13.5. Системи n лінійних рівнянь з n невідомими.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Означення. Лінійним рівнянням з п невідомими називають рівняння виду:

Я]Х] + а2х2 + ••• + апхп = b ;

де a„av..a - коефіцієнти рівняння; x„xv...x -невідомі, Ь-вільнийчлен.

I 2        п          L          г          Г 2       п          ?

В курсі середньої школи розглядали лінійні рівняння з одним, двома та трьома невідомими. Це рівняння:

ах — Ь; ax + by — с; ax + by + cz —d.

Геометрично ці рівняння зображають точку на числовій прямій, пряму на пло-щині, площину в просторі.

Розв’язком лінійного рівняння вважають сукупність значень невідомих цього рівняння, які перетворюють його в істину тотожність.

Системою лінійних рівнянь називають два або більше рівнянь, які розв'язують-ся спільно. Це означає, що розв’язком системи буцуть ті розв'язки її рівнянь, які задовільняють всі рівняння системи.( перетин розв'язків рівнянь системи).

В загальному вигляді система т лінійних рівнянь має вигляд:

anXj +апх2 +... + а1пхп =6] а2\х2 + a22*2 + ■■■ + а2пхп = Ь2

т\ 1 ml 2 ■■■ тп п т

дех„х„...., х - невідомі;а, av ...., a - коефіцієнтисистеми; b,, bv ...., b - вільні

Г 2       п          ' 11 12 м         L          Г 2       т

члени.

Систему можна представляти як добуток матриць:

 

хЛ (ьЛ

ь2

In

11        12 ■■ 1

21        22

2п        2

 

\ т\ т2 ■■ тп) \ п) \ т)

Такий запис системи називають матричною формою запису. Якщо ввести позначення

1

 

A

1112"Іи

, X

, В

КатХат2-атп J

\ п J

т J

 

Розділ 13. Елементи лінійної алгебри

то систему можна записати у вигляді матричного рівняння:

АХ=В.

Система називається однорідною, якщо всі вільні члени рівні нулю (АХ—0). Система називається квадратною, якщо п=т (кількість рівнянь та кількість неві-домихрівна).

He кожна система має розв’язки, наприклад система складена з наступних рів-нянь:

х.+х2—1

1          2

х+х =2

1 2

розв’язків не матиме.

Система називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв ’язок і несу-місною, якщо вона не має жодного розв’яку.

Якщо сумісна система має лише один розв’язок, то вона називається визначе-ною.

Однорідна система завжди сумісна, вона має так званий тривіальний розв ’я-

ЗОК Х.—Х2—...—Х =0.

12        п

Однорідна система має нетривіальний розв’язоктоді і лише тоді, коли ранг ма-триці, складеної з її коефіцієнтів менший за число п її стовщів.

Квадратна однорідна система має нетривіальний розв’язок, лише тоді коли визначник матриці, складеної з її коефіцієшів рівний нулю.

Питання сумісності системи лінійних рівнянь повністю вирішується наступ-ною теоремою.

Теорема Кронекера-Капеллі. Для того, щоб система була сумісною, необхідно

і достатньо щоб ранг основної матриці А співпадав з рангом розширеної матрщі A (матриця А, до якої приєднано стовпець вільних членів).

Доведення. Розглянемо матриці А та A :

A

 

21 22 ... 2п

 

а11 а12 ... а1п ®1 21 22 ... 2п 2

 

К m1 т2

®т1 ®т2 ... ^тп ®т

Мінор, який визначає ранг матриці^ входить в матрицю A , отже ранг матриці

~ або рівний рангу матриці А, або на одиницю більший за нього.

Необхідність. Якщо система А сумісна, то існують значення невідомих к1, к2,..., к , які є її розв’язками. Підставивши ці значення в систему, одержимо т

тотожностей, з яких видно, що останній стовпець матриці ~ є сумою всіх останніх

Розділ 13. Елементи лінійної алгебри

стовщів, взятих разом з коефіцієнтами к , к ,..., кп (лінійною комбінацією стовпців матриці А). Визначник, у якого стовпці лінійно залежні рівний нулю. Отже, ранги матриць співпадають.

Достатність. Нехайранги матриць^ та А співпадають. Це означає, що кіль-кість лінійно незалежних стовпців у цих матрицях однакова. Тому, що матриці відрі-

зняються лише останнім стовпцем матриці A , існують числа A:, к,..., к, такі, що сума стовщів матрщі^ взятих разом з цими числами, рівна стовпцю вільних членів

з системи A ■ Отже числак., к.,...,к єрозв'язкамисистеми.

Теорема доведена.

Відмітимо, шо сумісна система має єдиний розв'язок тоді і тільки тоді, коли ранг матриці А рівний числу невідомих.

Приклад 1. Встановиги сумісність системи:

r5xj - х2 + 2х3 + х4 = 7 < 2хх + х2 + 4х3 - 2х4 = 1 X] - Зх2 - 6х3 + 5х4 = 0

Розв’язання. Ранг матриці,складеної з коефіцієнтів системи рівний 2. Ранг роз-ширеної матриці рівний 3, бо

5-17 2 11 1 -3 0

 -35.

Відповідь: система несумісна.

Приклад 2. Встановити сумісність системи:

7xj +3х2 =2 хх - 2х2 = -3 4xj + 9х2 =11

Розв’язання. Ранг матриці, складеної з коефіцієнтів системи рівний 2, тобто рівний числу коефіцієнтів. Ранг розширеної матрщі 2. Отже, система сумісна і має єдиний розв 'язок.

Відповідь: система сумісна.

Приклад 3. Встановиги сумісність системи:

' хх + х2 - 2х3 - х4 + х5 = 1 < 3xj - х2 + х3 + 4х4 + Зх5 = 4 xj + 5х2 - 9х3 - 8х4 + х5 = 0

Розділ 13. Елементи лінійної алгебри

Розв’язання. Рангматриці, скпаденої з коефіцієнтів системи2. Рангрозширеної матриці 2.

Відповідь: система сумісна.