4.8.4. Задачі про найбільші та найменші значення величин


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

В багатьох геометричних та технічних задачах необхідно знайти найбільше або найменше значення величини, яка зв’язана функціо-нальною залежністю з іншою величиною. Для розв’язання таких за-дач необхідно із її умови вибрати незалежну змінну та виразити її величину, а потім знайти шукане найбільше або найменше значення одержаної функції. При цьому інтервал зміни незалежної змінної, який може бути скінченим або нескінченим, також визначається із умови задачі.

Задача 4.56. Необхідно виготовити закритий циліндричний бак об’ємом V. Які повинні бути розміри, щоб на його виготовлення пішла найменша кількість матеріалу?

Розв’язок. В задачі необхідно визначити, в якому відношенні по-винні знаходитися радіус і висота циліндра, щоб при заданому об’ємі V його повна поверхня була найменшою.

Повна поверхня циліндра:

S-27iRh + 27iR2, (R > 0). Найменше значення цієї функції і необхідно знайти. Бачимо, що S являється функцією двох незалежних змінних, одну із яких необ-

хідно виключити. Відомо, що об’єм циліндра V - 7rR2h. В задачі V -

 , V

величина відома. Виразимо п через V: п   2. З цим значенням п

KR повна поверхня циліндра дорівнює:

V         2          2V       2

KR 2   R

Тепер вже S — функція однієї незалежної змінної R.

2V

S(R) = — + 27rR 2 .

R

Знаходимо

(i) 2V 4 р 4к R 3 - 2V

R         R

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

4V S"(R) = —2+4ж (R*0), R

і при будь-якому R маємо, що S(R)>0. Із рівняння S'(R) = 0

[V маємо, що 4TTR — 2У = 0 i R = 3/—. Так як S"(R) > 0, то значен-

Ц2л

ня R = 3/         є значенням мінімуму функції, а разом з тим і наймен-

\2я

шим значенням. Запишемо значення к

h =

V

nR2

71

V

23-:— , тобто h = 2R.

Таким чином, на виготовлення циліндра заданого об’єму піде найменша кількість матеріалу, якщо взяти висоту циліндру, рівну діаметру

Задача 4.57. Вікно має форму прямокутника, завершеного півкругом. Визначити розміри вікна, щоб вікно пропускало найбіль-шу кількість світла, при заданому периметрі.

Розв’язок. Нехай периметр вікна є задане число Р, необхідно знайти R i h, щоб площа вікна була найбільшою.

h

Площа вікна 5 =        + 2Rh, де

2          2

площа півкруга, 2Rh — площа прямокутника.

Маємо функцію двох незалежних змінних. Ви-

2R

Рис. 4.7.

разимо h через R.

Р = 7rR + 2R + 2h,

P-KR-2R

2

h = Отже, площа вікна

311

s=

Arf

+ 2R

P-TTR-2R

PR – 2R2

KR1

 

S(R) = PR - 2R2

nR2

Знаходимо

S'(R) = P - AR- к R;

S'(R) = 0;

P - AR - к R = 0;

P

R =      ;

4 + я-S"(R) = -4 - л < 0.

А це означає, що при R =

P

4 + я-

функція S(R) має максимум

знайдемо h.

P

P

P

71

71

Р-7Г

h =

2          А + 7Г

Таким чином, щоб вікно пропускало найбільшу кількість світла, необхідно, щоб ширина вікна була в два рази більша за висоту.

Задача 4.58. Витрати на паливо для пароплава ділиться на дві частини. Перша із них не залежить від швидкості і дорівнює 480 гривен за годину. А друга частина витрат пропорційна кубу швид-кості, причому при швидкості 10 км/годину ця частина витрат дорів-нює 30 гривен за годину Необхідно знайти, при який швидкості сума витрат на 1 км шляху буде найменшою.

Розв’язок. Позначимо через х (км/год) — швидкість пароплава. Тоді друга частина витрат дорівнює kx?, дек — коефіцієнт пропорцій-ності. Для визначення k підставимо х = 10, тоді: 30 = 1000&, звідки

k =

30 1000

= 0,03.

312

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

 1

Пароплав проиде 1 км шляху за — годин. Витрати на паливо

X

будуть рівні: 480— + 0,03.г- —.

х          х

Необхідно знайти найменше значення функції

1 f{x) = 480— + 0,03.г х

на проміжку (0; оо).

Знайдемо першу похідну

1

fix) = -480^ + 0,06х.

х

480

Якщо fix) = 0, TO х3 =            = 8000, a х = 20.

0,06

Перевіримо, що при х = 20 функція f(x) досягає мінімального значення.

I (х) = 960^ + 0,06;

х

1

/ (20) = 960     + 0,06 > 0.

8000

Отже, при швидкості 20 км/год загальна сума витрат на 1 км

шляху буде найменшою.