6.3.1. Розв’язання прикладів


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Знайти інтеграли.

Приклад 6.107. \ss     dx.

J

Розв’язок. Підінтегральна функція 32         — це правиль-

x2-2x + 2

x3 +2x2 -8x

ний раціональний дріб, знаменник якого х3 + 2х2 - 8х розкладається на множники х(х - 2)(х + 4), тому даний дріб розкладається на суму найпростіших дробів типу I:

Розділ VI. Інтегральне числення

A x

2x + 2

B

x

C

X

2x + 2

x3 +2x2 -8x x(x-2)(x + A) x x-2 x + A

Невідомі коефіцієнти A, B, C будемо знаходити методом невиз-начених коефіцієнтів. Для цього праву частину одержаної вище рівності необхідно привести до спільного знаменника. Отримаємо

Xі— ІХ + 1 j\(x~2'>(x+4'> £х(х+4) QX(X-2)

,           9          =          +          +          =

х+2х+8х          х          х-2 х + 4

А(х - 2)(х + 4) + Вх(х + 4) + Сх(х - 2)

Ax2

х(х-2)(х + 4)

2Ах-8А + Вх2+ АВх + Сх2

2Cx

х(х-2)(х + 4)

Знаменники в обох частинах рівні, тому і чисельники повинні бути рівні, тобто

х2 - 2х + 2 = Ах2 + 2Ах - 8А + Вх2 + АВх + Сх2 - 2Сх,

х2 - 2х+ 2 = (А + В+ С)х2 + (2А + АВ - 2С)х - 8А.

Остання рівність можлива лише тоді, коли коефіцієнти при од-накових степенях х в обох частинах рівності рівні, тобто

X X

х"

А+В+С=1

2А + АВ-2С = -2

-8Л = 2

Отримали систему рівнянь, з якої знаходимо невизначені коефі-цієнти

A =

 

с=-

5         

4         

1 В = -, С--

6          13 12

393

Підставляємо знайдені значення A, B, C в схему розкладу і отри-муємо розклад підінтегральної функції:

13 12

6 x-2 12 х + А

 

x2-2x + 2

11 46

x+2x-8x x x-2 Інтегруючи останню рівність маємо:

13 12

х2-2х + 2

1 Г6&

—         +

4 J х

1          1

<&• = \^dx + ї

-<&•+ ^—dx +

dx =

 х

х3+2х2

1 <ІГ

х-2

13 r dx + —

J

 

1 . 1, . . 13, . .

— lnra + — mh:- 2 + —mb: + 4 + C.

4          6          12

2x2+5x-8

dx.

Приклад 6.108. j

(x-l)3(x + 2)2

Розв’язок. Шдінтегральна функція — це правильний нескоротний раціональний дріб, знаменник якого містить лише дійсні корені, тому цей дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го та П-го типу.

2х2+5х-8

A

В

с

D

(х-1)3(х + 2)2 (х-1)3 (х-1)2 (х-1) (х + 2)2 х + 2'

Визначимо невідомі коефіцієнти A, В, С, D та Е методом невиз-начених коефіцієнтів та методом задання частинних значень, які доцільно комбінувати. Праву частину рівності приведемо до спільного знаменника, отримуємо:

2х2+5х-8

(х-\у(х + 2у

A(x + 2f+B(x + 2)\x-\) + C(x + 2)\x-\)2+D(x-\f+E(x-\)\x + 2)

(x-lf(x + 2f

Знаменники в обох частинах рівні, тому і чисельники повинні бути рівні:

2^ + 5x - 8 = А(х + 2)2 + В(х + 2)2(х- 1) + С(х+ 2)2(х- 1)2 + + D(x -I)3 + Е(х - 1)3(х + 2).

Розділ VI. Інтегральне числення

Нагадаємо, що отриманий вираз є тотожністю, а через це рівність повинна зберігатися при будь-якому значенні х. При х = -2 отри-муємо:

1(1 2(-2) 2+5(-2)-8 = £>(-2-1) 3 ^-10 = -27£>^£> = —.

\

При х = 1. 2■ I2 + 5-1-8 = Л(1 + 2)2 =>-1 = 9Л => A - —.

Нам залишилось визначити коефіцієнти В, С, Е. Тепер будемо порівнювати коефіцієнти при однакових степенях х в лівій та правій частинах рівності. Коефіцієнти при XА В ЛІВІЙ частині дорівнює нулкХл4 в лівій частині відсутній), а в правій С + Е. Через це С + Е = 0.

Вільний член в лівій частині дорівнює -8, а в правій

44 - АВ + AC - D - 2Е. Ha основі цього отримуємо друге рівняння:

44 - 43 + AC - D - 2Е = -8,

„          л 110

в якому А та D відомі (Л =   ; D — —), маємо

97 2В-2С + Е = — . 27

Ми порівняли саме вільні члени, тому що це можливо зробити, не виконуючи множення та піднесення до степені у правій частині рівності.

