§ 6.3. Поняття раціонального дробу.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Інтегрування раціональних дробів

Дріб     називається раціональним, якщо иого чисельник

Р (х) та знаменник 0(х) є многочлени. Раціональний дріб називаєть-ся правильним, якщо найвищий показник степеня його чисельника п менший від найвищого степеня знаменника т. У противному випад-ку дріб називається неправильним. Інтегруються лише правильні дробі. Неправильний раціональний дріб, у якого степінь чисельника вищий або дорівнює степені знаменника, можна діленням чисельни-ка на знаменник представити його у вигляді суми многочлена та правильного раціонального дробу, в якого степінь чисельника ниж-чий за степінь знаменника.

Наприклад. Задано неправильний дріб

Ах4 -Ах + 5 х2-2х + 1 Поділимо чисельник на знаменник:

Ах4 - Ах + 5 I х2 - 2х + 1 ~4г4 - 8т3 + Ах2 I Ах2 + 8х + 12 8Х3 - Ах2 - Ах + 5 "&С3 - Ібх2 + 8х

Хіх2 - \2х + 5 ~ 12а2 - 2Ах + 12 12х - 7

Отримали:

Ах4-Ах + 5     12х-7

Ах2 + 8х+ 12 +

х2-2х + 1        х2-2х + \

Найпростішими раціональними дробами I, II, III та IV називають правильні дроби вигляду

A I.

х-2

A

II.        т, (k > 2, ціле додатне число).

(х-а)

Ах + В р2       m

III.       ;           , (—-#<U).

х + px + q 4

Ax+ 5  г)2

VI.2     A> (^ — 2, ЦІле Д°Датне число і— q <0).

(х +px + q)      4

Умова £— g < 0 означає, що квадратнии тричлен х2 + рх + q яе 4

має дійсних коренів і на множники не розкладається.

Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів.

Інтеграли від найпростіших раціональних дробів І-го та П-го типів

знаходять методом безпосереднього інтегрування.

I.          f           dx = A\            = Aln|x-a| + C  (6.8)

}х-а     }х-а

II.        f           Tdx = A і(х-ayk dx = А(Х ,     + С =   гт. (6.9)

При інтегруванні найпростішого дробу Ш-го типу необхідно ви-конати перетворення.

л п       (2х + р) + (В-^)

ттт г Ах + В , г9         ^/ v 2у,

III.       ;           «Х =    ;           «X =

:х +px + q        J          х +px + q

A (2x + p)       Ap       dx

r (zx + p)         s\p I

„9        dx + (B - )

2 Jx +px + q    2 /Jx +px-q

A         2B-Ap dx

 |ln x2 +рт + ^ | +

2          2          (x+f)2+(?-^)

— In x 2 + wx + (7 +  ,           arete ■ == + C =

2          2 ^q-p2           ^q-p2

2

2

Розділ VI. Інтегральне числення

Л, ,,     . 2В-Ар           2х + р „

= —Іпрг + рх + q\ + , =arctgр            + С.     (6.10)

2          Мл-г)2            Мп-р2

Інтеграл від найпростішого дробу IV-ro типу шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла від найпростішого дро-бу типу III.

еграл від дрооово-рацюнальноі функцп

Рп(х)   „          „

             правильнии дріб, можна знаити (виразити через елементарні

функції) шляхом розкладу на доданки, які завжди приводяться до

формул інтегрування. Будь-який    правильний раціональний

дріб розкладається на суму найпростіших раціональних дробів, кое-фіцієнти яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів. Вигляд найпростіших дробів визначається коренями знаменника

Qm(x). Можливі наступні випадки:

1. Корені знаменника тільки дійсні та різні числа, тобто 0(х) = (х-а, )(х - аЛ ■ ... ■ (х - a ).

В цьому випадку правильнии дріб розкладається на суму

Qm\X)

найпростіших дробів 1-го типу:

Р«(Х) A Л       4,

Інтеграл від дробово-раціональної функції Г^      dx , де

де Av А2,..., Ап — невизначені коефіцієнти, які знаходяться з тотож-ності, що написана вище.

2. Корені знаменника тільки дійсні числа, причому деякі з них кратні, тобто

0(х) = (х-а)- ... ■ (х - Ь)'.

Тоді правильнии дріб            розкладається на суму наипрості-

ших дробів 1-го та 2-го типів:

Рп(х) A           Bt        В2       Bt_t     В{

Qnix) х-а         x-b (x-b)2        (x-by1 (x-b)1 '

Де невизначені коефіцієнти А, ..., Bv В2, ..., Ві_v Ві знаходяться з тотожності, що написана вище.

3. Корені знаменника дійсні числа, причому деякі з них кратні, крім того знаменник містить квадратний тричлен, який не розкла-дається на множники, тобто

0(х) = (х- а)(х - Ь)Чх2 + рх + q).

ад

а цьому випадку дріб             розкладається на суму наипрості-

ших дробів І-го, П-го та Ш-го типів

Рп(х) А           Д         В2       ВіЛ      Вг        Mx + N

+          +                    + ...+   +          +

Дх) х-а x-b (х-Ь)2      (х-Ь)г1 (х-Ь)г х2 + px + q

де А, В„ В„, ..., В. ,, В., М, N невизначені коефіціенти, які необхідно знайти.