4.3.2. Дотична та нормаль до кривої


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Розглянемо рівняння кривої у = f(x) (рис. 4.2).

Нормаль

Візьмемо на кривій точку М, (х,; у,) і складемо рівняння дотичної до цієї кривої в точці Mv припускаючи, що дотична не паралельна жодній коор-динатній осі. рівняння прямої, що має кутовий коефіцієнт k і прохо-дить через точку Mj має вигляд: II-II= k(x - х,).

X

Для дотичної k = f\xi), тому

рівняння дотичної буде таке:           Рис. 4.2.

гі-іі = f'(x,)(x-x.).

Нормаллю до кривої в даній точці називається пряма, яка прохо-дить через цю точку і перпендикулярна до дотичної в ній.

норм ал і

Із означення нормалі випливає, що її кутовий коефіцієнт k пов’язаний з кутовим коефіцієнтом kA . рівністю:

тобто

k

нормалі

1

 

k

дотична

 

нормалі

1

 

/'(*і)

Отже, дістаємо рівняння нормалі до кривої у = f(x) в точці М1(х1; у1):

1

11-11 =           (x - X, ).

Приклад 4.14. Скласти рівняння дотичної та нормалі:

1)         до параболи у = х2 - Ах в точці, де х, = 1;

2)         до кривої у = Зл4 - 5х2 + 4 в точці xt = -1, ух = 2;

3)         до кривої 4г3 - Злз/2 + 6х2 - 5ху - 8г/2 + 9х + 14 = 0 в точці М.(-2; 3).

Розв'лзок.

1) Шдставимо в рівняння параболи задану абсцису точки дотику х, = 1 і знайдемо її ординату:

г/j = I2 - 4 ■ 1 = -3.

Для визначення кутового коефіцієнту дотичної знайдемо по-

хідну у' із рівняння параболи та обчислимо значення похідної в

точці х, = 1.

 і

у' = (х2-Ах)' = 2х-А,

у'(1) = 21 - 4 = -2.

Підставляючи в рівняння дотичної xv yv у'(Х), одержуємо рівнян-ня дотичної:

г/-(-3) = -2(х - 1) або

2х + у + 1 = 0, і рівняння нормалі

1

у + 3 = (х – 1) 2

або

х - 2г/ - 7 = 0. 2) Перевіримо, чи задана точка М,(-\\ 2) є точкою дотику:

3(-1)4 - 5(-1)2 + 4 = 3 - 5 + 4 = 2 Знаходимо кутовий коефіцієнт дотичної: у' = 12л3 - Юх, k = у'{-\) = 12(-1)3 - 10(-1) = -12 + 10 = -2.

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

Рівняння дотичної:

y- 2 = -2(x + 1), 2x + y = 0.

Рівняння нормалі:

1

y - 2 = — (x+ 1), 2

2г/- 4 =x+ 1,

x - 2г/ + 5 = 0.

3) Перевіривши, що задана точка М^-2; 3) лежить на кривій, тобто є точкою дотику, знаходимо кутовий коефіцієнт дотичної. Рівняння кривої задане в непевному виді. Знаходимо похідну за правилом диференціювання непевної функції.

12х2 - Зг/2 - бхуу' + 12х - 5г/ - 5ху' - 16г/ у' + 9 = 0,

бхуу' + 5ху' + 16г/г/' = 12х2 - Зг/2 + 12х - 5г/+ 9, 12х2-Зг/2+12х-5г/ + 9

 

г/'

6хг/ + 5х + 16г/ 12(-2)2 - 3(3)2 +12(-2) -5-3 + 9 9

 

г/(-2;3)

2

6(-2)3 + 5(-2) + 16-3

Рівняння дотичної:

Рівняння нормалі:

9

г/ - 3 = (х +2),

2

2г/- 6 = -9х - 18,

9х + 2г/ + 12 = 0.

 

2

у – 3 = (х + 2),

9

9у – 27 = 2х + 4,

2х – 9у + 31 = 0.

263

Приклад 4.15. Знайти рівняння дотичної та нормалі до кривої: [х = 2cos t + 3 sin t; \y = cos t + 3 sin t.

в точці, де t

71

Для того щоб скористатися формулами рівнянь дотичної та нор-

малі, необхідно визначити xv yv y'(t), при t

чимо x, i y,:

l J \

x = 2cos— + 3sin— = 3,

2          2

71

Спочатку визна-

71

71

y. = cos— + 2sin— = 2.

2          2

71

2 '

Після цього знаходимо y' x похідну в точці t =

Ух

у' (cost + 2sintX -sinf + 2cos£

 

(2cost + 3sintX -2sinf+ 3cost

У \t = ~) = 2

Рівняння дотичної:

sin^ + 2cos^

2sin# + 3cos^

-1

-2

 

Рівняння нормалі:

у – 2 = (х – 3), 2

2у – 4 = х – 3, х – 2у + 1 = 0.

у – 2 = 2(х – 3),

у – 2 = –2х + 6,

2х + у – 8 = 0.

264

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

+1
загрузка...
Бібліотека для студента 9 из 10 на основе 24 оценок. 24 клиентских отзывов.
Книги Фінанси, Гуманітарія, Правовознавство