§1.5. Системи лінійних рівнянь 1.5.1. Система n лінійних рівнянь з n невідомими


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Нехай задана система n лінійних рівнянь з n невідомими х1, х2, ..., хn, коефіцієнтами при яких є елементи матриці А, а вільними членами є числа b1, b2, ..., bn:

 

і11 J\J 1 ~т~ (1 2 J\J 2            +          .. + a1nXn

d211 + (22 x 2            +          .. + a2nxn

^и 11 ~"~ ^n22           +          .. + a x

nn n

(1.5)

Якщо визначник системи (1.5), тобто визначник, що складається з коефіцієнтів при невідомих

л = |л

 

a

11        a

12

a

21        a

22

a

n1        a

n2

2п

 

(1.6)

то система (1.5.) має єдиний розв’язок. цей розв’язок можна знайти різними способами. Розглянемо три з них.

І. Метод Крамера. Позначимо через А1 визначник, що утво-

рюється з (1.6) після заміни його першого стовпчика стовпчиком

вільних членів системи (1.5). Аналогічно позначимо через А2 виз-

начник, що утворюється з (1.6) після заміни його другого стовпчика

стовпчиком вільних членів системи (1.5), ... , Аи — замінено останній

стовпчик стовпчиком вільних членів.

Тоді розв’язок системи (1.5) записується у вигляді:

Д1 д2  к

х = —, х = —, ... , х = —

1 A 2 A           " A

(1.7)

30

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

Формули (1.7) називаються формулами Крамера. Якщо Д = 0, а хоча б один з Д1, А2, ... , Ди відмінний від нуля, то система (1.5)

розв’язків немає. Якщо ж A1 = А2 = ... = Аи = 0, то система (1.5) має безліч розв’язків.

ІІ. Матричний спосіб. Якщо позначити

 

( X ^                ґьл

х2        в =       к

\XnJ                 А)

- матриці-стовпчики невідомих та вільних членів, то систему (1.5) можна записати в матричній формі так:

АХ = В.          (1.8)

Використовуючи властивості оберненої матриці, маємо:

А–1АХ = А–1В =^> ЕХ = А–1В =^> X = А–1В.    (1.9)

З формули (1.9) випливає твердження: щоб знайти розв’язок системи (1.5), потрібно знайти обернену матрицю A–1 (це можливо,

бо А Ф 0 ), а потім помножити на матрицю В. Результат цієї дії і дає розв’язок системи (1.5), записаної у вигляді (1.9).

ІІІ. Метод Гауса. Цей метод базується на послідовному виклю-ченні невідомих і зведенні системи рівнянь до трикутного або трапе-цієвидного виду. Розглянемо цей метод більш докладно. Припусти-

мо, що в системі (1.5) а11ф 0 (якщо є а11 = 0, то змінюємо порядок рівнянь, вибравши першим таке рівняння, в якому коефіцієнт при х1 не дорівнює нулю).

Перший крок: поділимо обидві частини першого рівняння систе-ми на а11; помноживши одержане рівняння спочатку на a21, а потім на а31 і так далі, віднімемо відповідно перше рівняння від другого, третього та інших рівнянь системи.

xt + -^x2 + -^x3 + -L±xi + ... + -^-xn

 

J\

0 + (a22          a2i)x2+... + (a2n          a2i)xn =b2 —a2i

 

0 + (аП2-—апі)х2+... + (апп-^апі)хп=Ьп—l-ani

Позначимо нові коефіцієнти системи через aij , bi :

xt+a12x2 +... +alnxn ox 0 + a22x2+... + a2nxn=b2

 

(1.10)

 

nn n      n

0 + an2x2 +... + ax

Другий крок: з (n - 1) рівняннями системи (1.10), за виключен-ням першого, робимо таку ж процедуру, тобто друге рівняння систе-

ми (1.10) ділимо на а00 (якщо а00 Ф 0 ), а потім почленно множимо на а , а , ... , a „ і віднімаємо від третього, четвертого, ... , п-т

32 ' 42 и2

рівнянь системи (1.10). ця система стане такою:

xt+а12х2 +... +а1пхп ох 0 + х2+а23х3+... + а2пхп=Ь2 0 + 0 + ЙЗЗ-^З + «зА +... + а3пхп = Ь2

(1.11)

 

пп п    п

0 + 0 + ап3х3 + апіхі +... + атх

aij , bi — нові коефіцієнти при невідомих.

Розділ I. Лінійна та векторна алгебра

Проводячи такі ж перетворення, систему (1.11), а отже і задану систему (1.5), можна звести до такого вигляду:

 

іА. A 1 \ЛУ A q          x2 +     - + °Л  =K

                        =          =

0 + x2  + ...      + a2nXn ~       b2

^0 + 0 + 0 + ... + amxn=bn

(1.12)

Невідомі х1, х2, ..., хn знаходимо послідовно, починаючи з останнь-ого рівняння. Спочатку визначаємо хn. Потім підставляємо це зна-чення в передостаннє рівняння (1.12). знаходимо хn–1 і т.д.