4.7.4. Розв’язання задач


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Задача 4.30. Нехай функція К(х) = 20х

 

2

\

встановлює за-

лежність витрат виробництва від кількості х продукції, що випус-кається. Знайти граничні витрати і коефіцієнт еластичності, якщо обсяг продукції складає 100 одиниць, 20 одиниць.

Розв’язок.

1. Граничні витрати виробництва є похідна від функції витрат

K'(x) = 20

\

 

При відповідних обсягах продукції:

K'(100) = 20

100 10

^■'(20) = 20

20

= 10;

= 18.

Отже, чим більше виробляється продукції, тим повільніше рос-туть витрати на її випуск. 2. Еластичність функції

x dy

Е (у) =

y dx

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

У нашому випадку

 ту       ^          Л"2

г/(х) = л(х) = 20г - —; 20

 х         л: 2(200 -х)

Е (К) =            т(20     ) =       ;

 х         10        400-х

20х     

20

Е100(К) = Е20(К) =

2-100 2

            = — « 0,67;

300 3

2-180 18

 = — « 0,95. 380 19

Отже, якщо при обсязі випуску 100 одиниць кількість продукції,

що випускається, збільшиться на 1%, тобто на 1, то відносні витрати

виробництва збільшаться приблизно на 0,67%; при обсязі 20 одиниць

збільшення випуску продукції на 1% призведе до збільшення віднос-

них витрат приблизно на 0,95%.

Задача 4.31. Залежність між витратами виробництва у і обсягом продукції х, що випускається, виражається функцією у = 50х - 0,05л3 (грош. од). Визначити середні і граничні витрати, якщо обсяг про-дукції 10 од.

Розв’язок. Функція середніх витрат (на одиницю продукції) ви-ражається відношенням

У

у = — = 50 - 0,05х2,

х г/.(10) = 50 - 0,05-102 = 45 (грош. од.). Граничні витрати:

г/' = 50 — 0,05 -Зх2; г/'(Ю) = 35 (грош. од.). Отже, якщо середні витрати на виробництво одиниці продукції складають 45 грош. од., то граничні витрати, тобто додаткові витрати на виробництво додаткової одиниці продукції при даному рівні ви-робництва (обсязі продукції, що випускається у кількості 10 од.), складають 35 грош. од.

Задача 4.32. Залежність між собівартістю одиниці продукцїї у (тис. фош. од.) виражається функцією у = -0,5х + 80. Знайти еластичність собівартості, якщо випуск продукції дорівнює 60 млрд. грош. од.

Розв’язок. Еластичність собівартості

Е (у) = (-0,5)

-0,5х + 80       х-160

Ет(У) =            = -0,6.

60-160 Це означає, що у разі випуску продукції на 60 млрд. грош. од. збільшення його на 1% призведе до зниження собівартості на 0,6%. Задача 4.33. Дослідним шляхом встановлено функції попиту

Р + 8

q =       і пропозиції S = р + 0,5, де q, S — кількість товару, що

р + 2

купується і пропонується на продаж відповідно, в одиницю часу; р -

ціна товару Знайти:

а)         ціну рівноваги, тобто ціну, при якій попит і пропозиція врівно-

важуються;

б)         еластичність попиту і пропозиції для цієї ціни;

в)         зміну прибутку у разі збільшення ціни на 5% від ціни рівно-

ваги.

Розв’язок.

а)         Ціна рівноваги визначається з умови q = S:

р + 8

             =р + 0,5,

р + 2

звідки р = 2, тобто ціна рівноваги дорівнює 2 грош. од.

б)         Знайдемо еластичність попиту і пропозиції за формулою

х , Е (у) = — у ,

х          У

Тоді

290

-6

Q         ; S = 1;

(р + 2) 2

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

Qp       2»

E (q) = ; E (S) =

p          (p + 2)(p + 8) p           2p + l

Для ціни рівноваги p = 2 маємо:

E„(l) = -0,3;     EJS) = 0,8.

