Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
§4.3. Механічний та геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до кривої 4.3.1. Механічний та геометричний зміст похідної. : Вища математика в прикладах і задачах : Бібліотека для студентів

§4.3. Механічний та геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до кривої 4.3.1. Механічний та геометричний зміст похідної.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Джерелом диференційного числення стали, як відомо, два питання:

1)         про відшукання швидкості в разі довільного закону руху;

2)         про відшукання дотичної до довільної кривої.

Обидва вони привели до однієї й тієї задачі, яку було покладено в основу диференційного числення. Ця задача полягає в тому щоб

за даною функцією f(x) відшукати іншу функцію f'(x), яка дістала

назву похідної і являє собою швидкість зміни функціїДх) щодо зміни аргументу.

У механіці відповідна задача формулюється так: знайти швидкість тіла, що рухається за законом S = f(t), у деякий момент часу t. Вва-жаємо, що відстань S і час t — фізичні величини, які можна виміряти.

Нехай за час від t до t + At тіло пройшло шлях

S + AS = f(t + At). Тоді

AS = f(t + At)-f(t). Середня швидкість тіла, що рухається вздовж деякої лінії, визна-чається за формулою:

AS f {t + At)-f{t)

cep At  At

Щоб знайти миттєву швидкість V такого тіла, потрібно перейти

до границі відношення          при At —> 0.

At

 Л^      f(t + M)-f(t)     r,

V = lim — = lim                      = f (t).

Миттєвою швидкістю тіла, що рухаеться вздовж лініг S = f(t), називається похідна функції 5 = f(t) за часом t

лт dS j., dt

Приклад 4.13. Точка рухається по кубічній параболі 12у = х3. Яка із її координат змінюється швидше?

Розв’язок. Вважаючи в рівнянні параболи у складною функцією від часу t і диференціюючи його по t, одержуємо:

dy        dx

12 = 3х2 .

dt         dt

Звідси знаходимо відношення швидкості ординати і абсциси:

x 4

dy dx dx dt

При \x\ < 2 це відношення буде менше 1, при \x\ = 2 — дорівнює 1 і при |x| > 2 воно буде більше 1. Отже:

1)         при -2 < х <2 ордината змінюється швидше абсциси;

2)         при х - ±2 швидкість зміни абсциси і ординати однакові;

3)         при х < -2 і х > 2 ордината змінюється швидше абсциси.

Геометричний зміст похідної

Нехай дано функцію у = f(x), графік якої наведено на рис. 4.1.

 

Y

f(x+ Ax )

Дотична

f(x)

х+Ах X

Відношення

Ах

дорівнює тангенсу кута /3, утвореного січною, що проходить крізь точки Р та Q які мають відповідно абсциси х та

Х + Ах, із додатним

напрямом вісі Ох.

Якщо   приріст

Дх—»0, то точка Q прямує до точки Р, а

кут fj — до кута a,

утвореного дотичною

Рис. 4.1.

260

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

до розглянутої кривої в даній точці з додатним напрямом осі Ох. Отже, маємо:

 АУ lim ^

А^° Ax

fix) = tga.

Значення похідної в деякій точці дорівнює тангенсу кута, утворе-ного дотичною до кривої в цій точці з додатним напрямком осі Ох — в цьому заключається геометричний зміст похідної.