7.5.1. Розв’язання прикладів


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Приклад 7.60. Розв’язати систему рівнянь:

dx

dt

dy

At

x + 2y, Ax + 3y.

Розвязок. Диференціюємо перше рівняння no t, потім підставляє-мо в одержане рівняння замість у' праву частину другого рівняння системи.

х" = х' + 2у' = х' + 2(4г + Зг/) = х' + 8х + 6г/ =

= х' + 8х + 3( х' - х) = 4 х' + 5.г,

де замість г/ підставляємо з першого рівняння системи —(х - х).

Остаточно

х" -Ах' - 5 = 0.

Розділ VII. Диференційні рівняння

Це є однорідне диференційне рівняння другого порядку з постійни-ми коефіцієнтами. Складемо характеристичне рівняння для нього:

Xі - A A - 5 = 0. Знайдемо корені цього рівняння At = -1, А2 = 5. Загальний розв’язок цього рівняння має вид:

х = С,е~г + С,еч.

1          2

Оскільки 2г/ = х' - х, то

il = — Г(-С,е~* + БС^) - (С,е~г + С„е?*)] = -С,е~г + 2С,е5*.

^1-^!   2 '        1          2          1          2

1

2 Таким чином, загальним розв’язком системи буде:

y = -C1e~t + 2C2e5t.

Опишемо метод Ейлера для розв’язування системи диференці-альних рівнянь (7.21).

Шукаємо розв’язок системи (7.21) у вигляді

„to-

\у-а2ем,

(7.22)

де af, а2, / — невідомі сталі величини.

Шдставляємо (7.22) в (7.21) і одержуємо систему

ї(аи -А)а{ + а12а2 = 0

(7.23)

[я2іяі +{а22-А)а2 =0

Система (7.23) — це лінійна алгебраїчна однорідна система віднос-но а, і а„. Для того, щоб вона мала нетривіальний розв’язок потрібно, щоб визначник системи був рівний нулю, тобто

я^ - A

й22 A

0.         (7-24)

Рівняння (7.24) — це квадратне рівняння відносно А, яке нази-вається характеристичним рівнянням. Кожен із коренів послідовно

dx

dt

dy

At

підставляється в одне із рівнянь (7.23) і невідоме а1 виражається через а2. Розв’яжемо попередній приклад цим методом.

x + 2y, Ax + 3y.

Запишемо систему (7.23) i характеристичне рівняння (7.24)

j(l-A)a1+2a2=0

[4a1+(3-/l)a2 =0

1-A 4

2 3-Л

0 або Xі - 4 - 5 = 0,

звідки

Я1 = -1; Л2 = 5. При X = -1-2а. + 2а„ = 0. Позначимо а. = С„ тоді а, = -С..

 XL      12        11'       21

у(1)=-С1е_ґ.

Аналогічно підставляємо /12 = 5

-Аа, + 2<2„ = 0,

1          2

0L = С„>

1          2'

OL = 2С„.

2          2

(2)

X

С2е ,

(2) Ьі —

2C2e5t

Остаточно

 

С^+С.е5

 

486

[у^у^+у^^-С^+ІС^51.

Розділ VII. Диференційні рівняння

dx dt dy

At

Приклад 7.61. Розв’язати систему диференціальних рівнянь

х-5у, 2х-у.

Розв’язок. Складемо характеристичне рівняння системи 1-Л -5

 0, або Xі + 9 = 0.

А-Л

Коренями характеристичного рівняння будуть числа Л12 = ±3і Тому

\у = а,2е .

Запишемо перше рівняння (7.23). Воно матиме вигляд

(1 - Зі)а. - 5а„ = 0.

Розв’язком цього рівняння будуть, наприклад, числа а. = 5, я, = 1 - Зг. Тому

2

\x = 5{cost + ism3t)

[у = (1 - 3i)(cos 3t - г sin Зі).

Якщо комплексна функція є розв’язком системи 3 дійсними ко-ефіцієнтами, то окремо дійсна і уявна частина розв’язку будуть роз-в’язком системи. Отже розв’язком системи є

Гх = 5(Cj cost + С2 sin 3t)

\ у = Сх (cos 3t + sin Зі) + С2 (cos 3t + sin 3t).

Приклад 7.62. Розв’язати систему диференційних рівнянь

dx dt dy dt

x-y,

 x + 3y.

487

= Xі - 4/1 + 4 = 0

Розв’язок. Характеристичне рівняння цієї системи 1-/1 -1 1 3-/1

має корені \ = Az = 2. Тому розв’язок шукаємо у вигляді

\y = (a2+b2t)e2t. Підставляючи ці значення у вихідну систему, одержимо 2а, + b, + 2b,t = a, + b.t - a„ - bl,

11        1          11        2          2'

звідки

b2 = -bv a„ = -a, + b,.

2          11

Якщо a, i b, позначити через C, i C,, одержимо загальний розв’-

11        l           2

язок y вигляді:

x = (Cj + C2t)e2t, z/ = -(C. + C„ + Cl)e2t.

J          VI        2          2