4.1.2. Основні правила та формули диференціювання


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Практично ж похідні функцій знаходять за основними правила-ми та основними формулами диференціювання. Основні правила диференціювання:

1.         (С)' = 0.

2.         (х)'х =1.

3.         (u + v-w)' = u'x+v'x-w'x.

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

 

4. (Cu)' = C-u'x.

5. (uv)' = u'xv + uv'x.

 (^ 6. —          r

u'xv-uv'x

Uv       V

(Тут C — стала величина, u, v — функції аргументу x, що мають похідні).

7. Нехай у = /( (р(х)) — складна функція, тобто у = f(u), аи =<р (х). Якщо для відповідних один одному значень х і и існують похідні

f„(u) і и'х = (р'(х), то існує похідна від у по х, причому

Користуючись цим співвідношенням, таблицю формул диферен-ціювання можна подати так:

Ух

a

8.         у - —;

и

9.         а) у = ип;

б) у-у/и;

10.       у = sinw;

11.       у = cosu;

12.       у = tgu;

13.       у = ctgu;

14.       у = arcsinw;

 

V'=~V

■и'х {a — стала величина).

y'x=nurl-u'x 1

Ух ~ Г~ х

2\Іи у'х =cosu-u'x. Ух =sinu-u'x 1

Ух=

Ух=

cos u 1

sin2w

ліі-и2

и'.

241

15. y = arccosw; y'%

yjl-U2

•U„.

 

16. y = arctgw;            У,        1 + u 2 Ux'

17. y = arcctgw;          y\                     -и'

1 + u 2 x

18. a) y = a";    y'x        = a"\na-u'x;

б) y = e";         y'x        =«■•»;■

19. a) y = logau;          y'x        uma 1

Ух

■u„.

6) y = Inu;

20. a) y = if; де u = <p(x), V = y/(x),

y'x-v- u1"1 ■u'x+uvlnu-v'x.

8 2) z/ = —^;

х

1          1

+          ;

Приклад 4.2. Знайти похідні; користуючись формулами диферен-ціювання:

1) у = х2 - 5х + 4; 5

Зх"

tfx х2

3) у = \[х +

4) у = (Зх2 + 5ах - 2d2) у/а2 + Зх2 ;

5) у =

х

х2+1

6) у = (5.Г3 + Ах2 + 8)4;

 

7) у = \І2 + х4 ;

*)У

3

(Зх2-5)3

242

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

9) f(x) = v 3 +— + 6 , обчислити /'(1);

10) г/ = sin 2г2;

12) г/ = 3sin2x;

14) г/ = arcsin2r; 16) у = arccos23x;

18) у = 4sm Зх ;

20) у = Є         ;

111;

24) г/ =

22) у = ln5ctg4r;

 

1+*

11) г/ = tg        ;

13) г/ = sin35x- cos53x 15) у = arctgvx ; 17) г/ = arctg4-3/^;

19) у = е^1х2+х-з;

21) г/ = lncos3x;

23) z/ = 1п(х + л/і + Х2);

25) у = хх.

Розв’язок.

1) у' = (х2 -5х + 4)' = (х2)'-(5х)' + 4' = 2х - 5 ■ 1 + 0 =2х-5.

зя формулами (9а; 4; 1)

за формулою (3)

8

1) у'

(х2)

•2х

16

X

X

X

х3'

зя формулами (8; 9а)

2) Ввівши дробові та від’ємні показники, перетворимо задану функцію:

11        A

у = х2 + 5х 3 - х"2 + —х"3.

3

Застосовуючи формули (9а, 4, 2), одержуємо:

г/

1

х/

+ 5х J - (-2)хг2-1 + —(-d)x 3

-3-1

—х 2 н— X +

2          3

243

„0,1     5          2          1

+ 2r — УГ =   j= —    :           + —тг —       .

