5.4.1. Розв’язання прикладів


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Приклад 5.69. Потік пасажирів z виражається функцією z = —,

У

де х — число жителів, у — відстань між містами. Знайти частинні похідні і пояснити їхній зміст.

 ,          dz 2х

Розвязок. Похідна —— = — показує, що при одніи і тіи же ox у

відстані між містами збільшення потоку пасажирів пропорційне под-

dz        х2

воєному числу жителів. Похідна — =        показує, що при одній

ду        у1

і тій же чисельності жителів збільшення потоку пасажирів обернено пропорційне квадрату відстані між містами.

Приклад 5.70. Для випуску деякого товару визначена виробнича функція f(x, у) = 2Qx + 10г/ - 2г/2 + іх2 + Зху, де х та г/ — чинники виробництва. Визначити: а) закон зміни виробничої функції; б) ела-стичність функції за кожним чинником; в) коефіцієнт еластичності за чинниками при х = 1, г/ = 1.

Розв’язок.

а) Щоб визначити зміну виробничої функції за чинниками х і г/,

 df df треба знати частинш похідні ^ та ^.

дх ду

df         df

— = 20 + 8х + Зг/;— = 10 - 4г/ + Зх.

ох        ду

Розділ V. Диференціальне числення функції багатьох змінних

б) Використавши означення еластичності функції за чинником, знайдемо:

де z = 20х + 10у – 2у2 + 4х2 + 3ху.

в) Обчислимо коефіцієнти еластичності при х = 1, у = 1. Знайдемо спочатку значення виробничої функції при х = 1, у = 1.

E (z) =

x dz z dx

У dz

E (z) = — —

y z oy

%

z

У

z

(20 + 8х+Зг/);

(10 - 4г/ + 3х);

31

35

9

0,89;

E (z) =

 

20        + 8 + 3

            35

10        -4 + 3

0,26.

E (z) =

35        35

Отже, із зростанням чинника х на 1% відбувається відносне зро-стання заданої виробничої функції приблизно на 0,89% (за умови стабільності чинника у). При зростанні чинника у на 1% і незмінності чинника х виробнича функція зростає приблизно на 0,26%. Таким чином, найбільше впливає на виробничу функцію z = f(x,y) чинник х.

Зауважимо, що від’ємне значення коефіцієнта еластичності по-казує зменшення виробничої функції при зростанні відповідного чинника. наприклад, якщо Ex(z) = –0,08 і z = f(x,y) — функція випус-ку продукції, то зростання чинника х на 1% призводить до зниження випуску продукції на 0,08%.

Приклад 5.71. Нехай виробнича функція z = 2x2y + 3xy2 + x3, де х — витрати живої праці, у — витрати уречевленої праці. Знайти Ex(z) і Ey(z) в точці (1; 1).

Розв’язок. Наближений відсотковий приріст функції z, що відпо-відає приросту незалежних змінних х і у на 1%, визначимо за фор-мулами:

x дz      y дz

Ex(z) = та Ey(z) =        .

z дx      z дy

Обчислимо частинні похідні функції z по х і по у:

363

Тоді

dz

—— = Axy + 3z/2 + Зх2;

ox

dz

— = 2x2 + oo/.

ay

E (z) =

x(Axy + 3y +3x ) 2x2y + 3xy2 +x3

y(2x2 +6xy)

E (z) =

"у         2x2y + 3xy2+x3

Знайдемо значення E (z) i E (z) в заданій точці (1; 1):

У

E (z) = — « 1,67; E (z) = — « 1,33.

lW 6    y          6

Із зростанням витрат живої праці на 1% обсяг виробництва

збільшиться приблизно на 1,67%, а із зростанням витрат уречевленої

праці на 1% обсяг виробництва збільшиться приблизно на 1,33%.

Приклад 5.72. Фірма виробляє два види товарів Gi і G2 і продає їх за ціною 1000 грош. од. та 800 грош. од відповідно. Обсяги випус-ку товарів 0, і Q,. Функція витрат має вигляд:

С = 2Q.2 + 20. Q, + Q,2.

М        *М *~2           ~2

Знайти такі значення Qt і Q2, за яких прибуток, отриманий фірмою, максимальний. Знайти цей прибуток.

Розв’язок. Сумарний прибуток від продажу товарів G, і G„ буде:

R = lOOOQ. + 800Q„.

*M      ~2

Прибуток, який отримає фірма, позначимо П. Він являє собою різницю між прибутком R і витратами С, а саме:

П = R - С = (10000. + 8000,) - (202 + 20,0, + On2);

ЩО^Ол) = 1000Q, + 800Q, - 202 - 20,0л - On2-Треба Знайти максимум цієї функції. Для знаходження стаціо-нарних точок знаходимо частинні похідні першого порядку від функції П(0.,ОЛ і прирівняємо їх до нуля:

Розділ V. Диференціальне числення функції багатьох змінних

дП

—        = 1000 - 40. - 20,,

°Qi

дП

—        = 800 - 20 - 20,-

oQ2

1000-4Q1-2Q2=0

800-20^-20^=0

Розв’язавши систему, знайдемо O = 100, Q, = 300. Отже, стаціонарна точка Mn(100; 300).

д2П 4; В=

д2П А = дQ12

M0      ^CA^Cc?

д2П 2; С =

d(222

мс

2.

A < 0, A = AC - B2 = -4(-2) - 4 = 4 > 0.

Тому точка M0(100; 300) є точкою максимуму. Максимальний прибуток досягається при обсягах виробництва О = 100, Q, = 300. Знайдемо суму максимального прибутку:

Я(100; 300) = 1000-100 + 800-300 - 2-1002 2100300 3002 = = 170000 грош. од.

В економічних дослідженнях часто ставиться задача порівняння чинників і показника, прийнятого за функцію. У цьому випадку доцільно залежність між функціональною ознакою і чинниками -аргументами х„ х„, ... , х виражати у вигляді степеневої функції

z = А х"1 х"2... х"'... харр,

тоді показник степеня аі є показником еластичності z no х.. Наприк-

лад, обсяг виробництва в тисячах грошових одиниць в залежності від деяких виробничих чинників xv х2, х3, хі представлений функцією z = 2,98(х)0'39 (хЛ°А8 (хЛ°-і8 (х,)-°-09. Коефіцієнти еластичності а{ = 0,39, а2 = 0,48, а3 = 0,18, аА = - 0,09

показують, що на темпи підвищення обсягу виробництва найбільше впливає чинник х2. У разі збільшення х2 на 1% випуск продукції зростає на 0,48%. Збільшення ж х, на 1% призводе до зниження ви-пуску продукції на 0,09%.