3.4.5. Розв’язання прикладів


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Границя функції не залежить від того, чи визначена функція в граничній точці, чи ні. Але ця умова має істотне значення при зна-ходженні границь функції:

а) Якщо функція є елементарною і якщо значення аргументу належить її області визначення, то обчислення границі функції зво-диться до простої підстановки граничного значення аргументу, так як границя елементарної функції fix) при х, що прямує до значення а, яке входить в область її визначення, дорівнює значенню функції

при х = а, тобто lim/(x) = f(a). 210

Розділ III. Вступ до математичного аналізу

 " r- 2x - 3

Приклад 3.50. Знаити hm     .

^3 3 + 7x Розв’язок. За теоремами про границі маємо:

lim 2х~3 = х-5}(2х"3) = 2ІЛХ~3 = 2*3-3 _ 3_ 1 "3 3 + 7х 1іт(3 + 7х) 3 + 7Іітх 3 + 7*3 24 8

х->3    х^З

б) Якщо аргумент прямує до нескінченості або до числа, яке не належить області визначення функції, то в кожному із таких випадків для знаходження границь функції необхідні спеціальні дослідження.

I. Випадок, коли при х —> оо або х —> а функція представляє собою відношення двох нескінченно великих величин (невизна-

00

ченість —).

00

При розкритті невизначеності виду <^ — > поступають так: чисель-

ник і знаменник дробу ділять на найвищий степінь змінної, який зустрічається в членах дробу.

 „ 1 + 3п + 2п2

Приклад 3.51. Знаити lim     .

Розв’язок.

1 + 3п + 2п2   13

lim + n+ n = ijm           ?L        = ljm ?

\-П2     П^СЮ            1-П2    "^"       1          A

n 2       n 2

13        13

lim(^ + — + 2) lim^ + lim+ lim2          ГІ^ГІ^Ч

1-        1          1          0-1

hm(—=-1)       lim ^r- lim 1

 „ ,. 9n2+2n-3

Приклад 3.52. Знаити hm     .

Розв’язок. Переконавшись, що маємо випадок \ — >, поділимо

[coj

чисельник і знаменник на п2 (найвищий степінь гі). Знаходимо:

9п2+2п-3       2_3

lim 9"'*2""3 = lim 2 *2 lim Vf =

«^со 5п -7п + 4 к^ш 5п -7п + 4 и^=° 7 4

            2                      5 — + ^

23        23

lim(9 + j) 1іт9 + 1іт — lim       о + п_о 9

=          =          =         -=        — =     = — = 1,8.

,. 74     _ ,. 7 ,. 4 5-0 + 0 5

1іт(5    ь^) limo-hm —+ 1іт—5

 „         2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2и

Приклад 3.53. Знаити lim

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2п + 1)

Розв’язок. Маємо невизначеність \ — >. Тут чисельник дробу є

[coj

сума п членів арифметичної прогресії, а знаменник є сума (п + 1) членів другої арифметичної прогресії. Перетворюємо ці прогресії за відомими формулами. Одержуємо:

2 + 2я

2 + 4 + 6 + 8 + . .. + 2п          2

lim        lim

l + 3 + 5 + 7 + ... + (2n + l) »-*» 1+2я+1

 '                      (n + 1)

212

= lim    = lim   T- = 1.

»^° n + 1 «-*>° i + l

Розділ III. Вступ до математичного аналізу

tg2x Приклад 3.54. Знайти lim

r->- ctg(x-f)

4          4

Розв'лзок.

i.          tg2x     [oo] ,. sin2xsin(x-f)

hm       = <^ — \ = hm           — =

x->- ctg(x-f) [°oJ *_>* cos2xcos(x-f)

4          4 '        4          4'

,. sin2x ,. sin(x-f) 1 ,. sin(x-f)

 hm      hm       4 = _ hm

x

 cos(x-f) x->- cos2x    1 *->- sin(f-2x)

,. -sin(f -x)       1 ,.       1          11 1

hm       —        = — hm

 

*_>* 2sin(f-x)cos(f-x) 2 *->* cos(f - x) 2 1 2

4

Приклад 3.55. Знаити границю hm ,          .