2Vx ЗЩхА x Xі 3) За формулою (5) маємо при и = Зх2 + 5ах -- 2а2, v = 4a2 + 3х2 у' = (Зх2 + 5ах - 2а2 )Ч/а2 +3х2 + (Зх2 + 5ах - 2а2 )(sla2 +3х2) =

2\Іа2 +3х Після спрощення:

- (6х + 5a)v a2 + Зх2 + (Зх2 + 5ах - 2а2) ■,  ■ 6х

2          похіЬиа

виразу похідна квадратного

кореня

, 5а2+30ах2+27х3

У         1•

4а2+3х2

5) Використовуючи формулу (6), одержуємо:

x2+ij

{х2+\у (х2+іу

dy \ х2 | (х2)'(х2+1)-х2(х2+1)' 2х{х +\)-х 2х dx

2х3 + 2х-2х3   2х

(х2+\)2            (х2+1)2

6) г/' = 4(5х3+4х2+8) (5х3+4х2+8)' = 4(5х3+4х2+8)3

похідна степеня        похідна основи степеня

2

<(15х2+8х).

1 1

7) г/' = (-\/2 + х4)' = ((3 + х4)3)' = —(3 + х4)3 (2 + х4)'

1 -- 4г3

-(3 + х4 )3-4х3          

3          3-^(2+ х4)2

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

8) Використовуючи формулу (8), одержуємо

(Зх2-5у

4          v          '

похідна дробу з сталим чисельжком

((3x2-5f)'

(Зх2-5)

3(Зл:2-5)2-6л:

-л:

(З25)4

9) Введемо дробові та від’ємні показники, а потім знайдемо по-хідну від суми і за формулою (18а), одержимо:

і           (\

-5х       х2

/'(*) = (3- + 2~5х + 6х )' = 3* In3 • - + 2-5х In2 • (-5х) +

+ 2-5х1п2-(-5) + 621п6.

х

ІП6\Х2)

Iі          _          1 { --

= —3х 1пЗ-5-2~5х1п2 +—6х2х 21п6.

х          2

- 2

)

Обчислюємо f'(l). Шдставимо в значення похідної х = 1.

тпЛ „ 51п2 0, „ 91,

= -ЗтЗ + Зтб = — т2.

32        32

10)       Спочатку знаходимо похідну синуса, а так як синус береться

від 2х2, то знаходимо похідну від 2х2. похідна заданої функції дорів-

нює добутку цих похідних

у' = (sin 2х2 У = cos 2х2 (2х2)' = cos 2х2 -Ах = Ахcos 2х2.

11)       Перш за все необхідно продиференціювати тангенс, але так

як він береться від дробу то слід знайти похідну дробу і одержані

похідні перемножити:

у'

1 + х

X

cos

1

Гй

X

1 + х

X

cos

 

1

1-х-(х+1)1

х+1 х1

X

 

\

1

_

1

cos2

Гй-

X

245

12)       у' = (3sin2x)' = 3(sin2x)' = 3-2sinx-(sinx)' =

= 6sinr- COST = 3sin2x

Сталий множник 3 виносимо за знак похідної. Потім продифе-ренціюємо степінь, а так як в степінь підноситься sin х, то диферен-ціюємо і sinr; знайдені результати перемножуємо.

13)       у' = (sin3 5х■ cos5 Зх)' = (sin3 5x)'coss Зх + sin3 5х■ (cos5 Зх) =

= 3sin25x(sin5x)'cos53x + sin35xcos43x(cos3x)' =

= 3sin25xcos5x-5cos53x + sin35xcos43x(-sin3x-3) = = 15sin25xcos5xcos53x - 15 sin35xcos43^sin3x = = 15sin25xcos43x(cos5xcos3x - sin5xsin3x) = = 15sin25xcos43xcos(5x+3x) = 15sin25xcos43xcos8x

14)       Розглянемо формулу (14): Ух i. ?"ux .

yJl-U

Похідна від функції y = arcsinw знаходиться так: одиниця ділить-ся на квадратний корінь із одиниці мінус квадрат тої функції, яка стоїть під знаком арксинуса, і цей дріб помножується на похідну цієї функції. Через це можна зразу записати:

,           ■ п ,    1          ,,          1г,       2

у = (arcsmzx) = ,         =(2х) = ,          -2

д/і-(2х)2          Vl-4x2 Vl-4x2

1 + и2

Запам’ятаємо, що похідна функції у = arctgw дорівнює дробу, в якому чисельник дорівнює 1, а знаменник дорівнює 1 плюс квадрат функції, що стоїть під знаком арктангенса, і дріб домножується на похідну цієї функції.

у = arctgVX,

1          і—       11        1

15) у'х = (arctgw)x =   j-u'x.

