13.4. Обернена матриця. Ранг матриці.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Мінори певного порядку можна визначити для будь-якої (не лише квадратної) матриці. Матриця може мати багато мінорів, причомудеякі з них можугь дорівню-вати нулю, а інші - ні.

Найвищий порядок мінору матриці, який не дорівнює нулю, називають рангом матриці.

Приклад.

а) Розглянемо матрицю:

A

 

2          0

Матриця не має мінорів третього порядку, але має три мінори другого поряд-ку, які рівні нулю

 

2          0          = 0;      0          -4        = 0;      2          -4

і           U                     U         -6                    і           -6

 0.

Отже, ранг матриці A rang A— 1. b) Розглянемо матрицю:

A

 

З 1

-1 -1

2 3 5

Мінор 3-го порядку цієї матриці, тобто її визначник, рівний нулю:

det^

 

3 0 2                3          0          2                      3 2

1 -13   =          1          -1        3          = -!•    3 2

4-1 5               3          0          2                     

-1-0 = 0

 

Розглянемо мінори 2-го порядку:

м

зз

3 0

1 -1

 3 • (-1) -1 • 0 = -3 .

Бачимо, що існує мінор 2-го порядку, відмінний від нуля. Отже, rang A—2. Очевидно, що ранг матриці не може перевищувати її порядок. Ранги транспонованих матриць співпадають.

Розділ 12.Елементи лінійної алгебри

Можна довести, що ранг матриці рівний максимально можпивому числу її ліній-нонезалежнихстрічок(стовпців). Так, вприведеномунамиприкпаді стрічки 1 -1 3 та 4 -1 5 дають в сумі стрічку 3 0 2 , тобто стрічки матриці лінійно залежні.

Матриця, ранг якої менший за її порядок, називається виродженою матрицею (це матриця, визначник якої рівний нулю).

Для невироджених матриць (а такими можуть бути лише квадратні) вводять понятгя оберненої матриці.

По аналогії з множенням чисел, оберненою для матрщі^ називають матрицю Ал ,якщо

А АЛ=АЛ А=Е.

Для матриці^ оберненою буде матриця:

A&tAj

А-1 =

 

det^

Ап А2І А„ Ао

 

A

In

кАп

 

A

Ап\

nnj

де A.. -алгебраїчні доповнення елементів а. матриціA. Зауваження.

1.         Алгебраїчні доповнення елемешів рядків матриці стоять у відповідних стовп-цях, тобто проведена операція транспонування.

2.         Якщо в ріввянні АА Л=Е виконувати однакові елементарні пфетворення стрі-чок матриць А та Е до того часу, поки матриця А не перетвориться в одиничну то

рівняння прийме вид ЕАЛ= Е , ДеЕ - перетворена одинична матриця.Тому що

ЕАЛ=АЛ, отримаємо А'1— Е, тобто обернена матриця - це перетворена одинична.

Властивості обернених матриць.

{АЛ)Л=А; {АВ)Л=ВЛАЛ;

{АЛУА1:={ААЛУ=Е1:=Е; (А-1У=(АТ)Л;

detA

йеХА л=

Остання властивість легко доводиться. Дійсно, згідно з властивостями визнач-ників відомо, що

Розділ И.Елементи лінійної алгебри

det4 det(^_1) = det E = 1,

ЗВІДКИ

det(^ ) =

det^

Приклад 1. Знайти матрицю, обернену до матриці A:

(2 3 4]

A

17 0

v2 1 3j

Розв'язування.

a) Встановимо, чи матриця А не буце виродженою; для цього обчислимо det A:

A

2 3 4 17 0 2 13

-19.

 

Визначниквідмінний від нупя, томудля матриці^ існуєА1.

Ь) Обчислимо алгебраїчні доповненняА відповідних елементів матриці^:

У

1          1

2 3 2 1

2 3

1 7

Ап

31

A

7          0

1          3

3 4 1 3

3          4

7          0

21, Ап =

-28,^2 =

1          0

2          3

2          4

2          3

2 4

1 0

 _3 > ^із

= 4, Л3з =

-13, = 4, = 11.

с) Запишемо матрицю М, складену з алгебраїчних доповнень елементів мат-риці^:

М

 

21 -3 -\І\ -5 - 2 4

. 28 4 11і

d) Запишемо обернену матрицю Ал, транспонувавши матрицю М:

Розділ 13. Елементи лінійної алгебри

A-x =

M =

1 19

21 -5 -28л -3 -2 4 v-13 4 11

що або що

Дійсно,

е) Необхідно перевірити правильність виконання операцій, тобто перевірити,

ААЛ = Е, det4 detA1 — 1.

det^ ' =

21 5

19

4

19 3

13

Ї9

_^

~Ї9

 

19 19 19

           

(-19)3

21 -5 -28 -3 -2 4 -13 4 11

           

(-19)3

■361 =

1 19

det^det^ =—19-(        ) = 1Отже, обернена матриця знайдена правильно. Приклад 2. Знайти обернену матрицю для матриці A:

A

1 2 3 4

Розв’язування. Запишемо паралельно матриці АтаЕта виконуватимемо над ними однакові елементарні перетворення, спрямовані на перетворення матриці А в одиничну:

A         Е

1 2 3 4

1 0 0 1

;

- домножимо перший рядок матриць А та Е на три та віднімемо від другого рядка відповідної матриці:

1 0 - 3 1

;

 

Роздіп 13. Елементи лінійної алгебри

 додамо другі рядки матриць АтаЕз першими:

 

1 0

0 -2

 2         1

 3         1

 

 домножимо другі рядки на

2

 

\ 0 0 1

2 1

В результаті наведених вище перетворень з одиничної матриці Е ми отримали матрицю, обернену до матриці A:

A

2 1

Перевіримо правильність знаходження оберненої матриці, обчисливши її згід-но схеми, приведеної в прикпаді 1:

-          обчислимо визначник матриціA, det4 — 4 - 6 — - 2;

-          обчислимо алгебраїчні доповнення елементів матриці^:

A —4 , A —- 3, A —- 2, А22 =\;

-          складемо матрщю М, складену з алгебраїчних доповнень та транспонуємо її:

М

4 —

-2 1

М =

4 —1 - 3 1

 запишемо обернену матрицю для матриці A:

А-Х

AstA

■ М

4 -2 -3 1

2

1

Як бачимо, матриці співпадають.

Розділ 13. Елементи лінійної алгебри