8.6.1. Розв’язання прикладів


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

загрузка...

 1 Приклад 8.37. Обчислити= з точністю до 0,001.

Розв’язок. Використаємо ряд

Xі х3    хп        1          --

6х = 1 + X +— + — + ... + — + ... 77= = Є .

2! 3!    п!        ^/е

 1

Отже, в цьому ряду необхідно взяти х =    . Одержимо знакопере-

4

міжний ряд:

і if if      і Г іи"

Є 4 = 1            + 7ГТ —7 + - + (-1)"-1                     + ... =

4 1\\ AJ           (п-±)\ \ 4)

1          1          1          1          I           1

= 1       + —     + ... + (-1)""1   — +

4 32 384          (п-ї)\ \ 4

Якщо для обчислення взяти п перших членів, то, враховуючи, що ряд знакопереміжний, похибка від відкидання решти членів бу-де менше абсолютної величини першого відкинутого члена, тобто

Розділ VIII. Ряди

R <

1

nl{4

. За умовою повинно бути одержане число з точністю

до 0,001, тобто загальна похибка від відкидання членів і від округ-лення повинна бути менше 0,0005. якщо зберегти перші чотири чле-на, то похибка від відкидання всіх останніх членів на основі ознаки

1 (\

Лейбніца R. <

4! 14

< 0,00016, через це:

 

1

if

 

1

l l ( іЛ l f іь

3!

4 2!

0,799.

Обчислити з округленням треба тільки останній додаток. Якщо зберегти чотири десятичні знаки, то похибка округляється не більше 0,00005. Найвища межа загальної похибки дорівнює 0,00021. Отже,

1

Є

4/

 

0,799.

Приклад 8.38. Знайти наближене значення соs 10° з точністю до 0,0001.

Розв’язок. Переведемо градусну міру в радіанну 10°= Скористуємося розкладом cos х в степеневий ряд

18

 

0,1745.

x2 Xі x6           x"~

ms x = 1 - — + — - — + ... + (-l)n_1            +

2! 4! 6!            (2n-2)!

Одержуємо

cos 10 = cos— = 1 18

2!         4!

цей ряд є рядом Лейбніца, через це, прийнявши за наближене зна-чення cos 10° суму перших двох членів розкладу, виконаємо похиб-ку R3 за абсолютною величиною меншу третього члена

181 (0,2)4

\R\<     <          < 0,0001.

31

—— <

4!         24

Таким чином,

K

 18 J    (0Д745)2

cos 10 « 1 -—— яі-    ~ 0,9948.

2!         24

3 точністю до 0,0001, 3 недостачею, так як третій член розкладу додатний. Обчислюючи суму перших двох членів з точністю до 10"4 з залишком (для того, щоб обчислити другий член 3 тією ж точністю з недостачею), одержимо абсолютну похибку, тобто повну похибку, меншу 0,0001, відповідно з завданням (таке як обидві похибки були менше 10"4 і мають різні знаки). Отже, cos 10° ~ 0,9948.

Приклад 8.39. Обчислити Щ7 з точністю до 0,001. Розв’язок. Перетворимо заданий корінь

>/Ї7 = 4/16 + 1 = ill6 І + 77: = 2| 1

16

1

Для обчислення 1н   використаємо біноміальний ряд

т(т-ї) . т(т-ї)(т-2) „

(1 + х)т = 1 + тх +      Xі +     Xі +

2!         3!

т(т -і)(т -2)...(т - п + і)

+          х" + ...,

п\

1          1

підставляючи х = —,т= —:

16        4

 

536

Розділ VIII. Ряди

1+

16

2(1 +

 

1-3

1

1-3-7

4-16 4-8-162 4-8-12-163

...).

Щоб визначити, скільки необхідно взяти перших членів цього

знакопереміжного ряду для обчислення ^/Ї7 з точністю до 0,0001,

обчислимо декілька послідовних перших членів ряду: ах= 1; а2 a 0,01562; а3 a -0,00037; а4 « 0,00001. Згідно властивості знакоперем-іжного збіжного ряду, якщо обмежитися сумою трьох перших членів ряду, то похибка шуканого наближеного значення кореня буде мен-шою 2а. ~ 20,00001 < 0,0001. Отже,

^/Ї7 ~ 2(1 + 0,1562 - 0,00037) « 2,0305.

1/4

Приклад 8.40. Обчислити інтеграл [ 0,00001.

sin x

%

dx з точністю до

 , „ . rsinx ,

Розвязок. Невизначении штеграл   ах не виражається че-

рез елементарні функції, через це при обчисленні даного визначено-го інтегралу формулу Ньютона-Лейбніца застосовувати не можна. Обчислимо інтеграл наближено. Розділивши почленно ряд

на х, одержимо:

x3 x5 x7 sin x = х – + – + . 3! 5! 7!

 

S1I1I X X X

             = 1 - — + ^ ~             +

х          3! 5! 7!

Інтегруємо цей ряд почленно:

1/4 • ґ S1I1I ,

            ах

х1 Xі х6

— +     + ...

3! 5! 7!

1/4/

dx

J1

3-3!

 

і

5-5!

537

Так як

1

1

5-5! U

1

614400

< 0,00001,

то за ознакою Лейбніця, щоб виконати задану точність, досить взяти суму перших двох членів:

1/4

sinx 1

             « —

x          4

 

1

1

3-3IU

0,25 - 0,00087 = 0,24913.


загрузка...