3.2.12. Розв’язання прикладів


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 
255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 
270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 
285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 
300 301 302 303 

Загрузка...

Приклад 3.27. Побудувати графік функції у = Зх - 5. Розв’язок. Задану функцію не можна відне-сти ні до парних, ні до непарних:

у(-х) = -Зх - 5 = -(Зх + 5). Областю її визначення є інтервал (-оо;+оо). Функція лінійна, її графіком є пряма лінія, для побудови якої досить знати тільки дві її точки. Візьмемо два довільних значення аріументу х і обчислимо відповідні їм значення функції у.

 

х          2          0

у          1          -5

Побудуємо на площині дві точки А(2; 1) і

В(0; –5). Графік показано на рис. 3.23.       Рис. 3.23.

Приклад 3.28. Користуючись графіком функції у = х2, побудува-ти графік функції у = х2 + 2х + 2.

Розв’язок. Задану функцію представимо в вигляді у = (х + 1)2 + 1. Виходячи із графіка функції у = х2, спочатку побудуємо графік функції у = (х + 1)2, перенесенням графіка у = х2 відносно осі Ох вліво на 1. А потім графік у = (х + 1)2 перенесемо вгору на 1 (рис. 3.24).

 

У

Рис. 3.24.

Приклад 3.29. Побудувати графік дробово-лінійної функції

ах + b  ,           ,           ,

=          враховуючи, що ad - ЬСФ 0; a > 0; Ь > 0; с > 0; a > 0.

cx + d

Розв’язок. Чисельник дробу ах + Ь поділимо на знаменник сх + d:

192

Розділ III. Вступ до математичного аналізу

Одержали

ax + b ax + Щ-

b

 

ad

cx + d

+

b-

cx + d

ad c

 

V

У

i, ad

ax + b a           c

 

СХ +   d          c          cx + d

а          be        -ad       1

с                      c2        d

ХЛ— c

da Позначимо тепер х + = х1, і у – = у1, будемо мати

 

            i \ t      

'           ""-v^ ^1                       X1

Л         0          X

У1

be-ad 1

 

c2 x1

або

x1y1

be-ad

c2

— це рівностороння гіпер-бола. Новий початок коор-динат O1 знаходиться в точці з координатами:

d          а

х0 =     ; У0 = ~ (рис. 3.25).

с          с          Рис. 3.25.

Приклад 3.30. Побудувати графік дробово-лінійної функції

2х + 3

У =     

3х + 4 Розв’язок. Чисельник дробу 2х + 3 правої частини рівняння поді-лимо на його знаменник 3х + 4 за правилом ділення многочленів:

193

Таким чином,

2х + 3

8 2х +

1

3

3х + 4

2

2х + 3 2

у

Зх + 4 3 Зх + 4 В знаменнику другого дробу винесемо за дужки 3 і одержимо, що права частина даного рівняння може бути записана так:

1

У

 +

3          4.

9(х + -) 3

 

2

1

3          4Ч

9(х + ) 3

4

2 11 = у – . 33

Тоді одержуємо, що новий початок координат знаходиться в точці

Тепер позначимо через х1 = х + , у1 = у

у

4

2

або

             7/ ^    

3' ° 3

з координатами х0 42

0,

зз

а в перетвореному

вигляді задане рівняння запишеть-ся так:

1          ,           1

У\ =— > а&о х, у. = — ,

9xj       9

а це рівняння рівносторонньої гіперболи відносно її асимптот (рис. 3.26).

 

Уі'        _3

4          k

Оі                    ХІ

ч          0          X

Рис. 3.26.

194

Розділ III. Вступ до математичного аналізу

Приклад 3.31. Побудувати графік функції у = (х - 1)3. Розв’язок. Функція у = (х - 1)3 визначена при

всіх значеннях х (—со < х < +со). Функція ні парна,

ні непарна. Складемо таблицю числових значень функції для кількох довільних значень аргументу

 

X         -1        0          1          2          3

У         -8        1          0          1          8

-1 Побудуємо одержані точки і з’єднаємо їх плав-ною кривою (рис. 3.27).