Для того щоб отримати третє рівняння для визначення В, С і Е, знову повернемося до способу задання частинних значень.

Якщо х = 2, отримуємо:

2-22 + 5-2 - 8 = 16Л + 16В + 16C + D + АЕ.

1          ю

Знаючи, що A - —, a D - —, це рівняння прийме вигляд

9          27

ІВ + АС + Е = —.

27

Таким чином, для визначення В, С і Е отримали систему рівнянь:

 

            C + E = 0       

            97 2B-2C + E = —

27

AB + AC + E = —

27       

Розв’язавши систему, отримаємо: 

 29 13 13        

5 =—, C-        , E- —.           

27 27 27         

Отже, маємо:

. 1 29 13 10

A- —, B-—, C-          , D- —,           13 E- —.

9 27 27 27       27

Тепер розклад підінтегральної функції має вигляд:

10

27

13

27

13

27

29 27

 

2x2+5x-8

(x-1)3 (x + 2)2 (x-1)3 (x-1)2 (x-1) (x + 2)2 (x + 2) Інтегруючи цю рівність, отримуємо:

2x2+5x-8

29 r dx

J

dx

1 r (if

(x-1)3 (x + 2)2

9 J(x-l)3 27 (x-1)

(x-1) ax           ln|x -l| + — (x + 2) dx + —ln|x + 2| =

J          J

nl         1          29 1     13, .

+ —m\x + 2\ + C =     j           mpc - 1

27        18(x-l) 27 (x-1) 27

 

13 r dx 10 j- dx

J          J

27 x-1 27 (x + 2)2

29        13

27

27

1 (x-1)

9 13

27 -1

29 (x-1)-1

 

1

f(x-l) 3dx

13 r dx

9

13

27

27 ■" x + 2

13, , ,, 10 (x + 2) 1

— mac - 1 + —          +

27        27 -1

Розділ VI. Інтегральне числення

13

10

27(x + 2) 27

ln|x + 2| + C

x3 +4x2 -2x + l

c/x.

Приклад 6.109. I

X +x

Розв’язок. Шдінтегральна функція - це правильний нескоротний дріб, знаменник якого: Xі + х = х(х? + 1) = х(х + 1)(х2 - х + 1). Маємо, що знаменник містить квадратний тричлен, який не розкладається на множники, та два дійсних кореня х = 0 та х = -і, то даний дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го та Ш-го типу

A x

Ах2 -2х + 1

х

Ах2 -2х + 1

X

В Mx + N

х+1 х -х+1

ХА + X           Х(Х + 1)(Х2 - X +1)

Невідомі коефіцієнти А, В, М та N будемо шукати методом не-визначених коефіцієнтів. Для цього праву частину рівності потрібно привести до спільного знаменника, отримаємо:

Xі + Ах2-2х + 1 _ А(х3 + l) + Bx(x2-x + l) + (Mx + N)(x2+x)

Xі+х    х(х + ї)(х2 -х + ї)

Знаменники в обох частинах рівні, тому і чисельники повинні бути рівні, тобто:

х3 + 4г2 - 2х + 1 = А(х3 + 1) + В (х2 - х + 1) + (Мх + N)(x2 + х) =

= (А + В + Мух3 + (-В + М + iV).r2 + (В + iV).r + A Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях букви х ,ми отримуємо систему рівнянь для знаходження коефіцієнтів А, В, М, N

 

А + В + М = 1                        г в+м = о,       'М = 2,

B + M + N = A, B + N = -2,  > =>    -B + M + N = A, £ + N = -2, N = 0, В = -2,

Л = 1.              А = 1,  А = 1.

і

X

%

%

X

Отже, розклад підінтегральної функції приймає вигляд

3 '-4х2-2х + 1 1 -2     2х + 0

X

X

X

X х+1 х - х +1

397

Інтегруючи цю рівність, отримаємо:

гх3 +Ах2 -2x + l fl      r-2       r 2xdx

            dx= \—dx+      dx+ \    =

J X +x  Jx Jx+1            Jx x+1

rdx „ r dx         r2x-l + l , , . „, .

= — - 2            +;        ax = mm - 2m .r + 1 +

Jx         Jx + 1 V-x + l

r 2i-l , r dx       , I I „, . I n

+ I       ax + I   = m\pc\ - 21n|x+l| + ln|ar - x + 1| +

Д.        Д. ~т~ _L       JL        JL \ i-

Г dx     ,           ,i

+ I       T= = ln|x| - 21n|x + 1| + m|X - x + 1| +

(*—) 2+() 2 v 22

+ —j= arctgj^- + C = ln|x| - 21n|x + 1| + m|X - x + 1| +

уЗ        v3

2

2          2x-l

+ i= arctg= + C.

V3       V3