3.5.1. Розв’язання прикладів


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

 "          ...         1

Приклад 3.119. Знаити точки розриву функцп у =           .

х2-4

Розв’язок. Функція w = ^     визначена при всіх значеннях х,

1

х~-\ крім х = ± 2. Ця функція елементарна, через це вона неперервна на

Розділ III. Вступ до математичного аналізу

всій області свого визначення: -co < х < -2, -2 < х < 2, 2 < х < +<». Вона не визначена в точках х, = 2 і х„ = -2, але визначена поблизу

12

цих точок. Задана функція в точках х. і х„ має розриви. Знайдемо односторонні границі заданої функції при прямуванні аргументу х до точок розриву зліва і справа.

а)

urn іі

->-2-0

lim

->-2-0

2

X

1

 

4

+00,

так як при X —> -2 - 0 величина f- 4 є додатною нескінченно ма-

лою величиною, а обернена її величина

1

х -4

є додатною нескінчен-

но великою;

1

2+о х - 4

1 Z/ ~~ 11ТТ)

 п         ^          ~          2

-co,

так як при X—»-2 + 0 величина х2 - 4 є від’ємною нескінченно малою, а обернена її величина є від’ємною нескінченно великою. Отже, в точці х = -2 функція має нескінчений розрив.

б)

11TT1 7V ^=

1

х -4

-CO,

 

так       як        при

X —» 2 - 0 величина х2 - 4 є від’ємною нескінченно малою величиною, а обер-нена її величина

У

 

1

є від’ємною

2

х -4 нескінченно вели-кою;

-2

2

Х

 

Рис. 3.34.

227

1

11 тті 7y ^= 11TT1

*^2+0  x^2+0 x 2 - 4

+C0,

так як при x —> 2 + 0 величина f - 4e додатною нескінченно ма-

лою величиною, а обернена її величина

1

х -4

є додатною нескінчен-

но великою.

Отже, в точці х = 2 функція має нескінчений розрив. Див. рис. 3.34.

|х + 1| х + 1

х-1 і

Приклад 3.120. Знайти точки розриву функції y

стрибок функції в точці розриву.

Розв’язок. Задана функція визначена і неперервна на всій числовій осі крім точки х = -1. Із цього слідує, що в точці х = -1 функція має розрив.

Дослідимо цю точку розриву

I x _|- \ I —(х + D

ІІЇЇІ (   х-ї) = lim (        х-1) = lim (-х - 1) = 0.

^-!-0 Х + 1     — I"»   Х + 1   ^1"0

lim ('     х-1) = urn (      х-1) = lim (х - 1) = -2.

^"1+0 х + 1     ^"1+0 х + 1     ^-1+0

Отже, односторонні границі функції в точці х = -1 існують, але не рівні між собою. В цій точці задана функція має розрив першого роду Стрибок функції дорівнює

lim у - lim у = -2 - 0 = -2.

*->-1+0          ж->-1-0

Графік функції складається із двох напівпрямих:

X-1 при Х<-\

Х-1, при х>-1 її графік зображено на рис.

-2

Рис. 3.35.

У

3.35.

Розділ III. Вступ до математичного аналізу

Приклад 3.121. Для заданої функції

2\[х, при 0 < х < 1,

А*)

4-2х, ири 1<х<2,5, 2х-7, ири 2,5<х<+со.

знайти точки розриву та стрибки функції в точках розриву, побуду-вати графік.

Розв’язок. Неелементарна функція f(x) визначена для всіх зна-чень х > 0. Вона може мати розрив в точках х = 1 і х = 2,5, де змінюється її аналітичний вираз. У всіх інших точках своєї області визначення fix) неперервна, так як кожна із формул, якими вона задана, визначає собою елементарну функцію, неперервну в своєму інтервалі зміни аргументу х.

Дослідимо точки х = 1 і х = 2,5:

a)         lim fix) = lim 2-Jx = 2;

х->1-0 х->1-0

lim f(x) = lim (4 - 2x) = 2. Згідно умови значення функції f(x) в точці х = 1 визначається

першою формулоюДІ) = 2у/ї = 2. Отже, в точці х = 1 виконуються всі умови неперервності: функція визначена в околі точки х = 1 і

lim f(x) = lim f(x) = 1, через це в точці х = 1 функція/(х) неперер-

зс—»і—0        х^-1+0

вна.

Тут границі зліва та справа існують і скінчені, але не однакові, тобто не виконується умова неперервності. Через це в точці х = 2,5 функція має розрив І-го роду. Стрибок функції в точці розриву:

lim fix) - lim fix) = -2 - (-1) = -1.

1^2,5+0          х^2,5-СГ

Див. рис. 3.36.

 

y = 2x - 7

0 -1

-2

 

Рис. 3.36.