4.8.2. Означення максимуму та мінімуму функції. Найбільше та найменше значення функції на відрізку


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Функція f(x) має в точці х = х0 максимум, якщо значення функції в цій точці більше, ніж її значення в усіх точках, достатньо близьких

до хп.

 0

Тобто, функція f(x) має максимум при х = х0, якщо/(х0 + Ах ) < f(x0),

для будь-якого Ах — як додатного, так і від’ємного, але достатньо малих за абсолютною величиною.

Функція f(x) має в точці х = х0 мінімум, якщо значення функції в цій точці менше, ніж її значення в усіх точках, достатньо близьких

до хп.

 0

Тобто, функція f(x) має мінімум при х = х0, якщо f(x0 + Ax ) > f(x0),

для будь-якого Ax — як додатного, так і від’ємного, але достатньо малих за абсолютною величиною.

Якщо в деякій точці функція має максимум або мінімум, то гово-рять, що в цій точці має місце екстремум.

В економічних дисциплінах екстремумом функції називають її локальним оптимумом, а процес знаходження екстремального зна-чення функції називають оптимізацією.

Слід пам’ятати:

1)         Максимум (мінімум) не являється обов’язково найбільшим (найменшим) значенням, що приймає функція. Поза розглянутого околу точки хп функція може приймати більші (менші) значення, ніж в цій точці.

2)         Функція може мати декілька максимумів і мінімумів.

3)         Функція, що визначена на відрізку, може досягнути екстрему-му тільки у внутрішніх точках цього відрізка.

Необхідна умова екстремуму.

Якщо функція f(x) має екстремум при х = х0, то її похідна в цій точці дорівнює нулю, або нескінченості, або взагалі не існує.

Із цього слідує, що точки екстремуму функції необхідно знаходи-

ти тільки серед тих, в яких її перша похідна f'(x) = 0, або не існує.

Слід уяснити, що вказана ознака екстремуму є тільки необхідною, але не достатньою.

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

Вкажемо дві достатні умови існування екстремуму функції.

Перша достатня умова існування екстремуму функції.

Нехай точка х = х0 є критичной точкою функції f(x), а сама фун-кція f(x) неперервна та диференційована у всіх точках деякого інтер-валу який містить цю точку

Тоді:

1)         Якщо при х < х0 похідна функції f'(x)> 0, а при х > х0

f(x) < 0, то при х = х0 має місце максимум, тобто якщо при пере-

ході зліва направо через критичну точку перша похідна змінює знак з плюса на мінус, то в цій точці функція досягає максимуму.

2)         Якщо при х < х0, f(x) < 0, а при х > х0, f'(x) > 0, то при х = х0 має місце мінімум, тобто, якщо при переході через критичну точку перша похідна функції змінює знак з мінуса на плюс, то в цій точці функція досягає мінімуму.

3)         Якщо ж при переході через критичну точку перша похідна не змінює знак, то екстремуму немає.

Друга достатня умова існування екстремуму функції.

Якщо в точці х = х0 перша похідна функції (х) дорівнює нулю: f(x) = 0, то при х = Хдмає місце максимум, якщо /"(х0)< 0, та

мінімум, якщо f"(x0)> 0. Якщо ж f"(x0)= 0, то необхідно розгля-нути першу достатню умову існування екстремуму.

Правило для дослідження функції на екстремум за допомогою першої похідної (перший спосіб).

Для дослідження функції на екстремум за першою похідною не-обхідно:

1. Знайти f(x) — першу похідну функції.

1. Розв’язати рівняння f(x) = 0, а також визначити ті значення

х, при яких f(x) = оо або не існує (тобто: знайти критичні точки функції fx)).

Нехай цими точками будуть точки з абсцисами х„ х„, х„, ... , х , які знаходяться в інтервалі (a, Ь).

3.         Всі критичні точки розташовано в порядку зростання їх абс-цис в інтервалі (a, b): a < хх < х2 < х3 < ... < хп < Ь.

4.         Всередині кожного із інтервалів (а, х^), (xv х2), ... (хп, Ь) взяти будь-яку точку і встановити в цій точці знак першої похідної функції (похідна зберігає знак в кожному інтервалі між двома сусідніми кри-тичними точками).

5.         Розглянути знак f'(x) в двох сусідніх точках, переходячи

послідовно зліва направо від першого інтервалу до останнього. Якщо

при такому переході знаки f'(x) в двох сусідніх інтервалах різні, то

екстремум в критичній точці є, і буде максимум, якщо знак змінюєть-ся з + на -, а мінімум, якщо знак змінюється з - на +. Якщо ж в двох сусідніх інтервалах має місце збереження знаку першої похідної, то екстремуму в розглянутій критичній точці немає.

