§7.6. Економічні задачі, що зводяться до диференційних рівнянь


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Приклад 7.73. Швидкість знецінення обладнання внаслідок його зносу пропорційна в кожний даний момент часу його фактичній вартості. Початкова вартість А0. Яка буде вартість обладнання після його використання впродовж t років?

Розв’язок. Нехай At — вартість обладнання в момент f Зміна вар-тості (знецінення) виражається різницею Ап — А. Швидкість знеці-

d нення — ( A — А) пропорційна фактичній вартості в даний момент at ° *

Аґ Одержуємо рівняння:

d{A(j-At) _ид at з початковою умовою At \t=0 = А0. Розв’язавши його, отримаємо:

dAt      dA

 

\ А ~ .р , 1п|Л.| =-fe + ln |Cl;

at         At

At

A

In

C

= -kt; — = e~kt; A = Ce~kt.

C         l

Для визначення довільної сталої С використовуємо початкову умову At = А0 при t = 0: А0 = Се~т, С = А0, At = A0e~kt. Отриманий частинний розв’язок дає відповідь на питання даної задачі.

Приклад 7.74. Нехай y(t) — кількість продукції, що випускаєть-ся галуззю за час t; р — ціна продукції. Сума інвестицій (коштів, на-правлених на розширення виробництва) 1(f) пропорційна прибутку py(f) з коефіцієнтом пропорційності т (т = cos t; 0 < т < 1). Підви-щення швидкості випуску продукції пропорційне збільшенню інвес-тицій з коефіцієнтом пропорційності г/. Вимагається знайти кількість продукції, що випускається галуззю за час f якщо в початковий момент часу t = tQ у = у

Розв’язок. У відповідності з умовою

Розділ VII. Диференційні рівняння

1(f) = mpy(t), y' = Tjl(t), або

y' = rjmpy(t). Позначимо k = т] mp. Тоді рівняння приймає вигляд

у' = ky. Маємо рівняння з відокремленими змінними

dy

—        = ky,

at

dy

—        = kdt,

y

In \y\ = kt + \n \C\, y = CeP.

Враховуючи, що У \t=to = y0, тоді

y0 = Cekt°,

C = y0e

-kt

 k(t-tn)

Звідси y-y0e   .

Приклад 7.75. Нехай попит i пропозиція на товар визначаються

відповідно співвідношеннями q = Ар' - 2р + 39, 5 = ААр' + 2р - 1,

де р — ціна товару; — тенденція формування ціни (похідна ціни за часом). Нехай також в початковий момент часу ціна р за одиницю товару складала 1 грош. од. Виходячи з вимоги відповідності попиту пропозиції, знайти закон зміни ціни в залежності від часу.

Розв’язання. Для того щоб попит відповідав пропозиції, необхід-но виконання рівності

4 р' - 2р + 39 = 44 + 2р - 1. Звідси

Юр' + р - 10 = 0. Маємо диференційне рівняння з відокремленими змінними:

dp -10— =p- 10, at

p-10 10

, I t       ,^,

In \p - 10| =     + In \C\,

t 10

p-10

 

In

C

p-10

 л-ОДҐ

c

p = Ce-0'" + 10. Враховуємо, що pV , = 1, тоді

1 = C+ 10, C= -9,

p = -9e^-u + 10.

Отже, щоб між попитом і пропозицією збереглася рівновага, не-обхідно, щоб ціна змінювалася відповідно до отриманої формули.

Приклад 7.76. Нехай попит і пропозиція на товар визначаються співвідношеннями

q = 2р" - р' -р + 15, S = 3р" + р' + р + 5,

де р — ціна на товар, р' — тенденція формування ціни, р" — темп зміни ціни. Нехай також у початковий момент часу р(0) = 6, q(0) = 5(0) = 10. Виходячи з вимоги відповідності попиту пропо-зиції, знайти залежність ціни від часу.

Розв’язок. Виходячи з вимоги відповідності попиту пропозиції, маємо

q = S,

Отже,

2р" - р' -р + 15 = Зр" + р' + р + 5, звідки одержуємо лінійне неоднорідне диференційне рівняння дру-гого порядку зі сталими коефіцієнтами:

р" + 2р' + 2р = 10. 492

Розділ VII. Диференційні рівняння

Відповідне однорідне рівняння:

р" + 2р' + 2р = 0. Характеристичне рівняння:

¥ + 2k + 2 = 0.

Корені характеристичного рівняння &12 = -1±г. Загальний розв’язок однорідного рівняння:

p*(t) = C.e^cos t + C,e~*sin £

^          1          2

Частковий розв’язок неоднорідного рівняння будемо шукати у

ВИГЛЯДІ

р =А.

Ч

Тоді

p'q = 0; р" = 0. Шдставивши ці значення в диференційне рівняння, отримаємо 2А = 10, A = 5, р = 5.

 Ч

Загальний розв’язок буде таким:

p(t) = е~ЧС, cos t + C„sin t) + 5. Враховуємо початкову умову

w(0) = 6, 6 = C, + 5, C = 1.

i           i           i

Тоді

p(t) = e~4cos t + C, sin 0 + 5;

»'(0 = -e"*(cos £ + C, sin 0 + e_*(-sin £ + C0 cos t) =

= е~*Г(С, - l)cos £ - (C, + l)sin £l;

»"(0 = -е_*Г(С, - l)cos £ - (C, + l)sin tl + е_*Г-(С, - 1-sin £ -

f \ /       L2        2          J          L2

- (C, + l)cos tl = e~*(2C, cos £ + 2sin £).

 2         J          2

Звідси,

p'(0) = C2 - 1,

p"(0) = -2C2. Враховуючи, що g = 2p" -- p' - p + 15 i g(0) = 10, знаходимо 10 = 2(-2C,) - (C, - 1) - 6 + 15,

 2' ^ 2

звідки, C, = 0. Отже

 2

p(£) = 5 + e~* cos t.