§ 8.3. Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

До цих пір ми вивчали ряди, всі члени яких були додатними. Тепер ми перейдемо до розгляду рядів, які містять як додатні, так і від’ємні члени. Такі ряди називаються знакозмінними. Наведемо приклад знакозмінного ряду:

111111111

Т ~ Т ~ —Т + —Т + Т ~ Т ~ Т + —Т + Т ~ +

1 2 3 4 5 6 7 8 9

П(П-І) л

+ ("I) 2 —ї + ...

п Вивчення знакозмінних рядів ми почнемо з окремого випадку так званих знакопереміжних рядів, тобто рядів, в яких за кожним додат-ним членом слідує від’ємний, а за кожним від’ємним членом - до-датний. Позначивши через абсолютні величини членів ряду та по-клавши, що перший член додатний, запишемо знакопереміжний ряд наступним чином:

U,- U„ + U„- U. + ... + (-lY^U + ...    (8.16)

1234    '           п

Для знакопереміжних рядів має місце достатня ознака збіжності Лейбніца.

Ознака Лейбніца. Якщо в знакопереміжному ряді (8.16) абсо-лютні величини членів спадають, тобто

U.> U„> U„> U.> ... > U > ... (8.17)

12        3          4          п

і загальний член прямує до нуля, тобто lim U = 0, то ряд збігається, причому його сума додатна та не перевищує першого члену ряду.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

1          1          1          1

+           - ... + (-1)"_1

1-22 2-32 3-42           n(n + lf

Розв’язок. Цей ряд задовольняє умовам ознаки Лейбніца:

111      1

1) , „п >           >          > ... > (-1)пЧ             > ...

 1-22 2-3 2 3-4 2        п(п + 1) 2

1

2) lim U = Hm

и->да n и->со YI(YI~\-V)

Отже, ряд збігається.

0.

Перейдемо тепер до розгляду загального випадку знакозмінного ряду. Припустимо, що в ряді

U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un + ...    (8.18)

числа U1, U2, U3, U4, ..., Un, ... можуть бути як додатними, так і від’ємними. Достатня ознака збіжності знакозмінного ряду. Якщо знако-змінний ряд такий, що ряд, складений із абсолютних величин його членів збігається, то і знакозмінний ряд також збігається. Досліджен-ня питання про збіжність знакозмінного ряду зводиться в цьому випадку до дослідження ряду з додатними членами.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

sinna

+ ... +  + ...,

sina sin2a sin3a

+          +

12        22        32        n2

де а — будь-яке число.

Розв’язок. Поряд з даним рядом, розглянемо ряди

(8.19)

 

 

sina

12        +          sin2a

22        +          sin3a

32        + ... +  sin na

n2

 

(8.20)

і

111      1

(8.21)

T +9 + T + ••• + —9 + ■

1 2 3    n

Ряд (8.21) — збігається. Члени ряду (8.20) не більше відповідних членів ряду (8.21), отже ряд (8.20) також збігається. Але тоді, в силу розглянутої ознаки, даний знакозмінний ряд збігається.

Підкреслимо, що ознака збіжності, яка розглянута вище, являєть-ся тільки достатньою ознакою збіжності знакозмінного ряду, але не необхідною; існують такі знакозмінні ряди, які самі збігаються, але ряди, що складені із абсолютних величин їх членів, розбігаються. В зв’язку з цим корисно ввести поняття про абсолютну та умовну

Розділ VIII. Ряди

збіжність знакозмінного ряду і на основі цих понять класифікувати знакозмінні ряди. Знакозмінний ряд

U1 + U2 + U3 + Ui + ... + Un + ...     (8.18)

називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд, складений із абсолютних величин його членів:

\U,\ + \UA + \UJ + \U,\ + ... + \U I + ...          (8.22)

Якщо ж знакозмінний ряд (8.18) — збігається, а ряд (8.22) скла-

дений із абсолютних величин його членів, розбігається, то даний

знакозмінний ряд (8.18) називається умовно або неабсолютно

збіжним.

Приклади. З’ясувати, які із вказаних рядів збігаються абсолют-но, які неабсолютно, які розбігаються.

11        1          1

а) —    т +       - ... + (-1)"+1 + ...     (8.23)

2 2-2 3-2         п-2

1

U = (-1)"+1

п-2"

111 1

Знайдемо hm \U \ = lim          = 0.

И^со   "           н^со П.2"

111      1

— >     іг >      Т > ... > (-1)"+1          > ...

2 2-2 3-2         п-2

Даний ряд збігається. З’ясуємо як? Напишемо ряд, складений із абсолютних величин даного ряду

111      1          1

Н         "I        + ... "I +

2 2-2 3-2         п-Т (п + ї)-2

Одержали знакододатний ряд. Застосуємо ознаку Даламбера.

lim^ = lim ^ = lim         = - lim

U         п^ю ^  и^°° (п + ї)2п+1 2 п^г-° п + \

п          п*2      v          /

1

n*2n

515

1          1

= — . 1 = — < 1

2          2

Отже, ряд (8.23) збігається абсолютно.

11        1

б) -1 += - —j= + ... + (-1)"т= + ...

•v/2 л/3           vw

(7 = (-1)"=.

1-111- 1

Знайдемо hm \U \ = hmj= = 0.

11        1

1 > /= > j= > ... > (-1)"/= > ...

V2 V3 vw

Даний ряд збігається. З’ясуємо як? Запишемо ряд, складений із абсолютних величин членів даного ряду

11        1

1 +       7= + —j= + ... +         j= + ...

V2 V3 ліп

Одержаний ряд є розбіжним. Отже, заданий ряд збігаєгься умовно.