Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_886aaf5375911de9d42c21f50f814094, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
§ 8.4. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус збіжності. Область збіжності степеневого ряду : Вища математика в прикладах і задачах : Бібліотека для студентів

§ 8.4. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус збіжності. Область збіжності степеневого ряду


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Степеневим рядом називається ряд виду

CO

ап + а.х + а^х2 + ал3 + ... + а х" + ... = У а„Хп (8.24)

0          12        3          п          ^^ п

и=0

або

GO

Уа(х-х0У = а + а (х-хЛ + аіх-хЛ2 + ... + а (х-хЛ" + ..., (8.25)

и=0

де а (и = 1, 2, 3, ...) — дійсні числа, які називають коефіцієнтами степеневого ряду, х, — деяке стале число.

Теорема Абеля. Якщо ряд (8.24) збігається при х = xv то він збігається абсолютно для усіх х, що задовольняють нерівність \х\ < Іх.І. Якщо ряд (8.24) розбігається при х = х„, то він розбігається для усіх х, що задовольняють нерівність \х\ > \х2\.

Область збіжності степеневого ряду. Теорема Абеля стверджує,

що якщо степеневий ряд (8.24) збігається при хі Ф 0, то він збігаєть-ся абсолютно при будь-якому х із інтервалу (-|xj; |xj). Якщо ж ряд розбігається при х2, то він розбігається у всіх точках, які розміщені поза інтервалом (-\х2\; \х2\).

Радіусом збіжності степеневого ряду (8.24) називається невід’ємне число R, таке, що при \х\ < R ряд збігається, а при \х\> R розбігається. Інтервалом збіжності ряду називається інтервал (-R; R).

Знайдемо радіус збіжності степеневого ряду (8.24) через його коефіцієнти. Для цього використаємо ознаку Даламбера або ознаку Коші.

CO

Розглянемо для кожного фіксованого х числовий ряд ^ апХп і

и=0

припустимо, що існує скінчена границя

L = lim

Тоді

и+1

an

(L = lim щ\ ап |).

520

Розділ VIII. Ряди

lim

а—>х

ax

1П 11ТП

и+1

an

= |л] • L.

Звідси за ознакою Даламбера ряд (8.24) збігається при |x|-L < 1 і

1

розбігається при W • L > 1. Отже, якщо У < —, то ряд (8.24) збігаєть-

L

1

ся, а якщо |x| > , то розбігається. Таким чином радіус збіжності L

степеневого ряду визначається формулою

R =

I

L

lim

an

n+l

(8.26)

Якщо до ряду застосовується ознака Коші, то, міркуючи аналог-ічно, одержуємо наступну формулу

R =

 

1

1

L Іітфап\

(8.27)

Формулами (8.26) i (8.27) виражається i радіус збіжності ряду (8.25). Інтервалом збіжності цього ряду є (х0 - R; х0 + R).

Таким чином, будь-який степеневий ряд має радіус збіжності R і інтервал збіжності (-R; R). При х = ± R ряд може або збігатися, або розбігатися. Це питання розв’язується для кожного конкретного ряду індивідуально. Отже, областю збіжності степеневого ряду (8.34) є його інтервал збіжності з можливим приєднанням до нього однієї або двох точок в залежності від того, як веде себе ряд на кінцях інтер-валу тобто при х = ± R.



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_886aaf5375911de9d42c21f50f814094, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0