те ж саме. Таким чином, в точках розриву сума ряду буде дорівнювати нулю. Отже, одержаний розклад можна записати і так:

sinx sin2x sin3x sin4x   fx, якщо -n<x<n

2(         +          + ...) = <^

1          2          3          4          [0, якщо x = (2Й + \)л

де k — будь-яке ціле число.

Приклад 8.44. Розкпасти в ряд Фур’є функцію/(х) = \с(-я <х < я). Розв’язок. Це неперервна функція з періодом 2л". задовольняє умовам розкладу в ряд Фур’є, вона парна. Знаходимо:

2

2

п

'L

 

\jix)dx = — \хах

2 х'1

71 2

л

7Z;

 

a =

П

n

2 "г„     ,           2 \

/(х) cos max = — х cos nxdx

 

u = x,   du = dx

dv = cos nxdx, v = fcos nxdx = \ sin nx

543

2 1

— (x— sin nx П n

71

о

2

K

\sinnxdx) = — (0 +

1

n2

cos nx

71

о

\ =

2

0, ящо п-парне

(cos np – 1) =

nn2

Отже,

n

4

п2

ящо п-непарне

ПУ

1

4,         1 „ 1

cos(2ra + l)x + ...).

pq =     (ros x + —cos 3ir+ —cos 5x + ...+

In         9          25        (2и + 1)

Приклад 8.45. Розкласти в ряд Фур’є функцію/(х)=л:, що задана

на інтервалі (0; 1л ).

Розв’язок. На рис. 8.2 показано графік заданої функції з її періо-дичним продовженням. Аналітичний вираз функції співпадає з ана-літичним виразом функції в задачі 8.43. проте між ними маємо істот-ну відмінність. В задачі 8.43 функція f(x) = х задавалась на інтервалі (- л; л ), а в цій

in X

-An

задачі на інтервалі (0; 2л"). їх відмінність легко бачити із графіків функцій. Функція

Рис. 8.2.

f(x)= х на інтервалі (0; 2л") не належить а ні до класу парних, а ні до класу непар-них.

Якщо функція f(x) задана не в інтервалі (-я;я), а в інтервалі

(0; In ), також довжиною 2п, то її можна розкласти в ряд Фур’є того ж виду, що і (8.36), але коефіцієнти визначаються за форму-лами:

0L =

А 2ті

— \fix)dx;

л і

544

Розділ VIII. Ряди

л 2ж

a =

n

71 0

- \ f(x) cos nxdx;

A 2jl

b = — \ f (x)sinnxdx.

n I

B нашому випадку маємо:

If, li'

— xax =         

n i        n 2

0

In

1          1 X

0

= In; 0

л 2ж

a = — \xco?>nxdx = <d:

 J

^ o

2ж

— \xsinnxdx

 2 o =

 

Шдставляючи одержані значення в формулу (8.36), одержуємо:

sinx sin2x sin3x sin4x

x = к - 2(         +          +          +           + ...).

1          2          3          4

Так як на інтервалі (0; 2п ) функція f(x) = х неперервна, то одер-жаний ряд збігається до х у всіх точках цього інтервалу В точках х

= Inn (п = 0, 1, 2, ...), які являються точками розриву функції ряд збігається до середнього арифметичного ліво- та правосторонніх гра-ниць функції, тобто до числа

/(2я--0) + /(2я- + 0) 2я- + 0

2          = ^^'

Отже, в точках розриву сума ряду дорівнює п.