и^-ш 4n2 +i

Розв’язок. Поділимо чисельник і знаменник на п, одержуємо:

 П        ,.          1          1

lim ,      = hm і  = — = -1.

n^-m sin2 +1 и^-ш /1 + J_ _1

V n 2

II. Випадок, коли при % —> oo або x —> a функція представляє собою відношення двох нескінченно малих величин (невизначеність

Ш>-

Якщо знаходиться границя дробу, чисельник і знаменник якого многочлени, які в граничній точці перетворюється в нуль, TO згідно теореми Безу обидва многочлени розділяться без залишку на х - а, тобто такий дріб можна скоротити на х - а.

 -         1 •       Х-2

Приклад 3.56. Знаити hm

х^2 х2 - 4

Розв’язок. Спочатку переконаємося, що границю функції не мож-на знайти безпосередньо підстановкою змінної. Що при вказаному

значенні змінної аргументу вона представляє відношення двох не-

[0] скінченно малих величин (невизначеність і — >). Виконуємо пере-

творення щоб скоротити дріб на множник, який прямує до нуля.

Розкладаємо знаменник дробу на множини (х - 2){х + 2) і ско-рочуємо дріб на (х - 2).

 х-2 ,. х-2 ,. 1  1

lim        = hm    = hm    = —

х^2 Xі -4 х^2 (х-2)(х + 2) х^2 х + 2 4

Тут немає скорочення на нуль, що недопустимо. Згідно визначення границі функції аріумент х прямує до свого фаничного значення 2, і ніколи з ним не співпадає. Через це х - 2 Ф 0.

 „ 2х2-11х + 5

Приклад 3.57. Знаити границю lim .

^5 Зх2-14х-5

Розв’язок. Переконавшись, що маємо невизначеність < — >, розк-

ладаємо чисельник і знаменник дробу на множини, як квадратний тричлен, за формулою ах2 + Ьх + с = а(х - х,)(х - хЛ, де х, і х, -корні тричлена.

2х2 - 11х + 5 = 0, D = II2 - 4-2-5 = 121 - 40 = 81,

11-9 2 1          11 + 9

1 4       4 2' 2 4

1 2х2 - 11х + 5 = 2(х - —)(х- 5). 2

Зх2 - \Ах - 5 = 0,

D = I2 + 3 ■ 5 = 64,

7-8 1   7+8

х. =      = —, х, =        = 5.

1 3       3          3

Зх2 - 14г - 5 = 3(х + — )(х - 5). 3

Розділ III. Вступ до математичного аналізу

Потім скорочуємо дріб на (х - 5):

и 2х2-11х + 5 _ Ит 2(х-|)(х-5) _ Ит 2х-1 5 —5 Зх2-14х-5 ~ —5 3(х + і)(х-5) ~ ^5 Зх + 1 ~їб

 о         I-         Sm2X

Приклад 3.58. Знаити границю пт .

Розв'лзок.

Hm sin2x ,.      l-cos2x

11111              J^

>ж 1 + cos х *-« (l + cosx)(l-cosx + cos2x)

(l + cosx)(l-cosx)         (1-cosx)

*-►*• (l + cosx)(l-cosx + cos 2 x) х^ (l-cosx + cos 2 x)

1 + 1    2

1+1+1 3

Приклад 3.59. Знайти границю lim .

х^О     х

Розв’язок. З’ясувавши спочатку, що при вказаному значенні аргу-менту задана функція перетворюється в відношення двох нескінчен-

но малих величин (випадок < — >), перетворимо дріб таким чином,

щоб скоротити її на множник, який прямує до нуля. Знищимо ірра-ціональність в чисельнику шляхом помноження чисельника і зна-

менника на (1 + у/х +1), а потім скоротимо дріб на х.

l-Vx+ї  (1-Vx+T)(l + Vx+T)

hm       = hm

x^O     x          x^O     X(l + Vx+I)

,. l-(x + l) -X -1           1

— nm  .           = lim    .           = lim    ^^^^= — —

*-*> x(l + Vx + l) *-><> x(l + Vx + l) *-*> 1 + Vx + l 2

,. 2-vx Приклад 3.60. Знайти границю hm

х^ 3-УІ2Х + І

fool

Розв’язок. Маємо невизначеність виду <^ — \. Помножимо чисель-

ник і знаменник на добуток (2 + VX )(3 + yJ2x + \ ), а потім скоро-тимо дріб на 4 - х.