6.         Знайти значення функції в точках, де вона досягає екстремуму

(екстремальні значення функції).

Правило для дослідження функції на екстремум за другою ознакою (другий спосіб)

Для того, щоб дослідити на екстремум за другою похідною, необ-хідно:

1.         Знайти f'(x) — першу похідну функції.

2.         Розв’язати рівняння f'(x) =0.

3.         Знайти f"{x) — другу похідну функції.

4.         Дослідити знак fix) — другої похідної функції - в кожній точці, що знайдено в пункті 2.

Якщо в розглянутій точці f"{x) > 0, то в цій точці буде мінімум,

а якщо /"(0) < 0, то в цій буде максимум. Якщо в розглянутій точці

fix) = 0, то дослідження необхідно провести за правилом першої похідної.

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

Найбільше та найменше значення функції на відрізку.

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, Ь], то на цьому відрізку завжди знаходяться точки, в яких вона приймає найбільше та найменше значення. Цих значень функція досягає або в критич-них точках, або на кінцях відрізку [a, Ь] через це, щоб визначити найбільше та найменше значення функції на відрізку, необхідно:

1)         визначити критичні точки функції;

2)         обчислити значення функції в критичних точках і на кінцях [a, Ь];

3)         найбільше із значень, знайдених в п. 2, буде найбільшим, a найменше - найменшим значенням функції на відрізку [a, Ь].

Приклад 4.49. Знайти екстремум функції

1 , 2 „ 3 ,

у = —Xі          Xі        х1 + 2,

4          3          2

а також визначити її найбільше і найменше значення на відрізку [-2; 4]. Розв’язок. Проведемо розв’язок спочатку за першим правилом (за допомогою першої похідної). Областю визначення функції являєть-

ся весь нескінченний інтервал (-со;со).

1.         Знаходимо першу похідну:

у' = х3 - 2х2 -Зх.

2.         Розв’язуємо рівняння у' = 0, тобто рівняння:

х3 - 2х2 - Зх = 0, х(х2 - 2х - 3) = 0,

х = 0, х1 - 2х - 3 = 0,

і

х2 = -\, х3 = 3.

3.         Розміщуємо критичні точки в порядку зростання абсцис: -1, 0, 3.

4.         Розглянемо інтервали: (-оо; -1); (-1; 0).

5.         Дослідження характеру одержаних точок проведемо за допо-могою першої достатньої умови. Для цього складемо таблицю зміни знаків першої похідної.

 

х          (-co; -1)          -1        (-1; 0)  0          (0; 3)   3          (3; со)

f\x)       -          0          +          0          -          0          +

fix)       \           . 17

mm —

12        /           max 2   \           37

mm     

4          /

303

Знаходимо екстремальні значення функції

12        3          17

/ ■ (-1) = т(-1)4 - —(—l)3 - ~(-l)2 + 2 = —;

4          3          2          12

12        3

f (0) = T(0)4 - 7(0)3 - — (0)2 + 2 = 2;

max      4          3          2

37 4

1

2

3

4

3

2

f ■ (3) = T(3)4 - 7(3)3 - — (3)2 + 2 =

Будуємо по знайдених точках графік (рис. 4.4).

Пояснення до таблиці.

B першому рядку вказується інтервал монотонності та їх гра-ничні точки. Щоб заповнити дру-гий рядок, необхідно взяти будь-

ІЇКЄ значення х = at із інтервалу

монотонності і обчислити /'(«і) і знак одержаного числа записати в габлицю.

В третьому рядку під знаком «-»

-10 л

Рис. 4.4.

цругого рядка ставимо знак « \ », ІЇКИЙ означає спадання функції, a під знаком «+» ставимо «^» -знак зростання функції. В третьо-viy рядку вносятся також значення мінімуму і максимуму функції. Тепер проведемо розв’язок за

другим правилом (дослідимо функцію на екстремум за допомогою

другої похідної).

У нас критичні точки вже визначені: х, = 0, х, = -1, х„ = 3.

 1         2          3

Знайдемо другу похідну, одержуємо: у" = Зх2 - Ах - 3, і згідно другому правилу визначаємо знак другої похідної в кожній кри-тичній точці:

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

/ (-1) = 4 > 0; функція має мінімум при хх = 0, /min(-l) = —;

/"(0) = -3 < 0; функція має максимум х2 = -1, /^(0) = 2;

/"(-1) = 12 > 0; функція має мінімум х3 = 3, /^(3) =

 

37 4

Дамо відповідь на друге запитання: визначити найбільше і най-менше значення функції на відрізку [-2; 4].

