4.8.10. Асимптоти


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Асимптотою кривої називається така пряма, до якої необмеже-но наближається точки кривої при необмеженому віддаленні її від початку координат. Крива може наближатися до своєї асимптоти тими ж способами, як і змінна до своєї границі: залишаючись з однієї сторони від асимптоти або з різних сторін, кілька раз перетинаючи асимптоту і переходячи з однієї сторони на другу.

Розрізняють асимптоти: вертикальні, горизонтальні і похилі.

Для знаходження асимптот керуються наступними правилами:

а) Якщо при х = а крива у = f(x) має розрив П-го роду тобто якщо при х —> a - 0 або при х —> a + 0 функція прямує до нескінче-ності (того чи іншого знаку), то пряма х = а являється вертикаль-ною асимптотою;

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

б)         Крива у = fix) має горизонтальну асимптоту у = b тільки в тому

випадку, коли існує скінчена границя функції f(x) при х —> +<» або

х —> -оо, і ця границя дорівнює Ь, тобто, якщо

lim f(x) = b або lim f(x) = b.

x->+co            х^-да

в)         ДЛЯ знаходження похилої асимптоти у = he + b кривої у = f(x)

необхідно знайти числа k та Ь за формулами:

 1- fix)

k = hm ,

Х->+К>          %

b = lim (fix) - kx).

(Необхідно окремо розглянути випадки х —> -оо і х—> +со ). По-хилі асимптоти для кривої у = f(x) існують в тому випадку коли границі для знаходження k та b мають скінчені значення (якщо ви-явиться, що k = 0, a b — скінчене число, то асимптота буде горизон-тальною).

При знаходженні границь зручно користуватися правилом Лопіталя.

Приклад 4.70. Знайти асимптоти кривої:

х2-6х + 3        1

1) у =   ;           2) у = —;

 х-3      х

3) у = хе*;       4) у = 1п(4 - х2).

Розв’язок.

х1 - 6х + 3

1) у =   .

х-3

а)         При х = 3 задана крива має нескінчений розрив, через це пря-

ма х = 3 є її вертикальною асимптотою.

б)         знаходимо похилі асимптоти:

Xі -бх + 3

x -6x+3

k = Нт = lim —-—-— =

/М = lim х-3 = 1іт

ї^+со   x          x^+co  X         x^+co  xZ - 3X

.. 2x-6  2

am                   = lim — = l      k = 1.

x^+=o 2x - 3 ^+=° 2

321

b = lim (f(x) - kx) = lim (

x2 - 6x + 3 - x2 + 3x

x) =

x2 - 6x + 3

x-3

 -3 = lim — = -3.

lim

lim

x-3

3-3x x-3

-1 -1

-4 -5 2/ -x- 3 -e

-7 -8

Шдставляючи знай-дені значення k і b в рівняння похилої асимп-тоти, одержимо: у = х - 3. Інших похилих асимптот немає, так як при x—» -ос значення k і Ь будуть та-кими ж. Крива зображена на рис. 4.11. Асимптоти

■%*■ — Q% _|_ 3

кривої у =        є

х-3

прямі х = 3 таг/= х - 3.

2) г/ = — (рівнобічна X

Рис. 4.11.

гіпербола) а) Визначимо вертикальну асимптоту; для цього знаходимо ті

1 значення х, поблизу яких f(x) = необмежено зростає за абсолют-

х

1

ною величиною. Таким значенням буде х = 0, тобто це вісь Оу (рис. 4.12).

б) Знаходимо горизонтальні асимптоти

 1

lim fix) = lim — = 0;

lim /(х) = lim — = 0,

-3        -2

 

з

фГ

I)

2

-6

Рис. 4.12.

2

 

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

і крива має одну горизонтальну асимптоту у = 0, тобто горизонталь-ною асимптотою являється вісь Ох.

3) у = хех.

а) Крива немає вертикальних асимптот, так як вона неперервна.

в) Знайдемо похилі асимптоти:

k = Hffl

fix)

lim

xe

= lim e* =

 

тобто при x—> +оо кутовий коефіцієнт асимптоти не існує, внаслі-док чого, при х—> +оо крива немає асимптоти.

 fix) хех

k = lim              = lim    = lim e? = 0;

Ж_>_СО        X         X->-co X        X->-K>

 г         ,           ^          1

o = lim (/(x) - he) = lim xe1 = lim — = lim — = 0.

x^-co   x^-co   x^-co g *         x^-co g *

Отже при x—» -oo крива має горизонтальну асимптоту у = 0

(вісь Or).

AF

4) у = 1п(4 - х2).

 

а) Крива має дві вертикальні асимптоти х = -2 і х = 2, так як при

-4^

-і --

-1,5 ---2

х = + 2 вона має нескінчені розриви. в) Похилих асимптот крива не має, так як її областю визначення являється інтервал -2 < х < 2 і че-рез це х не може прямувати до не-скінченності. (Див. рис. 4.13).

Рис. 4.13.

1) у = 3) у =