12.6. Дискретна випадкова величина, та її основні характеристики.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Випадковою величиною називають зміннуД яка в результаті випробування може прийняти одне і лише одне значення, не відоме раніше і таке, що залежить від наслідку випробування. Можна пояснити, що величина буде випадковою, якщо вона приймає в даному випробуванні різні значення.

Розділ 12. Елементи теорії ймовірності

Випадкові величини поділяються на дискретні та неперервні. Мирозглядатиме-мо дискретні випадкові величини.

ВеличинуХназиваємо дискретною випадковою величиною, якщо множина її можливих значень є скінченою або нескінченною послідовністю чиселх , хт...х ..., де кожне співвідношення X — х. є елементарною випадковою подією і має визначену ймовірністьР=р .

Оскільки, кожне значення дискретної випадкової величини має визначену ймо-вірність, то дані спостережень зручнозаноситиутаблицю: (табл. 1.)

табл 1.

Значення випадкової           X]        х2                                хп

величини X                                     

Имовірність цього     Р\         Рі                                Рп

значення Р                                       

Дана таблиця носить назвутаблиці закону розподілу дискретної випадкової

величини. Закон розподілу можна задати також у вигляді рівняння або графічно.

Отже, законом розподілу дискретної випадкової величиниХназивають співвід-ношення між можливими значеннями х. та їх ймовірністю/».

Якщо випадкова величинаXможе набувати скінчене число різних значень х „ х „ ...х , то елементарні події X— х„ X— х...... X— х утворюють повну групу і тому сума їх

ймовірностей дорівнює одинщі, тобто

Р1+Р2+Рз+---+Р„^ ■ Важливою характеристикою дискретної випадкової величини X є математичне

очікування.

Математичним очікуванням М(Х) дискретної випадкової величини Хназива-

ють суму добугків всіх її можливих значень х. на їх ймовірності р:.

М(Х) = p-X+p-X+...+Р -Х=/ PjX:

(-1

Властивості математичного очікування.

-          Математичне очікування постійної величини дорівнює самій постійній

М(С) — с.

-          Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі матема-

тичних очікувань доданків:

M(X+Y) — M(X)+M(Y).

-          Математичне очікування добутку незалежних випадкових подій дорівнює

добутку математичних очікувань цих величин:

M(X-Y)=M(X)-M(Y).

-          постійний множник можна виносити за знак математичного очікування:

М{СХ)= СМІХ).

Розділ 12. Елементи теорії ймовірності

Приклад: Знайти математичне очікування величини X і Y, якщо відомі закони їх розподілу

 

X         -8        - 4       -1        1          3          7

р          1          1          1          1          1          1

 

            12        6          4          6          12        4

 

У         -2        - 1       0          1          2          3

Р          1          1          1          1          0          1

 

            6          6          12        3         

            4

Розв'язання: Знайдемо математичні очікування:

/ч 8 4 113 7 7

М[Х )=            1          1          1— = —

12 6 4 6 12 4 12

M\Y)

 

2 113 7

+0+—+0+—=—

6 6       3          4 12

Ми отримали цікавий резупьтат: закони розподілу величини X і Y різні, а їх математичні очікування однакові.

3 рисунку 1 видно, що значення величини Гзосереджено біля математичного очікування M(Y) (рис. 16), а значення

-8

-4

-1 0

М(Х) рис. 1а

7 х

 

-2 -1 0

1 2 3

M(Y) рис. 16

рис. 1 величини Хрозкидано (розсіяно) далі від математичного очікування М(Х) (рис. 1 а).

Розділ 12. Елементи теорії ймовірності

Основною числовою характеристикою розсіяння можливих значень випадко-вої величини Хе дисперсія D(X), яка визначається за формулою:

D(X) — МІХ- М(Х))2.

Величину a = JD(X) називають середнім квадратичним відхиленням ви-

падкової величиниХ

Властивості дисперсії:

-          Дисперсія постійної величини, очевидно, дорівнює нулю: £>(Q=0.

-          Сталий множник можна виносити за знак дисперсії, піднявши його до квад-рату:

D{CX)=M{CX - M{CX))2 = M{CX - СМ{Х))2 = С1М{Х-М{Х))2 = C1D{X).

-          Дисперсія дорівнює математичному очікуванню квадрата випадкової вели-

чини мінус квадрат її математичного очікування:

ЩХ)— M(X-M(X))2^M(X-2M(X)X+A^(X))^M(X2)-2M(X)-M(X)+Af(X)^ M(X2)-Af(X).

-          Якщо до всіх значень випадкової величини додати (відняти) постійне число,

то дисперсія її не зміниться:

D{X±A) = D{X) .

Приклад 20. Дискретна випадкова величина розподілена за законом:

 

X         -1        0          1          2

р          0,2       0,1       0,3       0,4

ЗшйшО(Х).

Розв’язання: Спочатку знайдемо:

М{Х) = -\-0,2 + 0 + 1-0,3 + 2-0,8 = 0,9, адалі

М{Х) — (-1)2-0,2 + 0 + (1)2-0,3 + (2)2-0,4 = 2,1. Знайдемо дисперсію:

D(X) — А^Х2 ) - Af(X) — 2,1 — 0,81 = 1,29.