Оскільки отримані значення еластичності за абсолютною вели-чиною менші одиниці, то і попит, і пропозиція даного товару при ціні рівноваги нееластичні відносно ціни. Це означає, що зміна ціні не призведе до різкої зміни попиту і пропозиції.

Так, при збільшенні ціни р на 1% попит зменшиться на 0,3%, a пропозиція збільшиться на 0,8%.

в) При збільшенні ціни£> на 5% від рівноважної попит зменшуєть-ся на 5-0,3 = 1,5%, отже, прибуток зростає на 3,5% (5% - 1,5% = 3,5%).

Задача 4.34. Як пов’язані граничні і середні витрати підприєм-ства, якщо еластичність повних витрат дорівнює одиниці?

Розв’язок. Нехай повні витрати підприємства у виражаються фун-кцією у = f(x), де х - обсяг продукції, що випускається. Тоді середні

витрати z/j на виробництво одиниці продукції ух= —. Таким чином,

X

X Е (у, ) = Е( — ) = Е (у) - Е (х) = Е (у) - 1.

х \        Xу-      х          X         х

За умовою Ех(у) = 1, отже Ех(у^) = 1 - 1 = 0. Це означає, що зі зміною обсягу продукції х середні витрати на одиницю продукції не

X міняються, тобто у = — = с, звідки у = сх.

У Граничні витрати підприємства визначаються похідною у' -с.

Отже, у'-у{, тобто граничні витрати рівні середнім витратам. (По-

мітимо, що отримане твердження справедливе тільки для лінійних функцій витрат).

Задача 4.35. Фірма планує випускати сонячні батареї. На основі досліджень була встановлена залежність попиту q від ціни р за батарею:

q = 100 000 - 200р,

де q — кількість батарей для продажу в рік. Витрати фірми на ви-пуск q сонячних батарей складають

с = 150 000 + 100 q + 0,003 q2.

Розрахувати прибуток, визначити його максимальне значення.

Розв’язок. Валовий прибуток R = р - q.

3 умови запишемо функцію р як функцію змінної q:

р = 500 - 0,005д.

тому    R = R(q) = (500 - 0,005^)^.

Тоді прибуток            Р = R - с.

Отже,

Р = (500 - 0,005q)q - (150 000 + 100q + 0,003g2) = = -0,008g2 + A00q - 150 000. Визначимо максимальний прибуток

P'(q) = 0,016<gf + 400,

0,016^7 + 400 = 0, q = 25 000,

P"(q) = -0,016 <0. Отже, при q = 25 000 одиниць прибуток досягає максимуму Р(25 000) = 4 850 000 грош. од. — максимальне значення прибутку

Задача 4.36. Шдприємство виробляє х одиниць продукції за

цшою^(х) = 50 - —х, a витрати виробництва задаються функцією 10

К(х) = —х2 + 14г + 800. 50

Знайти оптимальний для підприємства обсяг продукції і відповід-

ний йому максимальний прибуток.

Розв’язок. Нехай Щх) — валовий прибуток, z(x) — прибуток від

реалізації х одиниць продукції за ціною р(х). Тоді

Щх) =х-р(х);

z(x) = U(x) - К(х),

де р(х), К(х) — задані функції.

Для розв’язку задачі слід досліджувати функцію z(x) на екстре-

мум. При цьому прибуток буде максимальним для такого обсягу х

випуску продукції, для якого г'{%) = 0, z"(x) < 0.

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

Проведемо ці дослідження.

1.         Формуємо z(x), знаходимо z'(x) і, розв’язавши рівняння

z'(x) = 0, знаходимо критичну точку. Врахуємо, що

,„         1 ,        1 ,

(7(х) = 50х - —х2,      К(Х) = —х2 + 14х + 800;

10        50

z(x) = Щх) - К(х); z'(x) = U'(x) - К'(х) = 0; U'(x) = К'(х);

1          1          6

50 - —х = — + 14;     —х = 36;

10        25        25

х = 150 — критична точка.

2.         Знаходимо z"(x) і визначаємо її знак при х = 150:

z (х) = U (х) - К (х) =  — =     < 0, \/х ■

5 25 25

Отже, х = 150 - точка максимуму функції z(x), тобто оптималь-

ний обсяг виробництва складає 150 одиниць продукції.

