13.3. Визначники, їх властивості та способи обчислення.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Для довільної квадратної матриці порядку п можна встановити конкретну числовухарактфистику яканосить назвувизначника (детермінанта) матриці.

Визначник матриці позначають: - вертикальнимирискам;

Розділ 13. Елементи лінійної алгебри

-          грецькою буквою д;

-          виразом det A. Приклад.

Д = det A

11        12 ...    \п

21        22 '" 2п

 

п\         п2

пп

В залежності від розміру матриці (декопи кажугь порядку матриці) визначники називають визначниками деякого порядку.

Якщо порядок матриці п — 1 , то її визначником буде сам елемент матриці, тобто для A — (a) визначник A — a

Якщо порядок матриці п—2, тобто матриця має вигляд:

A

11 12 21 22

то визначником другого порядку, який відповідає такій матриці назвемо число, рівне

11 22

Тобто визначик матриці А матимевигляд:

2І 12

 

Д

ацауі

*21 22

 "ц 22 2112 .

Для обчислення визначників матриць більш високих порядків необхідно ввес-ти поняття мінора.

Мінором М.. - довільного елементу а. матриці и-го порядку називають визнач-ник п-1 порядку, який отримуємо після викреслення і-ої стрічки тау-ого стовпця.

Приклад. Мінорами матриці^

 

11 "12  13

 

A

 

21        22        23

V 31    32        33)

буцуть наступні визначники:

для елементу а

 

22 23

 

L1

аі2 О

.і21 «я22 а23

 

a

*ззу

 

Розділ 13. Елементи лінійної алгебри

для елементу a

J

М, =

 

п 13

a a

 

п

V зі

^22 «23

 

для елементуа,,

М =

«21 «23

 

a

Чі Чі2 аи)

«21 «

21 «22

V 31    32        33 у

Мінор, взятий разом зі знаком носить назву алгебраїчного доповнення А-.

елементу а..

Знаки алгебраїчних доповнень чергуються згідно схеми:

+ -+... - + - ... + - + ...

 

в залежності від розтащування елементу a..

Визначник матриці и-ого порядку рівний сумі добутків елементів однієї стрічкичи стовпця наїх алгебраїчнідоповнення.

Запис визначника и-ого порядку через його алгебраїчні доповнення и-1-го порядку тіш&ають розкладом no і-ій сгпрічці чи j-му сгповпцю.

Наприклад, визначник и-го порядку записаний через розклад по елементах пфшоїстрічки матимевигляд:

п

detA = ^AjCi^j . j-\

Приклад.Розкласти no першой стрічці визначник 3-го порядку:

11 12 13 21 22 23 31 32 33

= a

22 23 32 33

21 23 31 33

21 22 31 32

Бачимо, що визначник 3-го порядку розклався на визначники 2-го порядку, які можна обчислити по введеному раніше правилу.

Розділ 13. Елементи лінійної алгебри

Для визначників 3-го порядку можна використати мнемонічне правило, яке значно спрощує процес обчислення. Дійсно, дописавши два перших стовпчики та пфемноживши діагональні елементи (див. приклад) з відповідними знаками, отри-маємо вираз, який співпадає з виразом отриманим при розкладі по мінорах:

ачача

Д

 

іЛ'у-і ІЛЛ'у iA'j'j

fell ^32

■Н

=а a a +а a a +а a a — a a a — a a a — a a a При обчисленні визначників більш високих порядків поступово розкладають

мінори аж до визначників 2-го порядку.

Очевидно, що при обчисленні визначників більш високих порядків найзручні-

ше розкладати по мінорах тієї стрічки (стовгщя), в якій найбільше нупьових елементів

(добугок дорівнюватиме нупю).

Для досягнення такого результату використовуЕоть властивості визначників.

Властивості визначників:

1)         det А=йЛ Ат, тобто визначник не змінюється при транспонуванні матриці;

2)         якщо одна стрічка визначника складається лише з нупів, то визначник рівний иупю (те ж саме відноситься до стовпця);

3)         при перестановці двох стрічок (стовпців) місцями визначник змінює знак;

4)         визначник, що містить дві однакові стрічки (стовпці) рівний нупю;

5)         якщо всі елементи деякої стрічки визначника помножиги на довільне число к то сам визначник помножиться на це ж число;

наслідок: спільний множник всіх елементів стрічки або стовпця можна винес-ти за знак визначника;

6)         визначник, який містить дві пропорційні стрічки (стовгщі) рівний нупю;

7)         якщо до елементів однієї стрічки (стовпця) додати елементи ішпої (можливо домножені на деякий коефіцієнт), то визначник не зміниться;

8)         визначник трикугної матриці рівний добугку елементів, які розміщені на го-ловнійдіагоналі матрщі;

9)         визначник добугку матрщь рівний добугку визначників матриць

det(^5) — det4det5.

Приклад 1. Обчислити визначник:

Розділ 13. Елементи лінійної алгебри

Д

4          99        83        1

0          8          16        0

60        17        34        20

15        43        66        5

Розв'язування.

Віднімаючи від першого стовпчика потроєний останній стовпець одержимо:

Д

1          99        83        1

0          8          16        0

0          17        134      20

0          43        106      5

Далі визначник розкладемо по першому стовпчику:

8 16 0 Д = 1 - 17 134 20 43 106 5

Тепер можна використати приведене мнемонічне правило для обчислення ви-значника 3-го порядку. Можна також продовжити використовувати властивості ви-значників для подальшого спрощення виразу. Так, віднімемо від 2-го стовпчика по-двоєний 1-ий стовпець, одержимо:

Д

8 0 0 17 100 20 43 20 5

Розклавши визначник по першій стрічці матимемо:

Д = 8 ■

100 20

20 5

 8 • (500 - 400) = 800 .

Приклад 2. Обчислити визначник:

10 2-1

Д

3 10-2 1-10 0 3 2 1

Розділ 13. Елементи лінійної алгебри

Розв'язування.

Зведемо елемети 3-ої стрічки до нулів, залишивши лище один ненульовий еле-мент в другому стовпці. Для цього:

- другий стовпець помножимо на 2 і віднімемо від першого

Д

10 2-1 110-1 0 1-10 -6 3 2 1

;

 другий стовпець додамо до третього

Д

1 0 2-1 1 11-1 0 10 0 -6351

Тепер легко розкласти по 3-ій стрічці:

12-1 • 1 1 -1 . -6 5 1

Можна продовжити використовувати властивості визначників для спрощення виразу:

Д = 1-

12 1 0 10 115 6

= 1-1-

1 1 11 6

6 -11 = -5,

або використати мнемонічне правило.

Можливі й інші варіанти приведення визначника до зручного для обчислення вигляду.

Приклад 3. Обчислити визначник матриці АВ, якщо

A

2 1 5 -1

В

1 4

3 8

Розв'язування.

Обчислимо визначники матрщь А та В:

Розділ 13. Елементи лінійної алгебри

6et A = -2 - 5 = -7, detB = 8 -12 = —4, отже, згідно з властивостями визначників

det(^5) — -7 (-4) = 28.