14.2. Дії над векторами.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Розглянемо основні дії, визначені над векторами.

1. Додавання векторів. Сумою векторів а і Ь називають вектор с , який з’єд-

иує початок вектора а з кінцем вектора Ь , за умови, що вектор Ь відкладено від кінця вектора a . Такий спосіб додавання векторів називають правилом трикутника.

 

Рис. 2.

Розділ 14. Вектори

Враховуючи, що Ь1 = Ь , а1 = a, тознайтисумувекторів а + b можнатакож затак званим “правилом паралелограма” (рис. 3).

 

Рис. 3. Віднімання векторів зводиться до додавання протилежного вектора

а-Ь =а + (~Ь). Запишемо основні властивості дії додавання векторів:

1 a + ии + a.

2. (a + b) + с = a + (b + c) .

3 a + 0 — a.

4. a + (—a) = 0.

Зауважимо, що сума декількох векторів знаходиться послідовним додаванням двох із них, наприклад:

a + b+c + d = ((a + b) + c) + d.

Геометрично сума декількох векторів знаходиться їх послідовним відкладен-

ням один за одним так, щоб початок наступного співпадав з кінцем попереднього.

Сумою є вектор, що з’єднуватиме початок першого вектора з кінцем останнього

(рис. 4). Якщо така послідовність векторів дає замкнену ламану то сумою векторів

є 0 (рис. 5).

 

Рис. 4.

Рис. 5.

 

Розділ 14. Вектори

2. Множення вектора на число. Добугком вектора Q (^.^Q) на число к (к Ф 0, к Є R) називають вектор b , Для якого виконуються умови:

а)

к \а

б) Ь 11 о,, при чому b \\ a - співнапрямлені якщо к> 0; Ь \~V~a - протиле-жно напрямлений, якщо к < 0 • Звідси, очевидно, що необхідною і достатньою умо-вою колінеарності векторів є співвідношення a = kb ■

Запишемо основні властивості дії множення вектора на число:

1.         к(1а) = (кї)а.

2.         (к + Т)а = ка + la.

3.         к(а + b) = ka + kb ■ 4-1 • a = a ■ З.Скалярнийдобутоквекторів.Скалярнимдобугком (a,b) або a-Ь векто-

рів a і b називають вираз а-Ь =ІЙІ- 6 -COSU?, де а Ф 0, b Ф 0, <р — куг, що угворюють вектори. Відмітимо, що кугом між векторами вважають куг між їх напря-мами. Якщо хоча б один із векторів рівний 0, то їх скалярний добугок вважають

рівним нупю.

Очевидно, що скалярний добугок двох ненупьових векторів буце рівний нупю тоді і тільки тоді коли ці вектори перпендикупярні(ортогональні). Дійсно, якщо

а-Ь=0

то \а

cos(p = Q . Але \а\ Ф 0,

Ф 0 отже

cos ср = 0, ср = 90°, a _L b ■

Навпаки, якщо a _L b , то (р = 90° і згідно з означенням

a ■ b

cos90°-0.

Наприклад, скалярний добугок a ■ а 6}ДЄ рівним

a ■ a = Ia||a|cos0° = \а\ . Запишемо основні властивості дії скалярного множення векторів:

Розділ 14. Вектори

1.         a -b = b ■ a-

2.         ka-b = k(a ■ b) ■

3.         a ■ (b + c) = a ■ b + a ■ c .

4.         Векторний добуток. Векторним добугком a х b або [a, b] двохвекторів a і Ь називається вектор С , який задовольняє умови:

1) модупь вектора с дорівнює добугку модупів векторів a і b на синус куга

між ними

sin(a,A Ь) ;

2)         вектор с перпендикупярний до площини, яка визначається векторами a і

Ь (рис. 5);

3)         вектор с напрямлений так, що найкоротший поворот вектора а ДО вектора

Ь видно з кінця вектора с таким, що відбувається проти руху стрілки (тобто векто-ри a, Ь і утворюютьправувпорядкованутрійку, абоправийрепер).

У\

Рис. 5. Праватрійкавекторів.

Рис. 6. Ліва трійка векторів.

Модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах a і b ■ Векторний добугок виражається формулою a х b = Se, де5*-

площа паралелограма побудованого на векторах a і b , Є - одиничний вектор

напрямку a xb ■

Наведемо основні властивості векторного добутку:

Розділ 14. Вектори

1)         векторний добугок a х Ь дорівнює нулю, якщо вектори a і Ь колінеарні, або один із них нульовий;

2)         від перестановки місцями векторів-співмножників векторний добугок змі-

нює знак на протилежний: axb = —Ь х а (векторний добугок не має властивості пфеставності);

3)         (а + Ь)хс=ахс+Ь хс (розподільнийзакон);

4)         (та) х Ь = т(а х Ь) (сполучний закон).