і           . і—.,

У         1=7\УХ)          і—       j=

l + (Vx)            1 + х 2vx 2Vx(l + x)

16) у = arccos23x

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

Продиференціюємо спочатку степінь. Так як в степінь підноситься arccos Зх, тобто взяти похідну від arccos3x, а потім похідну від Зх.

у' = (arccos2 Зх)' = 2arccos3x(arccos3x)' =

= 4arctg3>/X

l + (lfx~)2

1

-3

= 2arccos Зх

6arccos Зх Vl-9x2

Vl-(3x)

17) у = arct^vx .

у' = (arctg4>/Jr) = 4arctg3>/x (arctgyfxj

1 + в/х)2 4arctg3 yfx 1

,           , і

Шх\ = 4arctg%fx

3(1+ >/^) vi2 3vx^(l + vx^)

4arctg3 yfx

1 H

—x 3

18) z/ = 4sm x.

За формулою (18a) маємо:

y' = (4sin23x)' = 4sin23xln4-(sin2x)' = 4sin23xln4-2sin3x-(sin3x)'

= 4sin23xln4-2sin3x-cos3x-3 = 3sin6x-4sin23xln4.

\x2+x-3

19) y = e

За формулою (186) маємо:

jx2+x-3

x2 + x-3 =e

2Vx2 +X-3

(2х + 1)в7х^ХІ3 2vx2 + x - 3

(2x + 1)

 

<Jxz+x-3

2-4 Xі +x-3

 arcsm

20) z/ = e

(x2+x-3)'

247

= e~arcsin^(-3arcsin2Vx)(arcsinVJr)' =

f

= g-arcsinV* (_3arcsjn2>/^ )

-arcsm^ • , /-4 1 1       -3arcsin2Vxe"arcsin3,C

= e       (arcsm2VX) ,   —,= =             ■                     .

Vl-x 2vx          2Vx-x2

21)       z/ = lncos3x

1

За формулою (196), якщо г/ = Іпи, TO г/ = —г/. Тобто одержати

похідну від функції Іпи, де и - функція х, потрібно одиницю поділи-ти на функцію и, яка стоїть під знаком логарифму, одержаний дріб слідує помножити на похідну цієї функції.

1          1

у' =(lncos3x)'= (cos3x)'=        (-sin 3x)-3 = -3tg3x

 cos3x  cos3x

22)       z/ = ln5ctg4x

Тут спочатку диференціюється степінь логарифму, а потім береть-ся похідна від логарифмічної функції.

у' =(ln5 ctg4x)' = 51n4ctg Ax- (lnctg4x)' =

1 ( 1

fsin4x 1

= 51n4ctg4x    —       A = -20 ln4ctg Ax\

2

 ^

^cos4x sin Ax

ctg4x ^ sin Ax

-20ln4ctg4x -40ln4ctg4;r

             =        

sin4xcos4x       sin8x

23) z/ = ln(x + VI + x1).

Розділ IV. Диференційне числення функції однієї змінної

I

Jl+x^l 2yfl

X

I

УІЇ-

x+

х

= -2x

{ Zyll + X2      )

+ x +x

■X

4ur>

1

х + лІ1 + х2 1

2

X

Ju

 

VI

X

^ yJl + X" )

1 + tgcp

24) г/ = 1п.

1-tgcp

Спочатку перетворимо задану функцію згідно властивостям ло-гарифмів, а потім диференціюємо за формулами.

у = — ((ш(1 + tg^) - m(l - tg^)). 4

у' = — (ln(l + tg0>)-ln(l-tg #>))'= — (ln(l + tgp)'-ln(l-tg #>)') =

4          4

1

1 .,       .,. 1

4

1

1+tgp

1 1 _,

= — (  (l + tgft>) -

4 1+tg^            1-tg^

 

cos ^

 

1

1

l-tg<p ^cos ^Jy 1 1

1 if l-tg^ + l + tg^

4 cosV U1 + tg^)(1_tg^)

2          1          cos2 ^

1

4 cos (p 1-tgV 2 cos ^(cos ^-sin ф) 2cos2cp'

25) z/ = xx.

Задана функція є показникові-степенева функція у = uv, де

U = (р(х), V = у/(х), похідна якої знаходиться за формулою:

у'х =v-ul"i -и'х +uv\nu-v'x.

у'= (хх)'= х ■ Xх'1 (х)'+ хх \п х ■ (х)' = Х-Хх^- 1 + ХХІПХ- 1 = = хх + хх\та = хх(1 + Іііг).