3.         Знаходимо максимальний прибуток виробництва, тобто z = z(150).

 1

При х = 150 ціна^) = 50        150 = 35; валовии прибуток

10

£/= 35-150 = 5250.

Витрати виробництва

л(х) = — 150і + 14 • 150 + 800 = 450 + 2100 + 800 = 3350. 50

Максимальний від продажу прибуток

z = 5250 - 3350 = 1900.

max

Задача 4.37. Виробник реалізує свою продукцію за ціною р за одиницю, а витрати при цьому задаються кубічною залежністю 5(х) = ах + Ах3 (a <р, А> 0). Знайти оптимальний для виробника обсяг випуску продукції і відповідний йому прибуток.

Розв’язок. Позначимо обсяг продукції, що випускається, через х

Складемо функцію прибутку С(х) = рх - (ax + A Xх), де рх — валовий

прибуток від продукції, що реалізується. Досліджуємо цю функцію на екстремум.

1.         Знаходимо С'(х) = (р - а) - ЗЛх2.

2.         Знаходимо критичні точки:

С'(х) = (р - а) - ЗЛх2 = 0,

V

звідки х =

ЗЛ

(другу критичну точку х2 =

 

р-а ~3~Г

не розгля-

даємо за змістом задачі).

3. Знаходимо С"(х) = -6Лх і визначаємо знак другої похідної

р-а

при х. = A      ;

1 А' ЗЛ

С"

 

р-а ЗЛ

 

0 (в даному випадку С"(х)< 0 при будь яко-

 

му х > 0), отже, при х1 =

р-а

ЗЛ

прибуток С(х) максимальний.

4. Знаходимо максимум функції (тобто максимальний розмір при-бутку)

с

 

р-а ЗЛ

2(р-а)4р-

3V3/1

Задача 4.38. Капітал в 1 млрд. грош. од. може бути розміщений у банку під 50% річних або інвестований у виробництво, причому ефективність вкладення очікується у розмірі 100%, а витрати зада-ються квадратичною залежністю. Прибуток оподатковується в р%. При яких значеннях р вкладення у виробництво є більш ефективни-ми, ніж чисте розміщення капіталу у банку?

Розв’язок. Нехай х (млрд. грош. од.) інвестується у виробництво, а 1–х — розміщується під відсотки. Тоді розміщений капітал через рік стане рівним

50 3 3 (1 – х)(1 + ) = – х, 100 2 2

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

а капітал, вкладений у виробництво, визначається за формулою

100

х(1 + ) = 2х.

100

Витрати складуть ах2, оскільки за умовою вони задаються квад-ратичною залежністю, тобто прибуток від вкладення у виробництво с = 2х – ах2.

p Податки складуть (2х – ах2) , тобто чистий прибуток вия-100

p 100

)(2х – ах2).

виться рівним (1

Загальна сума через рік складе:

А(х) =

3 3 2 2

х + (1

p 100

)(2х – ах2) =

p3

) – ]x – a(1 100 2

3          p3        p

+ [2(1 –           ) – ]x – a(1 –   )x2.

2          100 2   100

Треба знайти максимальне значення цієї функції на відрізку [0, 1]. Маємо

2a

ч,         Р ч 3

Л (х) = 2(1 —£—) —

100 2

Л'(х) = 0 при х0 =

2 a(1

100

p

I-3

100

J 2

 

p 100

)х;

/Iff/       4          Р

точка максимуму.

A (X) = -2а(і - ^— ) < 0, тобто х0 100

Щоб х е [0, 1]? Необхідно виконати умову

0 < 2(1

p3

) – < 1, або р < 25.

100 2

295

Таким чином, якщо р > 25, то вигідніше нічого не вкладати у виробництво і розмістити весь капітал у банку. Якщо р < 25, то мож-на показати, що при х = х0

3

100 J 2

А(х ) = +

2          / (л V Л           2

100J

Тобто вкладання у виробництво вигідніше, ніж чисте розміщен-ня під відсотки.