§1.6. Вектори 1.6.1. Теоретичні відомості


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Вектором називається напрямлений відрізок. Напрям відрізка вказується стрілкою. Розрізняють початок і кінець вектора.

Два вектора називаються рівними між собою, якщо кожний із них можна дістати паралельним перенесенням іншого.

Рівні вектори є паралельними (колінеарними), мають один і той

самий напрям і однакову довжину. Довжина вектора a називається абсолютною величиною або модулем вектора і позначається a .

Вектор називається нульовим (нуль-вектором), якщо він має нульову довжину, тобто його кінець збігається з початком.

Щоб знайти суму двох векторів a і b , сумістимо початок векто-ра b з кінцем вектора a.

Сумою a +b векторів a та b називається вектор, початок якого збігається з початком вектора a , а кінець – з кінцем вектора b (рис. 1.1).

 

b          b

Правило трикутника            Правило паралелограма

Рис. 1.1.

Для додавання векторів мають місце такі закони: 1) переставний (комутативний)

a + b = b + a;

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

2)         сполучний

(a + Ь) + с = a + (b + c);

3)         для кожного вектора a існує протилежний {-a), такий, що

a + (-a) = 0;

4)         a + 0 = a;

5)         для будь-яких двох векторів a i b виконуються нерівності:

\a + b\ < \a\ + \b\, \a - b\< \a\ + \b\. Якщо вектор a утворює кут (p з віссю OX (рис. 1.2), TO проек-цією вектора а на вісь називається величина

 

прх a = ах =

а = х

X

x1 ax x2

Рис. 1.2.

a|cos^,

(1.13)

(1.14)

Нехай вектор має початок у точці

М1(х1, у1, z1), а кінець — у точці

М2(х2, у2, z2). Тоді величини ах = х2 – х1,

ау = у2 – у1, аz = z2 – z1 є проекціями

вектора a на осі х, у, z. Проекції век-тора однозначно визначають вектор. Тому має місце рівність

a = {ах, ау, аz}. Якщо вектор b = {bх, bу, bz}, то проекція суми векторів

a + b = {a +b , a +b , a +b }. Добутком вектора a на число X називається вектор , дов-

жина якого дорівнює \Ла\ = \Л\\а\. Множення вектора на число має властивість асоціативності та дистрибутивності, тобто для довільних

чисел A, /J та векторів a і ~Ь справедливі рівності:

1)         A(jua) = ju(Aa) = (Aju)a;

2)         (A + /j)a = Aa + jua;

3)         A (a + b) = Aa + Ab.

Будь-який вектор a = {ax, a, az]. можна записати y вигляді:

a = axi + a j + azk ,      (1-16)

де i, j, k — одиничні вектори, ax i,

a j ,azk називаються компонентами вектора a (рис. 1.3).

OMt = OM3 + M3M2 + M2Ml = ахі + a j + azk ■

/

X

Рис. 1.3.

(1.15)

M2

Приклад 1.73. Дано два вектори: a = {2; -1; 3} та b = {3; 4; 5}. Знайти вектор 2 a - b.

Розв’язок. 2а - b = {2-2 - 3; 2(-1) - 4; 2-3 - 5} = {1; -6; 1}.

Ознакою колінеарності двох векторів а та b є пропорційність їх координат:

- -        ах ау az

К К bz

(1.17)

Скалярним добутком двох векторів a і b називається число a b, яке дорівнює добутку їх модулів на косинус кута між ними:

ab =\a\-\b\cos(aJ)).      (1.18)

Скалярний добуток можна записати у такому вигляді:

ab =\a\-~b =\b\ npb a.

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

Якщо вектори а та Ь задані своїми координатами, то їх скаляр-ний добуток обчислюється за формулою:

ab =ab + ab + ab.        (1.19)

Враховуючи формули (1.18) і (1.19), можна знайти косинус кута

між векторами a і Ь:

- т        db        axbx + ауК + azbz

cos(а,Ь) = cosm = =гр= = ,,    ^. (1.20)

\a\ ■ \b\ \lax + a23 + a\ ■ ^K + b] + b2z

Звідси випливає умова перпендикулярності двох векторів: якщо

a -Lb , TO a b = 0 або в координатній формі:

ab + а Ь + аЬ = 0 .      (1.21)

X X     у у       Z Z

Серед властивостей скалярного добутку відмітимо як більш ужи-вані такі:

1)         a b = 1) a;

2)         a(b + c) = a b + a c;

3)         A ab = A(ab) = a Ab.

Векторним добутком вектора a на вектор b називається вектор с = ax b, який має такі властивості:

4 с

1)         довжина вектора с дорівнює добутку довжин співмножників на синус кута між ними: \с\ = |fl|• |й |sin^;

2)         векгор с перпендикулярний до векторів a lb]

3)         з кінця вектора с найкоротший поворот

від а до b уявлявся таким, що відбувається           а

проти годинникової стрілки (рис. 1.4).

Зауважимо, що [axb] = -[axb], а модуль векторного добутку

дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах а та Ь, якщо вони віднесені до спільного початку.

У координатній формі векторний добуток векторів a = {ах, ау, аz і b = {bх, bу, bz} можна записати у вигляді:

с

ax Ь

 

i           j           k                                            

                                   f           ay        az                    a          a                      ax        ay

a          a          a                                                                                                                  

X         y          z                      K         K                                                        K         K

                                    I           У         z          X        z          X         y

X         У         z                                                                                                       

. (1.22)

Мішаним або скалярно-векторним добутком трьох векторів

a, b, С називається векторний добуток векторів a і b, скалярно помножений на вектор с, тобто [ах~Ь]с.

Якщо вектори a, Ь, С — компланарні, тобто розташовані в одній площині або на паралельних площинах, то їх мішаний добуток дорів-нює нулю.

Якщо відомі координати співмножників a = {a,a,a}, b = {b , b , b},

C = {c , c , c }, то мішаний добуток обчислюється за формулою:

ax        ay        az

к          by        К

сх        СУ      сг

[axj>]c = ®х ®у 0Z .  (1.23)

Якщо три ненульових вектора a, b, С розташовані в одній пло-

щині (компланарні), то їх мішаний добуток [ax Ь]С = 0.

Отже, в координатній формі умова компланарності трьох нену-льових векторів має вигляд:

54

 

ax        ay        аг

к          by        к

Сх       СУ      Сг

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра