4.8.12. Загальний план дослідження функції та побудова її графіків


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Загальне дослідження функції та побудову їх графіків зручно використовувати за наступною схемою:

I.          Знайти область визначення функції.

II.        Знайти точки розриву функції та її односторонні границі.

III.       З’ясувати, чи являється функція парною, непарною або пері-одичною.

IV.       Знайти точки перетину графіка з осями координат.

V.        Знайти асимптоти графіка функції: а) вертикальні; б) похилі.

VI.       Знайти точки екстремуму та інтервали зростання та спадан-

ня функції.

VII.      Знайти точки перегину графіка функції та інтервали опук-лості та вгнутості кривої.

VIII.    Побудувати графік функції, враховуючи всі одержані резуль-тати дослідження. Якщо їх буде недостатньо, то необхідно знайти ще декілька точок графіка функції, виходячи із її рівняння.

Задача 4.72. Дослідити функції та побудувати їх графіки.

1) у = х(х + 1)3;

2) у

X

2(x + l)2

;

 

3) y = убх2 - Xі ;

4) y = —; X

 

5) (p(x)

1

e

x2 2

6) у

x lnx

 

324

Розв’язок.

1) y = x(x + l)3.

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

I.          Область визначення функції у = х(х + I)3 — вся числова пряма

Ох, тобто (-оо;оо).

II.        Точок розриву немає.

III.       З’ясуємо, чи є функція парною, чи непарною, ані парною, ані

непарною.

f(x) = хіх + I)3; f(-x) = -х(-х + I)3; f(x) Ф/( -х)\ fix) Ф -/( -х). Отже, функція є ані парною, ані непарною. Функція неперіо-дична.

IV.       Для знаходження точок перетину графіка функції з осями

координат

а) з віссю Ох.

у = 0 \у = хіх + ї) 3 б) з віссю Оу:

у = 0    у = 0

кх = 0, (х + 1) 3=0 ^ \х = 0, х = -1

 

х = 0

х = 0

Гх = 0

I у = 0

\у = хіх + 1) 3 [г/ = 0(0 + 1) 3

V.        Знайдемо асимптоти графіка функції:

а)         вертикальних асимптот немає.

б)         Похилі у = kx + Ь.

(х + I)3 = ±00.

,. fix) xix + lf ,.

k = hm = lim i   = km

Похилих асимптот немає.

VI.       Знайдемо точки екстремуму та інтервали монотонності:

у' = (х + I)3 + Зх(х + I)2 = (х + 1)2(х + 1 + Зх) = (х + 1)2ііх + 1) у' = 0; (х + 1)2ііх + 1) = 0,

х, = -1; х„ =

1          2

 

критичні точки першого роду.

 

Подальше розв’язання можна оформити у вигляді таблиці.

325

 

х          (-00J-1)           -1        1 ч

(-1; —) 4         1

4          (—;°°) 4

у'         -          0          -          0          +

у          \           0

екстремуму

немає  \           min 27 256      Z1

1

27

1 1

 

у . (х = — ) =  (           + I)3 =

4

256

4 4

VII. Знаходимо точки перегину та інтервали вгнутості або опук-лості графіка функцій:

у" = 2(х + 1)(4х + 1) + А(х + I)2 = 2(х + 1)(4х + 1 + 2х + 2) = = 2(х + 1)(6х + 3) = 6(х + 1)(2х + 1).

іі" = 0; (х + 1)(2х + 1) = 0; х,= -1; х„ = Складемо таблицю

 

х          (-оо;-1)           -1        1 ч

(-1; —) 2         1

2          (—;°°) 2

г/"        +          0          -          0          +

у          крива вгнута  0 перегин       п

крива

опукла            1

16

перегин          крива вгнута

г/ (х = -1) = 0; г/ (х =—) =     .

w         w 2 16

VIII. Побудуємо графік. (Рис. 4.14).

X

2) г/ =

2(х + 1)2

I. Знайдемо область визначення заданої функції. Функція визна-чена при всіх значеннях х, крім х = -1, при якому знаменник дробу перетворюється в нуль. Отже функція визначена на інтервалах ( -оо, 1) і (-1, со).

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

A(-\;-je)

X

-2        -1,6 -1,3          -1

II. Знайдемо точки роз-риву та її односторонні гра-ниці в точках розриву.

Точка розриву одна х =-\.

,.          ,.          X3

*->.-і-о           х^-і-о 2(х + 1) 2

= —оо ;

X

11 ~\Х\ II = 11 ттп

2(х + 1)2

= — оо. III. З’ясуємо, чи є функ-ція парною, чи непарною або періодичною:

Рис. 4.14.

л-0,2

fy

 

f(x) =

X

2(х + 1)2

f(-x) =

(-xf      Xі

             =        

2(-х + 1) 2 2(х-1) 2

/(х)ф/(-х); /(х)Ф-f(-x). Отже, функція є ані парною, ані непарною. Функція неперіодична. IV. Знаходимо точки перетину графіка з осями координат: а) з віссю Ох.

У = о

и

X

2(х + 1)2 б) з віссю Оу:

=>

у = 0

3

х

2(х +1)2

г/ = 0

= ()=> хз=0=>

х = 0

 

U

 

3

х = 0

х

2(х + 1)2

=>

IJ

х = 0 03

2(0+ 1)2

=>

\х = 0

[у = о

327

V. Знаходимо асимптоти:

а)         Вертикальні асимптоти знаходимо прирівнюючи знаменник до

нуля:

2(х + I)2 = 0, х = -1.

б)         Горизонтальні асимптоти знаходимо так:

 ,.         х3        ,. Зх2   ,. 6х

lim у = hm        r = hm  = hm — = ±00,

і^+=о х^±со 2(х + 1) ж^±со 4(х + 1) "±со 4

а це означає, що горизонтальних асимптот немає.

в)         Похилі асимптоти:

,. f(x) ,. х3        1.         х2

& = hm            = hm    = hm

i^-co x x^-co 2(x + l)2x x^~co 2(x + l)2

,. 2x     ,.2 1

= hm                = hm — = —;

*->-°° 4(x + l) *-~» 4 2

x3

0 = hm (/(x) - he) = lim (          - — x) =

i^-co    x^-co 2(x + l) 2

,. x3-x(x + l)2 ,. -2x2-x 1 ,. -2x2-x

hm       t = hm  = - hm

2(x + l) x^-w 2(x + l) 2 *->-°° (x + 1)

X^»-x

1          -4x-l 1 -4 1 ,

= — lim            = — lim — = —(-2) = -1.

2          *->-o° 2(x + l) 2 x^-m 2 2

^          1

іюхила асимптота одна: y = —x- 1.

2

VI. Знаходимо точки екстремуму та інтервали зростання та спа-

дання функції.

Знаходимо похідну

Зх2-2(х + 1)2-х3-4(х + 1) 2х2(х + 1)(3х + 3-2х)

у'

4(х + 1)4         4(х + 1)4

х2(х + 3)

2(х + 1)3 328

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

у'

Зх2 -2(х + 1)2 -х34(х + 1) 2х2(х + ї)(3х + 3-2х)

4(х + 1)4

4(х + 1)4

х2(х + 3)

2(х + 1)3 Знайдемо критичні точки:

X

1) у' = 0,

= 0, х = 0, х, = -3.

 1         2

2(х + 1)2

2) г/ = оо, (х + I)3 = 0, х = -1, але при х = -1 функція невизначена.

Розбиваємо область визначення критичними точками на інтер-вали і встановлюємо інтервали монотонності та екстремуми:

 

-3

1 0

+00

Складемо таблицю:

 

х          (-оо;-3)           -3        (-3;-1) -1        (-1; 0)  0          (0; +оо )

у'

У         +          0          -                      +          0          -

 

            Z1        max 27 8         \          

            Z1        не ек-стре-мум          Z1

уmax(х = –3) =

(-3)3    27

2(-3 + 1) 2      8

VII. Знаходимо точки перегину та інтервали вгнутості та опук-лості кривої:

у"

(2х(х + 3) + х2)2(х + 1)3 -(х2(х + 3)6(х + 1)2)         Зх

(х + 1)4

4(х + 1)6

Визначимо критичні точки другого роду:

329

0, х = 0.

(х + 1)4

Розбиваємо область визначення функції критичними точками х = 0 та х = -1 на інтервали і встановлюємо інтервали опуклості та вгнутості криої та точки перегину кривої.

 

1

0

+00

Складемо таблицю:

 

X

у'

У         (-00;-1)           -1        (-1; 0)  0          (0; со)

 

            -                      -          перегин          +

 

            п         

            п         

            u

 0

03

У

2(0+ 1)2 Це точка О(0; 0).

=0

 

-2 --3 --4 --5 ---6 -

-4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1~~1,5 2 2,5 3 3,5

-1,

-7

Рис. 4.15.

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

VIII. Побудуємо графік.

3) у -sQx2 -х3 .

I.          Функція визначена для будь-якого х, тобто х ( -оо, оо ).

II.        Функція неперервна на всій осі.

III.       Дослідимо функцію на парність чи непарність:

у(х) = v6x2 -Xі ;

у(-х) = у 6(-х)2 -(-х)3 = -убх2 + Xі ,

/(х)Ф/(-х); f(x) Ф -f(-x). Отже, функція є ані парною, ані непарною. Функція неперіодична. IV. Знаходимо точки перетину з осями координат:

а)         з віссю Ох.

У = 0   у = 0    ґ г/ = 0

\у = ЇІ6х2-х3 \їІ6х2-х3=0 ^ |бх2-х3=0 "

г/ = 0   г/ = 0

[х (6-х) = 0 [^=0, х2=Ь

б)         з віссю Оу.

х = 0    х = 0    \х = 0

= fe2-x3          fc2-x3=0 U = 0

Тому (0; 0) і (6; 0) — точки перетину графіка з віссю Ох; (0; 0) точка перетину графіка з віссю Оу. V. Визначимо асимптоти кривої: Вертикальних асимптот немає. Похилі: у = kx + Ь.

, ,. fix) ,. ЇІ6х2-х3 ,. /бх2-х3

Р = ІІІЇІ            = ІІІЇІ              — ІІІЇІ /

X         х^+со  %         х^±с° V X3

 6

= lim 2/            1 = -1;

*->±°° V х

331

b = lim (f(x) - kx) = lim (v 6x2 -x3 + x) =

 

 (fc2 -x3 + x)(^/(6x2 -x3)2 -xfc2 -x3 + x2)

lim       

lim

 

^/(6x2 -x3)2 -хлібх2 -Xі + x2 6x2 -Xі +x3

^/(6x2 -x3)2 -хлІ6х2-х3 +x2 6x2

|(6x2-x3)2 хл/&

lim

 

.A-       .A

 6         6

= lim ,              ,           = = — = 2.

м±со J36x4-12x5 + x6 _ 3 бх^ _ x^  3

V         x 6       V x 3 x 3 +

Отже, y = -x + 2 — похила асимптота. VI. Знаходимо y' і визначаємо критичні точки:

, 1-      12х-3х2           4х-х2

г/ = (6х -х )3)'

3^/(6х2-х3)2 ^/(6х2-х3)2 1) Із рівняння z/ = 0:

4х-х2

0, 4г - х2 = 0,

^/(6х2-х3)2 х(4 - х) = 0, х = 0, х„ = 4.

 1         2

2) у' = оо, 6х2 - х3 = 0, х2(6 - х) = 0, х3 = 6.

Xj = 0, х2 = 4, х3 = 6 — критичні точки.

Розбиваємо область визначення критичними точками на інтер-вали і за знаком похідної в цих інтервалах встановлюємо інтервали монотонності та екстремуми:

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

 

х          (-°° ;0) 0          (0; 4)   4          (4; 6)   6          (6; +оо )

у'         -          00        +          0          -          00        -

у          \           min 0    /           max 2^4          \           немає екстре-муму    \

Отже, у . (0) = 0, у (4) = 2л/4 .

VII. Знайдемо точки перегину та інтервали опуклості та вгнутості кривої:

у"

 /          2

4Х-Х

^/(6х2-х3)2

(4-2х)^/(6х2-х3)2 -(4х-х2)(6х2 -х3) 3(12х-3х2) ^/(6х2-х3)4

3(4 -2х)(6х2 -х3)- 2(4х -х2)(12х- Зх2) 3^/(6х2-х3)5

-24х2   -8

Зх2^х4(6-х)5 ї] Xі (6-х)5

г/ Ф 0, у" = <х>,

^(6 - х)5 = 0, х. = 0; х„ = 6 — критичні точки другого роду. Складаємо таблицю і досліджуємо знак у" поблизу кожної кри-тичної точки другого роду.

 

х          ( -co; 0)           0          (0; 6)   6          (6; со)

у'         -          00        -          00        +

у          П

крива

опукла            перегину немає         п

крива

опукла            0

точка

перегину        крива вгнута

333

6-у

2

X

-0-

Ч         1          ь

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 Я5^~<3 3,5 4 4,5 5 5,5 A 6,5 7

-2 --

-4

у = 2 - х

-6

Рис. 4.16.

у (х = 6) = v 6(6) - 6 = 0. VII. Побудуємо графік:

4) г/

ex

х

I.          Функція визначена для будь-якого х, крім х = 0, тобто в інтер-

валах ( -оо, 0) і (0; +со ).

II.        Знайдемо точки розриву та її односторонні границі в точках

розриву

х = 0.

х

11 і/і —— 11 тп

і^О-О  х^0-0

е

X

-00

х

1 •

Urn у = lim — = +оо.

х^0+0  х^0+0 х

Функція неперервна в інтервалах (-°°, 0) і (0; +оо ). Функція неперіодична.

III. З’ясуємо чи є функція парною чи непарною:

f(x) = —, д -х) =         .

X         -х

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

Hi одна із нерівностей f(x) Ф /( -х), f(x) Ф -/( -х) не має місце. Отже, функція ані парна, ані непарна.

IV.       Графік функції не перетинає осей координат, так які^ 0 і

у Ф 0.

V.        Визначемо асимптоти графіка функцій:

а)         Значення х = 0 (тобто вся вісь Оу) являється вертикальною

асимптотою кривої.

б)         Горизонтальні асимптоти:

 ех lim у = lim — = +оо,

lim у = lim = 0.

Х^-со  х->-да

Горизонтальною асимптотою являється вісь Ох (у = 0).

в)         Знайдемо похилі асимптоти, рівняння яких у = kx + Ь.

Єх k. = lim J v ' = lim ^- = lim — = +oo.

Це означає, що при х —> +оо похилих асимптот немає.

Єх Ь = lim ^ ' = lim — = lim — = 0,

Х^-со  у          Н" I      Х^-со у2

о = lim (j(x) - kx) = lim — = 0.

X^-co  X^-co x

y = 0 (похила асимптота співпадає з гризонтальною). VI. Визначемо точки екстремуму та інтервали зростання та спа-дання функції.

(ехЛ\ ех-х-ех ех(х-1)

у'

V х J

х1        х1

Знаходимо критичні точки:

335

1) Із рівняння у' = 0, тобто

ех(х-1)

X

0, слідує, що х = 1.

2) у' = оо при х = 0, але при х = 0 функція не визначена. Таким чином, функція має критичну точку х = 1. Область визначення функції поділимо на інтервали (-°о; 0),(0; 1), (1; оо).

Складемо таблицю:

 

х          ( -co; 0)           0          (0; 1)   1          (1; +оо )

у'         -          не існує          -          0          +

у          \          

            \           mine     Z1

Отже, уmin(1) = е,

VІІ. Знайдемо точки перегину та інтервали опуклості та вгнутості кривої:

г/"

 

ех(х-1)

х

ex(xz-2x + 2)

X

Знайдемо критичні точки другого роду.

З рівняння

ех(х2-2х + 2)

X

0, враховуючи, що е* Ф 0, то х2 - 2х

+ 2 = 0, але дискріменент квадратного рівняння менший за нуль. Отже, немає дійсних значень х, при яких друга похідна дорівнює 0.

Знайдемо значення х, при яких у" = со. Таким единим значенням являється х = 0. але точка перегибу при х = 0 не може бути, так як при х = 0 задана функція не існує. Отже, точка перегибу ірафіка функції не існує.

Для визначення інтервалів опуклості та вгнутості ірафіка функції

розглянемо знак у" на інтервалах (-оо, 0) і (0; +со ). у" < 0 на ( -co, 0), крива опукла; у"> 0 на (0; +со ), крива вгнута.

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

+ У

 

-3 -2,5 -2 -1,5 -1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

-0—-

-8\

-10 L

\

VІІІ. Побудуємо графік. Рис. 4.17.

5) <р(х)

1

2^

е

2

Функція, яка відіграє важливу роль в теорії ймовірностей, а та-кож в математичній та економічній статистиці.

I.          Функція визначена для будь-якого дійсного значення х. вона

приймає тільки додатні значення: х є (-оо,со); <р(х) є(0; +оо ).

II.        Точок розриву немає. Функція неперервна на інтервалі

( -00 ,00 ).

III.       Функція парна:

<р(х)

1

е

2

 

<р(-х)

1 (^2 е 2

2i

1

2Ьг

Є

2

 

так як (р(х) = <р(-х).

Графік функцій симетричний відносно осі ординат.

337

IV. При х = 0 значення <р(х) =

1

[Ьг

 

0,4.

Точок перетину з віссю Ох немає, так як (р(х) Ф 0. V. Знайдемо асимптоти:

lim <р(х) = lim

1

(ЬІ

1

е" = 0.

Отже, вісь Ох (у = 0) є горизонтальною асимптотою кривої. VІ. Знайдемо точки екстремуму та інтервали монотонності. Знаходимо першу похідну функції:

<р'(х)

–х

1

^

Є

-х<р(х).

Очевидно, <р'(х) >0 для х <0 і <р'{х) <0 для х>0.

При х = 0 функція досягає максимуму ^тах = ^(0) « 0,4.

VII. Знаходимо точки перегину та інтервали опуклості та вгну-тості кривої.

Друга похідна функції має вигляд:

<р\х) = -<р(х) - х(р'(х) = -<р(х) + х2<р(х) =<р(х)(х2 - 1).

Так як (р(х) >0, то знак <р"(х) залежить від знаку х2 - 1. Кри-тичних точок буде дві. Це х = -1 і х = 1. Схема знаків другої похідної має вигляд:

 

х          (-co; -1)          -1        (-1; 1)  1          (1; +оо )

<р\х)    +          0          -          0          +

(р(х)    вгнута точка

перегину

0,24     п опукла         точка

перегину

0,24     u вгнута

VІІІ. Побудуємо графік. Рис. 4.18.

2

6) у

X

Іпх

 

338

I.          Функція визначена в інтервалах хє(0; 1)и(1;со).

II.        Точками розриву функції є точки х = 0 та х = 1.

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

X

-2 -1,5

-1

0,5 ^ Y

0,3 0,2 — 0,1

-6-

-0,5     0          0,5

Puc. 4.18.

1

1,5

2

Знаходимо односторонні границі в точках розриву:

 x lim—

x^0+0 inx

x1 lim—

"1-0 lnx

2

= 0.

lim y

x^0+0

-00.

lim y

x

lim

= +co.

lim y

x->l+0

"1+0 lnx

III.       Функція не є ані парною ані непарною.

IV.       Знаходимо точки перетину графіка функції з осями коорди-нат. 3 віссю Оу графік не перетинається, бо хф 0; з віссю Ох він та-кож не перетинається.

V.        Знаходимо асмптоти графіка функції. Оскільки lim у = +оо,

lim у = -оо, то х = 1 — вертикалльна асимптота. Зщнаходимо по-

хилі асимптоти: у = kx + Ь. Маємо

k = lim = lim

lim

lim = lim x= +co.

X^+co 1          x^+oo

i^+co x            x^+co xlnx *^°° lnx

X

Отже, похилих асимптот немає.

339

VІ. Знаходимо точки екстремуму та інтервали монотонності функції:

у'

2х\пх-х (lnx)2

2xlnx-x x(2lnx-l)

(lnx)2

(lnx)2

y' = 0, x(2ln x - 1) = 0. Враховуючи область визначення функції:

4е.

x Ф 0, 2mx - 1 = 0, mx = —, x = e2 =

2

Подальший розв’язок можна оформити у вигляді таблиці:

 

X

у'         (0; 1)   1          (1; \е)   -[е       ( л/е ; +оо )

 

            -          не існує          -          0          +

у          \          

            \           min 2е  Z1

VІІ. Знаходимо вгнутості і опуклості та точки перегину графіка функції:

1          1

(2lnx-l + 2x)(lnx) 2 -(2xlnx-x)2lnx-

г/"

            X         X =

(Іпх) 4

lnx((2lnx + l)lnx-4xlnx + 2x) lnx(2ln2x-3lnx + 2x)

(lnx)4   ln4x

Точок перегину немає, бо у" не обертається в нуль ні за якого значення х.

у" > 0 при хє (0; 1), ірафік функцїї вгнутий; у" < 0 при хє (1; оо ), ірафік функції опуклий.

VIII. Будуємо графік функції з урахуванням того, mo у—»0 при х—»0. Рис. 4.19.

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

 

X

Задача 4.73. Нехай за-

лежність попиту від ціни

описується     функцією

d(p)=e~2pA (р>0). Попит спадає з зростанням ціни, так

як d'(p)=-4pe~2p менше нуля. Темп зростання функції

d"(p) = іе~2р2 (ір2 - 1)

1 від ємнии, якщо р < —, і до-

2

датний, якщо ціна більше

1

1

2

Це означає: для р <

попит

2

спадає більш повільно, а

Рис. 4.19.

коли цша перевищує —, попит спадає більш швидко. 2

На проміжку (0; — ) графік попиту опуклий, а на ( —; +оо ) — вгну-

2          2

1 _і

тий. Точка (—; е 2 ) — точка перегину (рис. 4.20) для більш точної 2

побудови графіка обчислимо: d(0) = 1, с/(1)«0,1.

Виторг від реалізації товару за ціною р становить:

грошових одиниць.

V(p) = pd(p) = р е~2р' Похідна цієї функції:

11 (1 – 4р2) додатна, якщо р < , і від’ємна для р >

~2pz

VXP)

22 Це означає, що з ростом ціни виторг спочатку збільшується (незважаючи

341

1,2 -FY

d(p) = e-2p'

1

0,8

0,6

0,4

 

X

0,2 0,1

-9-

-0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

Puc. 4.20.

на падіння попиту) в при р =

досягає максимального значення,

1          1 _i

що дорівнює: V = V(— ) =— e 2« 0,3. Подальше збільшення ціни

2          2

не має рації, так як воно веде до скорочення виторгу.

Темп зміни виторіу V"(p) = Аре~2р (Ар2 - 3) додатній, якщо^ >

-s/З      -\/3

            , і від’ємний, поки р <          .

2          2

Проаналізуємо схему знаків першої та другої похідних:

 

р          (0; — ) 2         1 2       A л/з ч

(—;      )

2 2       V3

2          (—; +°°)

V'(p)    +          0          -          -0,47   -

V"(p)   -                      -          0          +

V(p)     зростає опукла          0,3 max           спадає опукла            0,2

точка

перегину        спадає вгнута

342

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

На проміжку (0; ) функція зростає більш повільно. Відповідна 2

частина графіка опукла. Як вже ми визначили, подальше підвищен-ня ціни невигідно. Спочатку виторг спадає з від’ємним темпом для

>/3

0,9,

р <        я

2

а потім темп спадання V(p) стає додатним. Для р > 0,9 виторг спа-дає все швидше та наближається до нуля при необережному зрос-

танні ціни. На проміжку (    ; +оо ) функція V(p) вгнута. В точці

2

(           ; 0,2) графік перегинається (див. рис. 4.21).

2

 

0,35 А і V(p)              

0,3 -               

           

0,25 -                         

0,2 -                           

0,15 -                         

0,1 -                           

0,05 -0■          !           і           і           і           х                      і—і—і—i-j—і—і        —ііі—-►

-0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

Рис. 4.21.

343