Цей відрізок містить у собі всі критичні точки. Значення в кри-тичних точках уже обчислені. Обчислимо значення функції на кінцях відрізка, тобто/(-2) і/(4):

г,         16 г/    2

д-2) = — і д4)= —.

3          3

Порівнюючи ці значення функції зі значеннями в критичних

16

точках, ми бачимо, що найбільшим із цих значень буде д-2) = —,

3

37

а наименшим — /(3) =         , тобто наибільше значення функція

4

досягає на лівому кінці відрізка при х = -2, а найменшого — в кри-тичній точці х = 3.

Приклад 4.50. Дослідити на максимум і мінімум функції: 1) у- Х^\-Х2 ;

2) у = 2-VX5 - 5уІХ2 + 1. Розв’язок.

1. Областю визначення функції у-х^\-х2 є [-1; 1]

4           От^

 ■

2л/і-х2 VI -х1

у' = 1 ■ л/1 - Xі + х-,  (-2х) =

2V1-X2

Критичними точками повинні бути точки:

305

у'= о>

1-2х2

 

Тї^

- = 0,

1,00х

-1,0'

1 - 2х2 = 0, + 1

-0-,5-J Рис. 45.

При значеннях х34=± 1 по-хідна не існує. Але критичними точками являються тільки точки х,

 

= j= «0,71 і х = —т= «0,71: вони знаходяться всередині області

V2       V2

 

існування функції у, яка являється відрізком [-1; 1], і в них задана функція неперервна.

Точки х3 = 1 хі = -1 не являються критичними, так як вони зна-ходяться не в середині області визначення функції, а на її межах

 

Дослідимо критичні точки по знаку похідної у' сусідніх з ними точках. Складемо таблицю.

 

X

у'         1 ч [-1; —т=) V2        1 42     1 1 , (—]=>/=) V2 V2            1 •s/2   .1

(т=; 1] V2

 

            -          0          +          0          -

у          \           1

mm — 2          /•         1 max 2           \

Згідно таблиці функція у має дві точки екстремуму : точку мініму-

1 .2

/           1          1-1

му х = —= , де гі . = у{ —т= ) = —т= J1- 1,—/=,>

Л         mn       V2       V2 V   V2

1

l-(4f)2

/—       /— \\ V /—

V2 V2 v v2

ку максимуму х =

Див. рис. 4.5.

1          1          1

де у = у( —j= ) =

-v/2

1

і точ-

1

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

2. Функція у = 2 yjx5 - 5 уіх2 + 1 визначена і неперервна на всій осі. Знаходимо похідну:

,           г,о ,     ?/чч,    ,           5          ^2        10 х-1

z/ = 2(х ' ) - 5(х ' ) + (1) = 2- — х2/3 - 5- — х~1/3 =

3          3          3 ух

Критичними точками будуть точки х = 1 (похідна у' = 0) та х = 0 (похідна дорівнює оо ). Так як функція у визначена на інтервалі (-оо; оо ), то точки х = 0 та х = 1 являються критичними. Дослідимо критичні точки. Складемо таблицю.

 

х          ( -co; 0)           0          (0; 1)   1          (3; со)

у'         +          00        -          0          +

у          Z1        max 1   \           min -2  Z1

 

 U 'V Іі ,Q- ,Q- ' *

Із таблиці слідує, що функція у має дві точки екстремуму: точ-ку максимуму х = 0, де уmax = у(0) = 1, і точку мінімуму х = 1, де уmin = у(1) = –2. Побудуємо графік, рис. 4.6.

Приклад 4.51. Об-числити найменше та найбільше значення функ ц ії f(x) = x 3 – 3x2 + + 1 на відрізку [–1; 4].

Розв’язок. Визна-чимо точки максиму-му і мінімуму. Знайде-мо першу похідну:

Y

Рис. 4.6.

 

3x2 - 6x = 0, 3x(x - 2) = 0, x = 0, x = 2.

307

Точки ^= 01 являються критичними точками. Знайдемо друіу похідну:

j"{%) = 6х - 6. Знайдемо: /"(0) = 6-0 - 6 = -6 < 0 — це означає, що в точці

хі = 0 функція має максимум. Знаходимо: f"(2) = 62 - 6 = 6 > 0 -

точка і = 2 є точкою мінімуму. Знаходимо f (0) = 1, f . (2) = -3. Обчислити значення функції на кінцях інтервалу:/(-1) = -3,/(4) = 17. Порівнюючи одержані значення маємо, що на інтервалі [-1; 4] і тах/(х) = 17, тіп/(х) = -3.

Отже, найбільше значення при -1< х < 4 функція приймає в правому кінці відрізка при х = 4. найменше значення досягається в двох точках: в точці мінімуму функції і в лівому кінці відрізка, при

X = 1.