6.2.3.1. Розв’язання прикладів


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Знайти інтеграли.

Приклад 6.51. [in xdx. Розв’язок. Нехай

u = \nx, dv = dx

du =—dx, v= \dx = x

x          J

За формулою інтегрування частинами маємо

1 llnxdx = x-\n x - їх—dx = x\n x - \dx = x ln x - x + C.

Приклад 6.52. jxsin Розв’язок. Нехай

u = x,

1

cos5x

du = dx do = sin 5xdx, v = [sin 5xdx = — [sin 5x ■ 5dx Використовуючи формулу, одержуємо

Г          • Г J     1          Г 1       C J       %

xsmoxar = x(— cos 5x) - —cosojrax = —cos 5x +

J          J

 

1

[cos5xt/x

 

1

25

cos 5x 4 r [cos5x-5dx

 

cos 5x +

+ — sin 5x + C 25

Приклад 6.53. \(x2 + 3x - 5)e2xdx. Розвязок. Нехай

u = x2 + 3x-5, dv = e2xdx

du = (3x + 3)dx, v = \e2xdx = — \e2x2dx = —e2x

Одержуємо

\(x2 +3x-5)e2xdx = —e2x(x2 + 3x - 5) - \—e2x(2x + 3)dx =

J          2          J2

1 , ,      1 IV     2r ,

= — e^x2 + 3x - 5)     (2;r + 3)e ax.

2          2 J

До останнього інтеграла знову застосуємо формулу інтегрування

частинами.

378

и = 2х + 3, dv = e2xdx

du = 2dx, v = —e2x 2

Розділ VI. Інтегральне числення

Г          п ч 2x  1          fl 2l0J   1

\(2х + 5х)е dx = — е2х(2х + 3) - — е /ax = — е2х(2х + 3)

J          J

            g2x + £

2 Отже, одержуємо:

(х +ох-5)е ЙХ = — <г%г + Зх - 5) - — ( — еІХ(2х + 3) -

J          2          2 2

1          , ^ч 1 , / , о      1 wo    1 ,

            еіх + Q = _е2х^ + Зх - 5)       е^/х + 3) + — е1* + С =

2          2          4          4

1 о , о

= — ег-(хг + 2х - 6) + С. 2

Приклад 6.54. jx arctg xdx. Розв’язок.

du =     Trdx, v- \xdx =

и - arctg х, dv - xdx 1 1 + х2

2

Одержуємо:

f           X         F2 1 A X2

2

2 l + xz

|xarctg xdx = — arctg x - \—   ;гмх = ~arct£x

dx.

1 x

2 l + x2 Останній інтеграл знайдемо окремо:

1 + х2

rl + X2-l

\           гйх = [ dx = \ \

}1 + х2            } 1 + х2           J {l + xz l + xz

dx

 

r(.        1 ^ ,     r           r 1

1          ux = \dx -        dx = x - arete x + C.

\ i+x 2) J h+x 2            б

379

Звідки

Г          J          %         !           ^ч        X

2

x arctg xor = —arctg x            (x - arctg x + Q = —arctg #

1          1          x2+l

— x + — arctg x + C =           arctg x

2          2          2

Приклад 6.55. \еш cos bxdx.

%

+ C.

Розв’язок. В цьому прикладі двократне застосування інтегруван-ня частинами приведе до інтегралу, який мали за умовою.

u = e

du = eaxadx

 

\eax cos bxdx

A

dv = cos bxdx, v = [cos bxdx =—sin bx

1 • ,     rl •       ax        1          a r „r

= -Ліп to - \—sm bxeadx = — e^sin bx          \e sm bxdx-

b          b

До останнього:

 •>       i

du = e^adx

r           1

dv = sin bxdx, v= sin bxdx = — cos fa

J

u = e

Г ax ■  1          Г 1       ax        1

\e smbxdx = —cos bx - \—-cos bxeadx = —cos bx +

a

i           i

 

b

\eax cos bxdx.

Повернемося до останньої умови. Позначимо одержаний інтег-рал через 3 = \еах cos bxdx ■

і

e cos

bxdx

1 • 1 a , \         a г от

- emsm to        ( — emcos bx + — em cosbxdx ) =

 i

 

1a        a2

= eaxsin bx + 2            eax cos bx – 2

bb        b

e cos

bxdx.

Розділ VI. Інтегральне числення

Одержали інтеграл, який позначали через 3. Таким чином,

1 . , a   a2 r_

3 = — emsm ox + —r emcos ox         3.

b          b          b

Ми одержали рівняння з невідомою величиною 3. Перенесемо останній доданок в ліву частину рівняння, знайдемо:

а2 ^ 1  a

3 + —г ~S = — emsin ox + —r emcos ox.

b          b          b

Винесемо в лівій частині цього рівняння 3 за дужки:

a2 +b2 1          , a

            9 ^ = — em(sin ox + — emcos ox).

bo        b

Звідки знаходимо значення інтегралу 3.

Гях , j  Ь2 1     ,           й          ,^

3 = е cosforax =—-em(sin ox + — eaxcos ox) + C =

J          tf+crb   b

ax

a2+b2

(bsin bx + acos bx) + С.