2-yjx    (2 - Vx)(2 + Vx)(3 + у/2х +1)

lim        j^=^ = Hm

"4 3-V2x + l *^4 (3 -V2x +1)(3 + V2x +1)(2 + Vx)

,. (4-x)(3 + V2x + l) ,. (4-x)(3 + V2x + l) ^4 (9-2x-l)(2 + >/x) "4 (8-2x)(2 + V^)

,. (4-x)(3 + V2x + l) ,. (3 + >/2x + l) 3 + 3 3

= hm    =^ = hm           = =       = —.

x^4 2(4-x)(2 + vx)       x^4 2(2 +six)   2-4 4

 o         1.         УІХ-6-1

Приклад 3.61. Знаити hm     .

x^ x-7

Розв’язок. Тут i границя чисельника i знаменника дорівнює нулю,

тобто маємо невизначеність I — г. Перенесемо ірраціональність із чи-

сельника в знаменник. Скористуємося відомою формулою алгебри (а - Ь)(а2 + аЬ + Ь2) = а3 - Ь3. Отже, для того, щоб одержати в чисельнику різницю кубів, необ-

хідно його помножити на Щх-6)2 + \Jx-6 +1. Помноживши і знаменник на цю величину, одержуємо:

lim ^*"6-1 hm (^Х-6-Г)(УІ(Х~6)2 +УІХ-6 + Г)

х^7 х-7            х^7 (х - 7)(і/(х - 6)2 + yjx - 6 +1)

Розділ III. Вступ до математичного аналізу

,.          x-6-1

hm

"7 (x-7)(^/(x-6)2+^/x-6+l)

 x-1

= lim    .                       _           =

~? (x_7)(^/(x-6)2+Vx^6+l)

,.          1          11

hm

n-7

з/(х _ 6)2 _|_ $JX _ 6 _|_ 1     1 + 1 + 1         3

III. Випадок, коли при X —> a або X —> co функція f(x) представ-ляє різницю двох додатних нескінченно великих величин (випадок {со;-со}).

Цей випадок знаходження границі функцїї можна привести до ви-

падку < — > або I — I шляхом перетворення функції до вигляду дробу.

Приклад 3.62. Знаити hm     =

х^2 I х — 2 х — 4

Розв’язок. Аналізуючи умову задачі, бачимо, що при вказаній поведінці аргументу функція представляє різницю двох додатних

нескінченно великих величин (випадок {со;-со}}). Після цього пере-творимо задану функцію до вигляду дробу, чисельник і знаменник якого одночасно прямує до нуля або нескінченності. Тим самим ви-

падок знаходження границі функції {оо;-оо} зводиться до випадку

{тг \ або \ — \. Виконаємо віднімання дробів і одержаний дріб ско-ротимо на (х - 2):

 

lim

х^2

lim        = lim

1          4 |        х + 2-4            х-2

х-2 х-4) ^2 (х_2)(х + 2) *->г(х-2)(х + 2)

1          1

lim

"2 і + 2 4

Приклад 3.63. Знайти lim I х - л/х2 +5х|.

Розв’язок. Якщо розглядати задану функцію як дробову зі знамен-ником, рівним одиниці, та позбавившись від ірраціональності в чисель-ник у, а потім розділивши чисельник і знаменник дробу на х, маємо:

lim (х-л/х2 +5х

lim

Х->+Х

(х-л/х2 + 5x)(x + \Jx2 +5х) x + vx2 +5х

 

х

lim

Г^-+сс

-5 1 + 1

2          2 г;

X

             'V        1 'V

\/х2 + 5х

-2,5.

lim

х

-5х

 V х1 + 5х

lim

-5

І + ^

1

ІV. Перша визначна границя

 sinx

lim        = i

*^° х Встановлюємо, що задана функція не визначена в граничній точці і при заданій зміні аргументу вона представляє відношення двох

нескінченно малих величин (випадок

)•

Приклад 3.64. Знаити lim    

х^° sin/x

Розв’язок.

rfct

lim

х->0

lx sin lx

/X

х^О ІХ

sinkx

lim

sinkx kx

             ~~ II II          

sin/x *->° sin/x

 sin&r

lim        та lim

kx

х->0

,. he k

*^° /х /

рівні одиниці.

