1.5.2. Розв’язання прикладів


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Приклад 1.50. Розв’язати задану систему рівнянь методом Кра-мера, за допомогою матричного методу та методом Гауса.

 

2x1      -3x2     + x3 -  -6,

3xt       + Ax2  -ZX3   = 20,

5X,-     6x2 4   4x3 =   -12.

Розв’язок.

I. Метод Крамера. Знаходимо визначник системи A, розкладаю-чи його за елементами першого рядка:

Д

 

                                                                                                                                

                                               4          -2                    3          -2                    3          4

3          4          -2        = 2       -6        4          - (-з)    5          4          + 1       5          -6

5          -6        4                                                                                                       

2(16

— 12) + 3(12 + 10) + (-18 - 20) = 8 + 66 - 38 = 36. Знаходимо визначники Д1; А2, А3.

і

 

-6        -3        1         

20        4          -2        = -2

-12      -6        4         

3 -10

-3 1

-6 4

-2

3

10

0 1

33

= (-2)(-6)

31 64

12(12 - 6) = 12-6 = 72.

 

2

 

2          -6        1                      23        1

3          20        -2        = -2     3 -10   -2

5          -12      4                      56        4

-2

23 1 3 -10 -2 11 -14 0

 

= -2

2 3 1 7-4 0 11 -14 0

-2-1

7 -4 11 -14

(-2)(-2)

72 11 7

= 4(49 - 22) = 4-27 = 108.

з

 

2 -3     -6       

34        20        = (-2)

5 -6     -12     

2 -3 34 5 -6

3

-10 6

(-2)

20 3 3 -6 -10 50 6

 

= (-2)(-6)

Тоді:

23 56

12(2-6 - 5-3) = 12(-3) = -36.

 

ІІ. Матричний спосіб. Матриця А з коефіцієнтів при невідомих для заданої системи рівнянь має вид:

"V ~~

A

 

A

72

 = 2; x. =

36        2 A

108      An

 = 3; Xr. = —

36        3 A

-36 36

= -1.

(2 -3 1

A =

34

-6 4

Шукаємо алгебраїчні доповнення до кожного елемента матриці:

 

            4          -2

11        -6        4

-(-6)(-2) = 16 - 12 = 4.

34

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

А =

12

А =

13

А =

21

А„„ = 22

23

А31 =

А =

32

А„„ =

3 -2 54

34 5 -6

-3 1 -6 4

21 54

2          -3

5 -6

-3 1 4 -2

21

3          -2

2 -3 34

= -(3-4 - 5(-2)) = -(12 + 10) = -22. = 3(-6) - 5-4 = -18 - 20 = -38.

= -((-3)4 - (-6)1) = -(-12 + 6) = 6. 2-4 - 5-1 = 3.

= -(2(-6) - 5(-3)) = -(-12 + 15) = -3.

= (-3)(-2) - 4-1 = 6 - 4 = 2.

= -(2(-2) - 3-1) = -(-4 - 3) = 7. = 2-4 - 3(-3) = 8 + 9 = 17.

Щоб отримати обернену матрицю А–1 необхідно алгебраїчні до-повнення до елементів рядка записати у відповідний стовпчик, по-передньо поділивши їх на визначник матриці А.

А

–1

( А_     6          2

36        36        36

22        JL        1

36        36        36

38        3          17

36        36        36

35

 

Стовпчик вільних членів В =

20 -12

Розв’язок системи шукаємо так:

X =

ґ x

\x3J

А–1В =

4_        6          2y

36        36        36

22        3          7

36        36        36

_38      _3        17

36        36        36

-6 20 -12

 

4(-6) + 6-20 + 2(-12)

36

(-22)(-6) + 3-20 + 7(-12)

36

(-38)(-6) + (-3)20 + 7(-12)

12(-2 + 10-2)

36

12(11 + 5-7)

36 12(19-5-17)

 

            ' 6 ^                

            3 9                   '2)

            3 -3

v3y                  3

Отже, x = 2; x= 3; x„ = -1.

1          2          3

ІІІ. Метод Гауса. Поділимо кожний член першого рівняння на а 11, тобто на 2, оскільки а11 Ф 0.

 

-3,

31

1 2 2 3

3x1 + 4x2 -2x3 =20,

5x1 -6x2 +4x3 =-12.

Віднімемо з другого рядка перший, помножений на –3, а з третьо-го рядка перший, помножений на –5:

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

 

1

3

-3,

0 + (4 + 9 )x2+(-2-3 )x3=20 + 9, 0 + (-6 + —)x2+(4—)x3 =-12 + 15.

 

31       

x1 2 x2 "■" 3 3            = -3,

           

2 2 2 3 = 29,

0 + —x 2 +—x 3 = 6. 22

Помножимо друге і трете рівняння на 2.

_31

1 2 2 3 3

0 + 17x2-7x3 =29, 0 + 3x2 + 3x3 = 6.