Фізичнийзміствекторногодобуткутакий. Якщо F -сила, a г -радіус-вектор

точки її прикладання, що має початок у точці О, то момент сили F відносно точки О є вектор, який дорівнює векторному добутку f на F, тобто Шр (F) = Г х F.

5.3мішанийдобутоквекторів.3мішанимдобуткомвекторів а,Ь,С назива-ютьскалярнийдобутоквектора d — axb навектор с ■ Змішанийдобугокпозна-

чають (а, Ь, с), тому за означенням матимемо

(а,Ь,с) - (axb)-c . Якрезультатскалярногодобуткувекторів d — axb та С змішанийдобуток є скалярною величиною (числом). Геометрично змішаний добугок - це об'єм пара-лелепіпеда, побудованого на цих векторах, взятий зі знаком плюс, якщо вектори

а,Ь,С утворюють правутрійку ізізнакоммінус, колицятрійкаліва(рис. 7).

 

axb

Рис. 7. Змішанийдобугоквекторів.

Дійсно, (а, Ь,с) = (а х Ь) ■ с = \а • \Ь • sinср ■ \с • cosу, де ср -кутміжвекторами а Ь ', У— кут між векторами d — a X b та с .

Розділ 14. Вектори

Об'єм Vпаралелепіпеда, побудовансто на векторах а,Ь,С рівний добугку

площіоснови б'нависоту h.

Але

S - \а\ ■

sincp, h = \c\-cosY,

тобто

V= a ■

• sin<p ■ \cI • cosy = (a,b,c) . Проте знак змішаного добугку збігається зі знаком cos у , тобто він додатній,

коликуг / гострий(а,Ь,С угворюютьправутрійкувекторів)івід'ємний, коликут Y тутш(а,Ь,С утворюють лівутрійкувекторів). Тому

V = \(a,bc) ■ 3 геометричного змісту змішаного добутку випливає, що

1)         змішаний добуток рівний нулю тоді і тільки тоді, коли пфмножувані вектори компланарні (умова копланарності векторів);

2)         (a,b,c) = (axb) -с = a -{b хс).

3 огляду на комутативність скалярного добуткута антикомутативність вектор-

ного,длядовільнихвекторів а,Ь,С матимемо

(a,b,c) = (b,a,c) = (c,a,b) = -(b,a,c) = -(a,c,b) = -(с,Ь,а) ■

Прикладі.

Довести, що коли М- точка перетину медіан трикутника ABC і О - довільна

точкапростору товиконуєтьсярівність: ОМ = —\ОА + ОВ + ОС).

Розв'язування.

Нехай CCj медіана трикутника ABC. За властивістю медіан трикутника

МС1 = — СС1. Застосувавши до векторів МСХ і ССХ формулу віднімання векторів

 

A

С

дістанемо:

ОСх-ОМ = -{рСх-ОС),

звідси

ОМ = -ОС + -ОС

33 '

Але

 

Рис. 8.

0С1=(0А + 0В),

 

Розділ 14. Вектори

тоді

^rr 1 ^Ї, 2 1 ,^~ -ч 1 ,- л- л-

ОМ = - ОС + (ОВ + ОА) = - (ОА + ОВ + ОС)

3          3 2       3

Приклад 2.

У прямокугному паралелепіпеді ребра АВ, AD, АА , мають довжини 2, 3, 5. Визначигидовжини відрізків ACTS.DC, такуг міжтюямтшАСіАС,.

 

Розв’язування. Нехай 5,6, с - одиничнівекто-риспрямовані вздовжребф, що розглядаються. Тоді

2 = с2 = 1, 56 = ас = be = 0 (оскількипарале-

лепіпед прямокугний). Далі,

АВ = 25, AD = 36, АА1 = 5с, а тому справедливо

AC = АВ + ВС = AB + AD = 25 + 36;

DCX =DC + ССХ =АВ + ААХ = 25 + 5с • Цим^Жерйгено "переклад" умови задачі на "мову" векторів. Тепер проведемо обчислення з векторами:

AC1 = (25 + Зб)* =452 + 1256+962 =4 + 9 = 13,

DCX = (25 + 5с )2 = 452 + 2056 + 25с2 = 4 + 25 = 29, AC-DCX = (25 + 36)(25 + 5с) = 452 + 105с+ 656 + 156с =4-

DC = V29 .

аналопчно

Накінець “перекладаємо" отримані векторні рівності знову на “геометрич-нумову". Оскільки AC =\АС\ то\АС\=\АС =vl3

Далі оскільки AC-DCX =\АЩрс\йО%(р де <р - кут між даними векторами то

. rrz /т—          .           4

Тепер за допомогою три-

4 = V13 • V29 ■ со%ср, звідки отримаємо cosср = j=j=

л/13 -л/29

гонометричнихтаблщь знаходимо значення кута <р ~ 18° 7'.