218

Розділ III. Вступ до математичного аналізу

Приклад 3.65. Знаити hm     .

x^° 1-cosx

Розв’язок. Перетворимо тригонометричну функцію

 ■ 2 X

1-cosx = 2sm — 2

2 X

v          x2        x2        .,.

>0 1-COSX    x^O     2 X      x^O     2 x

2sin — sin —

= 2lim  lim        = 2-11 = 2.

x^O     X x^O x

sin        sin

2          2

 o cos&x-cosix

Приклад 3.66. Знаити lim     .

x^O     x2

Розв’язок. Перетворимо формулу

cos fcr - cos be = -2sin            ism       x

2          2

„ k + l  k-l

,. cos&x-cos/x ,. ~ sin—xsin—x

J_^       = I T1             —        —        =

x^O     ^2        x^0      ^ ^.

 k + l    k + l     k-l        k-l

sin        x          sin        X                     , , ,_,

= -2lim r—       — lim   r—       = -2   

x^o      k + l     x^o      k-l        22

            x                      x

2          2

-£2+/2 /2-£2

2

sin

lim

x->0

k + l

sin        X

2

k + l

x

та lim

x->0

k-l

2

x

k-l

X

рівні одиниці.

V. Випадок, коли при x —> oo або x —> a функція f(x) представ-ляє добуток нескінченно малої величини на нескінченно велику (ви-

падок {0 ■ оо} ). Цей випадок знаходження границі функції зводиться

шляхом перетворення функції до одного із двох розглянутих відно-

шень (тобто до випадку < — > або до випадку

00

)•

кх 2

Приклад 3.67. Знайти lim (l-x)te

ж->1

Розв’язок. Встановивши, що при вказаній зміні аргументу функ-ція представляє добуток нескінченно малої величини на нескінчен-

но велику величину (невизначеність {0 ■ оо}), перетворимо її до виду

дробу чисельник і знаменник якого одночасно прямує до нуля або нескінченості.

lim (l-x)tg

лх

(1-х) sin

ЛХ lim 2

2 х^1   ях

cos— 2

 

lim sin^ lim ІЬ^

^1 2 ^І лх

cos

1-lim

х->1

(1-х)

. , л лх. 22

 

(1-х)

± jjm 2

sin        X)

2

к

■1

2

л'

220

Розділ III. Вступ до математичного аналізу

VI. Випадок, коли при x —> оо або x —> a функція f(x) представ-ляє степінь, основа якого прямує до одиниці, а показник — до не-скінченості. В такому випадку для знаходження границі функції використовується друга визначна границя

lim 1

x—»<х

x )

_1

lim (1 + af

e.

 

Приклад 3.68. Знайти lim

x->сс

x + 1 x-1

1 + x

-> 1, коли x -> оо, a

Розв’язок. Тут основа степеня f(x) =

1-x

показник степеня x —> оо. Має місце випадок невизначеності виду {1°°}.

lim

x + 1 x-1

lim

x-1 + 1 + 1 x-1

lim

x-1 2

x-1 x-\

2x

lim 1

x-1

lim

x-1

lim ex_1

 

Ix

lim

 

 ex*,x-1

e

lim x     ІітЛ

e2.

Приклад 3.69. Знаити lim    

Розвязок.

lim

x^ОС

4x-1 4x + 3

lim

4x+3-3-1 4x + 3

1іт

4x + 3 4

4x + 3 4x + 3

221

4(3x+2) 4х+З 4х+3

12х+8 1 4х+3

lim

r^-cc

1

4х + 3

lim (бГ1)

 

- lim

12х+8

^ О Х—5&І 4X + G

12x+8

 

= 6       %

е 4 = е

-jx

Приклад 3.70. Знайти lim (Зх-2) Розв'лзок.

DX

lim (Зх-2)'2' = lim (і + Зх-1-2)'2' = lim (1 + 3(яг-1))(

-jx

 

lim (1 + 3(х-1))3(І1)І+1 = lim (е)*

,. 15х

hm                   15

Ж^ІХ+1