Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7
12.7. Закон великих чисел. : Вища математика : Бібліотека для студентів

12.7. Закон великих чисел.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Припустимо, що відбувається п спостережень випадкової величини. Позначи-мо можливі значення випадкової величини, які вона приймає в спостереженнях (су-ісугшістьрезупьтатів спостотежень назвемо випадковою вибіркою), через х„ х,...х , де індекси означають номери спостережень.

Середня арифметична можливих результатів п спостережень

- Хл +Х2 +... + Х

х =      

п

називатиметься середньою вибірковою.

Розділ 12. Елементи теорії ймовірності

Коли випадкова величина набуває тільки невід'ємне значення, математичне очікування, в певній мірі, характеризує її закон розподілу. Більшість величин з якими доводиться працювати в дійсності, є невід'ємними.

Виникає пигання, чи можна оціниги ймовірність відхилення додатньої випадко-вої величини від її математичного очікування.

Розглянемо приклад: Сфедня тривалість розмови по телефону на одній із АТС

заданимирядуспостереженьвиявленарівною t =100 сек. Чи можна отримати будь-яку інформацію про те, що серед розмов на цій АТС будуть мати місце розмови з тривалістю х, яка перевищує середню тривалість в к — 6 або більше разів. Максима-льно можлива частота розмови Р з тривалістю х — R =600 сек і більше при середній

г          max г   г          г

тривалості в 100 с ек мала місце в тому випадку якщо б одні розмови були довжиною тільки 600 сек, а інші тільки - 0 сек. Тому в цьому випадку Р можна визначити з

?          J          J          J max

співвідношення:

600-P + 0П-Р ) = 100сек.

max      v          max

або в загальному випадку

kP +0(1- P ) = t.

Знаходимо P :

max      max

100 _ 1

P — — = —

або в загальному випадку:

max gQQ         g

n          t           \

P          = —= = —

max ,    )

Kt ft

Таким чином, максимально можлива частота Р розмов з тривалістю, яка в 6

?          maxг    г          ?

разів перевищує сотедню тривалість рівна 1/6. Це означає, що частка Р буце тільки рівна або мешпа 1/6 (але не більша)

Р(х> 6-100) < 1/6 . В загальному вигляді:

Р\х > кх < —

V         У Jfc"

Останню нфівність називають нерівністю Чебишева.

Застосуємо нфівність Чебишева до квадрату відхилення середньої вибіркової:

- = х1+х2+... + хп

п від її математичного очікування М{Х). Отримаємо, що

Розділ 12. Елементи теорії ймовірності

p

M(X)

>є)<

D(X)

де є1 = к

D(X)

п

Яка б не була мала стала величина є, ймовірність того, що різниця між вибірко-вою середньою х і її математичним очікуванням М(Х) за абсолютною величиною перевищить є, буде прямувати до 0 при и—»со. Дана нерівність носить назву закону великихчисел.

Розглянемо приклад застосування нерівності Чебишева.

Нехай ймовірність того, що на АТС відбулась телефонна розмова рівна р, a якщо ця телефонна розмова не відбулась, то 1 -р.

Запишемо значення випадкової величини: 1- розмова відбулась, 0 - розмова не відбулась.

Складемо закон розподілу для нашої випадкової величини:

 

Хі        1          0

ймовірність випад-кової величини pi        Р          \-р

Запишемо математичне очікування:

п

М(Х) = V ріхі = 1 ■ р + 0(1 - р) = р .

(-1

Знайдемо дисперсію, використовуючи формулу D(X) — М{Х - М(Х))2. Запишемо значення (X - М(Х))2.

 

хі         1          0

X - М(Х)         1 — р  0 — р

Обчислимо диспфсію:

D(X) — (1-р)2-р +р\\-р) — (1-р)р (1-р) +р =р (1-р) ■

Якщо врахувати, що ймовірністьтого, щорозмова відбулась/» — 0,5; то \-р =0,5, тоді дисперсія£>(А') — 0,5(1 - 0,5) — 0,25.

Врахуємо, що при достатньо великій кількості телефонних розмов на АТС сере-дня вибіркова запишеться як

X

т

П

де п - число всіх спостережень за розмовами, т - число спостережень, де розмова відбулась.

Розділ 12. Елементи теорії ймовірності

>-г-     — m    , r. .

п D(X) = 0,25 в нфівність Чебишева

Підставимо значення x = —, математичного очікування М(х) = р; дисперсія

Р

М(Х)

>є)<

пє2

отримаємо

 

т п

Р

0,25

Р

4пє2

Цей вираз означає, що яка б не бупа мала постійна є, ймовірність р того, що

т різниця між середньою вибірковою — і ймовірністю р перевищить є, робиться

п

близькою до нупя при достатньому числі спостережень п.