4.8.8. Опуклість та вгнутість функції


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Темп зміни функції показує, наскільки одиниць збільшується чи зменшується швидкість перебігу процесу, який описаний заданою функцією, при кожному конкретному значенні її аргументу. Чим вищий темп, тим швидше змінюється швидкість. Як це відображаєть-ся на формі графіка функції? Як, маючи графік функції, відрізнити один від одного з різними по знаку і абсолютній величині темпом? Виявляється, графіки функції, що змінюються в додатному темпі мають одну і ту ж властивість. Всі вони розміщені вище всіх своїх дотичних. В зв’язку з цим, введемо поняття опуклих і вгнутих функції та встановимо їх ознаки.

Крива у = f(x) називається опуклою на інтервалі (a, b), якщо усі точки графіка функції лежать нижче її дотичних на цьому інтервалі.

Крива у = f(x) називається вгнутою на інтервалі (b, c), якщо усі точки графіка функції лежать вище її дотичних на цьому інтервалі.

Функція, зображена на рис. 4.9, на інтервалі (а, Ь) опукла, а на інтервалі (Ь, с) вгнута.

 

Якщо на інтервалі (a, Ь) функція у = f(x) визначена, має першу і другу похідні та

f"(x) < 0 для хє (a, Ь), то функція опукла на цьому інтервалі.

Якщо для всіх хє (Ь, с)

функція у = f(x) визначена,

має першу і другу похідні та Рис. 4.9.

f(x) > 0, то функція вгнута на цьому інтервалі.

Інтервали, в яких дуги кривої опуклі, визначаються із нерівності

f(x) < 0, а інтервали, в яких дуги кривої вгнуті, — із нерівності f(x) > 0. Темп зміни функції у = f(x) виражається її другою похідною

f"(x). Якщо на інтервалі (a, Ь) темп зміни функції від’ємний, то

функція на ньому опукла. Функція з додатнім темпом зміни вгнута на відповідному інтервалі. В цьому і заключається геометричний зміст темпу зміни функції.

317

Точка кривої, що відціляє її опуклу частину від вгнутої називаєть-ся точкою перегину. Точки кривої, в яких f"(x) = 0 або f(x) = оо,

а також ті з них, в яких f"(x) не існує, називаються критичними

точками другого роду. Точки перегину необхідно знаходити серед критичних точок другого роду В критичній точці другого роду X = х0 перегин буде тільки в тому випадку, коли при переході через цю точку

f(x) змінює знак.

Для визначення точок перегину кривої необхідно знайти всі кри-

тичні точки другого роду і розглянути знак f"(x) в кожних двох

сусідніх інтервалах, на які ці точки поділяють область існування

функції. В випадку якщо знаки f"(x) в двох сусідніх інтервалах

різні, критична точка другого роду являється точкою перегину Якщо

ж в двох сусідніх інтервалах f(x) має один і той же знак, то в

розглянутій критичній точці другого роду перегину немає. В точці перегину крива перетинає дотичну.

Приклад 4.67. Визначити точки перегину на інтервали опуклості

та вгнутості кривої у = хь - бх5 + —Xі + Зх

2

Розв’язок. Функція визначена та два рази диференційовна для всіх х. Для визначення критичних точок другого роду знаходимо

fix):

f'(x) = (зх5 - 30л4 + ЗСЬе3 + 3; fix) = 30л4 - 120л3 + 90х2;

fix) = 0, 30л4 - 120л3 + 90л-2 = 0;

30 л"2(л"2 - 4л3 + 3) = 0; х2 = 0; л"2 - 4г3 + 3 = 0; %х = 0; х2 = 1; х3 = 3. Одержані точки являються критичними точками другого роду.

Складемо таблицю значень f"(x) ■ 318

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

 

х          ( -co; 0)           0          (0; 1)   1          (1; 3)   3          (3; +со )

fix)       +          0          +          0          -          0          +

f(x)       U крива вгнута                      u крива вгнута                       n

крив

опукла                        u крива вгнута

Точка х = 0 не є точкою перегину. Точки х = 1, х = 3 являються точками перегину, тому, що при переході зліва направо через ці точ-ки друга похідна змінює знак на протилежний.

Знайдемо у    (х = 1) = 5,5; у            (х = 3) = -112,5.

Задача 4.68. Визначити точки перегину, інтервал опуклості та вгнутості кривої у = е~х'А (крива Гауса).

Розв’язок. Функція визначена на інтервалі (-оо;оо). Знаходимо першу та другу похідні:

у' = Є~х (-2х) = - 2хе~х ,

-х^

-х^

у" = -2е х - 2хе х (-2х) = -2е х + Ах2е Знаходимо критичні точки другого роду:

у" = 0, -2 е~х + Ах2 е~х = 0;

-2 е~х'А (1 - 2х2) = 0; 1 - 2х2 = 0;

, 1        V2

Xі = — , Х= + .

2          2

Складемо таблицю зміни знаків у".

 

х          1 ч

(_о°; —т=)

V2       1 V2    1 1 ч

V2 V2 1

4і         , і

(/=;+с0)

v2

/'(*)      +          0          -          0          +

fix)       крива вгнута              крив опукла               крива вгнута

319

Знаходимо

y = e

1          1

У (x= —j=) =т=;

l l

Z/ (X= = ) = =.

V2 V<?

1 1 ч 1 1 ч

г''~Г' 'l (г>~г)-

V2 ve   V2 ve

 

Отже, крива має дві точки пе-регину: ( Див. рис. 4.10.

-1' —p

V2

Рис. 4.10.

-r 1

v2