13.2. Дії над матрицями


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Над матрицями можна виконувати певні дії, які, по аналогії з числами, назива-ють додаванням, відніманням, множенням. Існують також дії, які визначені лише для матриць. Введемо правила виконання дій над матрицями.

1.         Матриці вважають рівними, якщо вони одного й того ж типу, тобто мають однакоку кількість стрічок та стовщів, і відповідні елементи рівні, тобто матрщі А— (а), В= (Ь.) рівні (А=В),якщоа..—Ь..

2.         Сумою двох матриць^ —(я.) та В—{Ь.) однаковоготипуназиваютьматрицю С={с.) тогож типу, елементиякої рівні сумам відповідих елементів матриць А таВ,

тобто с = а +Ь..

ij ij ij

Властивості діїдодавання матриць:

А+(В+С)=(А+В)+С; А+В=В+А; А+0=А. Приюіад.

а) Знайти суму матриць А та В. Нехай

A

12 2 7 -3 4 0

В

-4 1 6 15 8 10

Тоді

Розділ ІЗ.Елементи лінійної алгебри

8 3 12 12

A + B

 

2 7

A

 

12-4 2 + 1 7 + 6 v — 3 +15 4 + 8 0 + 10 b) Записати матрицю A як суму матриць: '2 + 3 4 1 | [ 2 4 1 | [ 3 0 0

 

7 + 5 9 2

5 0 0

7 9 2 3. Аналогічно визначають різницю матриць:

l'an-bnan-bn....aXn-bXn

«21-^21 «22 ~Ь22-а2п ~Ь2п

A- В

13 10

(3

 

ат\ "ml ап

' тп тп J

4. Добутком матриці А=(а) на число к, (або добугком числа на матрицю) називають матрицю, елементи якої одержані множенням елементів матриці А на число к:

кА = Ак

 

І\,КЛ

кап ка13 ка 21 ка 22 ка23 ка31 ка32 ка33

Властивості дії множення матриці на число: \А=А; 0А=0;

с(рА)=(ср)А; (с +р)А =сА +рА;

с (A +В)=сА +сВ. 4. Матриця (-1)А—-А називається протилежноюдляА.

(Якщо матриці відрізняються лише знаками своіх елементів, то їх називають протилежними). Приклад.

A

( 2 3 4 -5 0 1

(-1) • A = -A

 

0 -1

( -2 -3 -4)

3

5 1-1°

 

Розділ ІЗ.Елементи лінійної алгебри

5. Множення матриць

Якщо кількість стовпців матриці А(кхп) рівна числу стрічок матриці В(пх р),

то для них визначена матриця С(кх р ), якуназивають їх добугком.

Елементи матриці Сзнаходять за наступним правилом: елемент с. рівний сумі попарних добутків елементів і-ої стрічки матриціЛ та /-ого стовпця матриціВ.

Приклад. Знайти добугок матриць А та В, якщо

A

1112

\a2\a22j

IJ

 

Розв’язування.Згідно з приведеним правилом, щоб знайти с елементи пер-шого рядка матриці А почленно множимо на елементи першого стовпчика мат-риці В; с - елементи першого рядка матриці А на елементи другого стовпця матриці В: с., - елементи другого рядка матриці А на елементи першого стовпця матриці В; с22 - елементи другого рядка матриці А на елементи другого стовпця матриці В. Одержимо:

С = АВ

11 11 12 21     11 12 12 22

21^1 22 21      21^2 22 22

 

12

V 21 22 )

Властивості дії множення матриць:

А{ВС)={АВ)С; К(АВ)=(КА)В; (А +В)С=АС+ВС; С(А +В)=СА+СВ.

УВАГА! АВ^ВА.

Якщо АВ — ВА, то матриці називають комутативними. Одинична матриця Е комугативназ будь-якоюішпою,тобто АЕ— ЕА — Аіграєрольодиниціпримноженні. Приклад. а) Знайти добуток матриць АВ та ВА якщо:

A

1 2 3 4

В

5 6 7 8

 

АВ

1-5 + 2-7 1-6 + 2-8 3-5 + 4-7 3-6 + 4-8

19 22 43 50

 

Розділ ІЗ.Елементи лінійної алгебри

 

BA

5-1 + 6-3 5-2 + 6-4 7-1 + 8-3 7-2 + 8-4

 

23 34

31 46

Як бачимо, АВ ^ ВА.

Ь) Перевірити, чи існують добугки^5 таВА, якщо

 

                                                                      

м         ?.         З^                              

                                   ,в =      ■).       1          3

4          5          ь                                            

                                   V4       3          V

Розв'язування. Кількість стовпців матрикі^ співпадаєз кількістю стрічокмат-риці В, отже можна знайти добугок матриць^5:

АВ

'і 2 3 4 5 6

'3 2 1л 2 13 4 3 0

'1-3 + 2-2 + 3-4 1-2 + 2-1 + 3-3 l-l + 2-З + З-О^і v5-3 + 4-2 + 6-4 5-3 + 4-1 + 6-3 5-1 + 4-3 + 6-0^

19 13 7 67 32 17

Знайти добугок матриць ВА неможливо, бо кількість стовпців матриці В не співпадає з кількістю стрічок матриці А.

б.Транспонування матриць.

Якщов матриціА={а..) типу тхп замінитистрічкистовпцями, тоодержимо такзванутранспоновануматрицю^гтипу тхп.

Приклад.

А-

(2 45 13 5), А1

13

v5 ,

; В

(\ 2 3^ 4 5 6

в

25 ,36у

Властивостідіїтранспонування матриць:

-          двічі транспонована матриця рівна початковій

АТТ= (Аг)т= А;

-          транспонована матриця суми рівна сумі транспонованих матриць доданків

(А+В)т= Ат + Вт;

Розділ ІЗ.Елементи лінійної алгебри

-          транспонована матриця добугку рівна добугку транспонованих матриць

співмножників, взятому в оберненому порядку

(АВ)Т=ВТАТ. 7. Матриця називається симетричною, якщо вона співпадає із своєю транспонованою матрицею, тобто якщо Ат = А. Очевидно, що:

-          симетрична матриця обов ’язково квадратна;

-          елементи, симетричні відносно основної діагоналі рівні;

-          добуток ААТ є симетричною матрицею. Приклад.

A

v

12 3 4 5 6

A

25 ,36,

4 ЛІ

АА

V

32 77

8. Дві матриці називають еквівалентними, якщо одна отримана з ішпої з допо-могою елементарних перетворень.

Елементарними перетвореннями матриць називають наступні операції:

a)         перестановка двох рядків або стовщів матриці;

b)         домноження всіх елементів будь-якої стрічки (стовпця) на одне і те ж число, відмінне від нуля;

c)         додавання до елеменгів будь-якої стрічки (стовпця) відповідних елемешів ішпої стрічки (стовпця), домножених на одне йте ж число.

Приклад. Розглянемо матриці:

A

2          -3

0 -1

3          2

5 4

В

2 3

-1

-3

5 1 4

С

 

2 0 3

-3

-1

1

25 4

D

2 0 7

-3 -1 -4

4

МатриціД В, С, D еквівалентні, бо: матриця5одфжаназ матрщі^ пфестанов-кою пфшого та другого рядків; матриця С одежана з матриці А домноженням всіх елемешів другого рядка на число 5; матриця D одфжана з матрщі А заміною третього рядка сумою подвоєних елементів першого рядка з елеменгами третього.