Поділимо останнє рівняння системи на 3 і поміняємо місцями друге та трете рівняння. Розв’язок системи при цьому не зміниться, але коефіцієнт при х2 у другому рівняння буде дорівнювати одиниці.

31

1 2 2 3 3

0 + x2 + x3 = 1, 0 + 17x2-7x3=29.

Помножимо друге рівняння на –17 та додамо його до третього:

3 2

0 + x

i 2 2 3 3

 X3

0

24x

2, 24.

З останнього рівняння знаходимо

x, = -1.

з

З другого рівняння

х2 = 2 – х3 = 2 – (–1) = 2 + 1 = 3. З першого рівняння

3          1          3 o

2 2 2 ;

x = -3 + — x - —xQ = -3 + —3

1          9 1

2

(-1) = -3 + — + — 2 2

10

= –3 + = –3 + 5 = 2. 2

Відповідь: х1 = 2; х2 = 3; х3 = –1.

Метод Гауса застосовується також і для розв’язання системи лінійних рівнянь, в яких кількість рівнянь менша кількості невідомих.

Приклад 1.51. Розв’язати систему лінійних рівнянь трьома спо-собами: метод Крамера, матричний спосіб, метод Гауса.

 

£^J\, A \ yJ J\, Г) ~T~ .X q     = o,

^.Xi ~T~ J\/ n ~T~ OAO        = 4

JXI ~T~ ^ Д- n ~T~ .X q       = 2.

Розв’язок.

23 31

23 1

+ 1

2(1-1 - 2-3)

A= 21 3 = 2    - 3

21 32 1

—(2-1 - 3-3) + 1(2-2 - 3-1) = 2(-5) - 3(-7) + 1 =—10 + 21 + 1 = 12.

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

Обчислимо визначники: Др Д2, А3.

 

41 22

43 21

43 21

03 1

+ 1

Aj = 413 = 0 221

+ (4-2-2-1) = (-3)(-2) + 6 = 6 + 6 = 12.

-3(4-1-2-3) +

 

2

 

20 1                 43                    9 3                   9 4

243      = 2                  - 0                   + 1      

32 1                                                               

2(4-1 -2-3) +

+ (2-2 - 4-3) = 2(-2) + (4 - 12) = -4 -8 = -12.

/\          ~~

 

230                  14                    9 4                   9 1

214      = 2                  - 3                   + 0      

32 2                                                               

2(1-2-2-4)

— 3(2-2 - 3-4) = 2(-6) - 3(-8) = -12 + 24 = 12. Знаходимо невідомі х„ х„, х„.

 1' 2 3

12

Д. 12   A         12        Ап

= 1.

х. =— = — = 1; х, =    = -— = -1; х„ =         = —

A 12    l A       12        A 12

Отже, x, = 1, x= -1, x„ = 1.

1          2          3

II. Матричний спосіб. Шукаємо розв’язок системи у вигляді

X = Л_1Д

де А =

 

(2         3          О^                   '0>                   ґх }

2          1          4          , в =     4          , х =     х2

Із         2          2;                     v2;                   ^хз)

Обернена матриця Ач матриці А існує, якщо det А= А Ф 0 (така матриця називається невиродженою). Оскільки A =12^0, то шукає-мо матрицю А~К Для цього знаходимо алгебраїчні доповнення А.. елементів матриці А.

11

Л„ =

21

AQ =

13

21

31 21

31 11

 -5; A =

 12

= -1; А2 = 8; A =

 32

23 31

21 31

21 23

 

= 7; Д =

 13       2 3       1

2          =

-1; A = -

 23       23 32

-4; A =

 33       2 2       3 1       =

1;

5;

-4.

Отже,

Х =

х

\X3J

А–1В

 

f 5 12   1 12

7 12     1 12

1 , 12   5 12

 

8 )                   /

12                   

4                     

—                   

12                   

4          l2>      

12j                   V

0-0-

0 +

4 16

12 + 12

4_8 12 12

20_8 12 12

 

v1

Одержуємо, що х1 = 1, х2 = –1, х3 = 1.

ІІІ. Метод Гауса. Щоб в першому рівнянні при х1 стояв коефіцієнт рівний одиниці, розділимо всі члени цього рівняння на 2, а потім помножимо одержане рівняння по черзі на –2 і –3 і складемо з дру-гим і третім рівнянням відповідно. Одержимо:

 

3

 

1

 

 0,

0-2x +2x

0 5

—x

1

 

2.

Щоб у другому рівнянні при х2 стояв коефіцієнт, рівний одиниці, розділимо всі члени цього рівняння на –2, а потім помножимо його

на

5

і складемо з третім рівнянням. Одержимо:

40

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

31 _

1 2 2 2 3

0 + 0-3x3=-3.

Звідси випливає, що х1 = 1, х2 = –1, х3 = 1.