Рис. 3.27.

Приклад 3.32. Побудувати графік функції у = 2х. Вважаючи цей графік початковим побудувати гра-фіки функцій:

1) у = 2–х; 2) у = -2х; 3) у = -2~х.

Розв’язок. Показникова функція у = 2х визначена при всіх значен-

нях х. Її областю існування є інтервал (-со;+оо). Складемо таблицю числових значень функції, надаючи аргументу довільних значень.

 

х          -5        -4        -3        -2        -1        0          1          2          3          4          5

у          1 32     1 16     1

8          1 4       1 2       1          2          4          8          16        32

 

у = 2х

у =–2х

Побудуємо на площині ці точки, з’єднаємо їх плавною кривою і одержимо наближений графік заданої функції (рис. 3.28).

1)         Графік функції у = 2–х симетричний

графіку функції у = 2х відносно осі Оу, так як

у(х) = 2х, то у(–х) = 2–х.

2)         Графік функції у = –2х симетрична графі-ку у = 2х відносно вісі Ох.

3)         Графік функції у = –2–х симетрична гра-фіку функції у = 2–х відносно вісі Ох.

Перед розв’язанням приведених нижче при-кладів введемо такі умови: якщо на кривих лініях, або на прямих поставлено стрілки, то це означає, що кінці цих ліній, на яких знаходять-ся стрілки не належать графіку функцій.

Рис. 3.28.

195

A

у = X

Приклад 3.33. побудувати графік функції

У

\х, якщоХФ2 I 5, якщо х = 2 .

Розв’язок. Графік функції складається із всіх точок прямої у = х, крім точки (2; 2). Ця точка викинута з прямої. Вона поміщена в точку (2; 5). Це ізольована точка графіка функції (рис. 3.29).

Приклад 3.34. Побудувати графік функції, визначеної рівняннями:

Р 2 X Рис. 3.29.

 

У

-2х - 2, якщо х < -1;

-V1 - х2, якщо -1 < х < 1; 2х-2, якщо х>1.

Розв’язок. Графіком функції у = -2х - 2 для значень х < -1 є пряма лінія, на якій необхідно взяти промінь, відповідний аргументу

х на інтервалі (-оо;-1).

 

Графіком функції у - -\1 - х2 для

значень –1<х<1 частина кола х2 + у2 = 1, що лежить в нижній пів площині.

Графіком функції у = 2х - 2 для зна-чень х > 1 є пряма лінія, на якій необх-ідно взяти промінь, відповідний значен-

ням аргументу х на інтервалі (1;оо).

В зображеному вигляді графік зада-

ний функціями представлено на рис. 3.30.           Рис. 3.30.

Приклад 3.35. Побудувати графік функції у = х2 - 4\х - 1|+ 1 на відрізку [-6; 5].

Розв’язок. Звернемо увагу

 (х -1), якщо 1 < X < 5

\х-1\ = <

{-(х -1), якщо - 6 < X < 1

Розділ III. Вступ до математичного аналізу

Складемо таблицю значень функції у = х2 – 4|x – 1| + 1, для зна-чень аргументу х, що знаходяться на відрізку [–6; 5].

 

х          -6        -5        -4        -3        -2        -1        0          1          2          3          4          5

у          9          2          -3        -6        -7        -6        -3        2          1          2          5          10

Потім будуємо точки і з’єднуємо їх суцільною лінією, одержуємо шуканий графік (рис. 3.31).

 

                                                           12 J     'F                    

                                                           10 -     - 2/ =   x2 - 4x -          -1 + 1

                                                           8 -                              

                                                           6 -                              

                                                           4 -                              

                                                           2 -                              

                                                                                              X

-6        -5 ■■   -4        -3        -2        -1

-2 -

-4/-

/-Є -

-8 -      V 1      2 3       4 5

Рис. 3.31.