12.3. Дії над подіями та їх ймовірностями.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Більш складні випадкові події можна представити, як набір декількох більш про-стих. Наприклад, випадіння парного числа очок на гральній кості (подія А) може бути представлено,якнабірподій^і; А ,А , де А. - випадання двох очок; А. - випадання чотирьох очок; А3 - випадання шести очок. Для представлення складної події через більш прості вводять поняття додавання та множення подій.

Сумою (об'єднанням) двох подій^ ІВ називають подію С, яка полягає в здійс-нені хоча б однієї із подій^ або5 (рис. 1). Символічний запис:

С — A +В або С — AKJB.

Добутком (перетином) двох подій^ і В називають подію С, яка полягає в одно-часному здійснені і події^, і події5 (рис. 2). Символічний запис:

С — А-В, або С — АпВ.

Розділ 12. Елементи теорії ймоеірності

 

Рис. 1  рис. 2

Приклад 10. Знайти суму подій: A - "поява одного очка при киданні гральної кості” і В - "поява двох очок при киданні гральної кості".

Розв’язання. Сумою А+В є подія С- "поява не більше двох очок при киданні гральної кості”, тому А+В=С.

Приклад 11. Знайти добуток подій A - "студент на екзамені витягує білет з парним номером” і В - "студент витягає білет з номером, який кратний п'яти".

Розв’язання. Добутком А-В є подія С- "студент витягнув білет з номером, який кратний десяти", тому^4-і?=С.

Введені дії мають наступні властивості:

1. А+В =В+А ;           2. (А+В)+С = А+(В+С) ;

3. А-В = ВА;  4. А(В-С) = (А-В) С;

5. А(В+С) =А-В+А-С; 6.A+A=U ;

1. A- A —V\

де А -подіяпротилежнаподії^4,

U— вірогідна подія,

V— неможлива подія. Ймовірності добутку й суми подій встановлюють за допомогою відповідних теорем.

Теорема додавання ймовірностей несуміснихподій.

Р(А+В) = Р(А)+Р(В). Ймовірність появи однієї із кількох попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Розділ 12. Елементи теорії ймовірності

Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.

Р{А+В) — Р{А) +Р{В) -Р(АВ).

Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірно-стей цих подій без ймовірності їх сумісної появи.

Перед тим, як сформулювати теореми множення, введемо поняття умовної ймовірності події, та незалежних подій.

Умовною ймовірністю події А при умові В називають ймовірність настання подїіА, обчисленув припущенні, щоподія5уже відбулася і позначають PJA) абоР (А/В).

Події^, В,С,... називають незалежними в сукупності, якщо ймовірність кожної з них не змінюється в зв'язку із настанням, або ненастанням інших подій.

Теорема множення ймовірностей незалежних подій.

Р(АВ) — Р(А)-Р(В) Ймовірність сумісної появи двох незалежних подій дорівнює добугку ймовір-ностей цих подій.

Теорема множення ймовірностей залежних подій.

Р(АВ) — Р(А)-Р(В) — P(B)-PJA) Ймовірність сумісної появи двох залежних подій дорівнює добутку ОДНІЄЇ 3 них на умовну ймовірність другої.

Приклад 12. В ящику лежать 20 деталей, причому 5 з них стандартні. Робітник бфе 3 деталі. Знайти ймовірність того, що хоча б одна з них стандартна (подія^).

Розв’язання: Нехай В - подія, яка полягає в тому що одна взята деталь станда-ртна, а дві - нестандартні; С- подія, яка полягає в тому що дві взяті деталі стандартні, а одна - нестандартна; D - подія, яка полягає в тому що всі три взяті деталі стан-дартні.

Очевидно, що подія^ відбудеться, якщо відбудеться хоча б одна з подій В, C,D.

Отже, подію^можназаписатияксумиподій5, C, D: A=B+C+D.I\oj\\\B, C, D -несумісні, отже

12        2 1       3

Р(А) = P(B)+P(C)+P(D) = 5 15 н—5 15 н—|- = — + — +

С         С         Ci 76 38 114 228

С<Сі< C<Ci< Cs 35 5 1 137

20        c20      c20

Данузадачуможнарозв'язатипростіше,якщоввестиподію A -жодназвзя-тих трьох деталей не буде стандартною. Тоді

Р(А) = 1 -Р( A ) ,

а знайшовши ймовірність події A

Розділ 12. Елементи теорії ймоеірності

Р\А]

C 91

Cf0 228

обчислимо

n/ A ! 91 137

r(A) =1            =          .

228 228

Приклад 13. Знайти ймовірність того, що навмання вибране двоцифрове число буде кратним або 3, або 5, або обом зразу.

Розв’язання: Нехай A - подія, яка полягає в тому, що вибране число кратне 3, a В - в тому, що вибране число кратне 5. Рнайдемо Р(А+В). Оскільки^, В - сумісні події, то

Р{А+В)= Р(А)+Р(В)-Р(АВ) .

Обчислимо: Р(^)=30/90 (серед чисел від 10 до 99 саме 30 кратні 3), Р(5)=18/90 (чисел кратних 5 серед двоцифрових 18), Р(АВ)=6/90 (числа 15, 30, 45, 60, 90, 75 кратні і 3 і 5), отже

30 18 6 7 Р(А +В) — — + — - — = — . 90 90 90 15

Приклад 14. В ящику 12 деталей, серед них 8 бракованих. Робітник бере за один раз 2 деталі, а потім за другий раз ще 2 деталі. Яка ймовірність, що взяті деталі стан-дартні?

Розв’язання: Нехай подія A - полягає в тому, що першийраз взяті деталі стан-дартні; подія В- полягає в тому, що за другий раз взяті деталі стандартні.

Тому що^, В- залежні події, то

 —      

2          2

 <-- 56

Р(АВ) — Р(А)РА (В)

Приклад 15. В одній урні 5 білих і 3 чорних куль, a у другій - 6 білих і 4 чорні кулі. Яка ймовірність, що з обох урн візьмуть чорну кулю?

Розв’язання: Нехай A - подія, яка полягає в тому що чорну кулю взяли з першої урни; В - чорну кулю взяли з другої урни; Тому що події^, В - незалежні, то

3 4 3 Р(АВ)=Р(А)-Р(В)= — -— = — . 8 10 20

Розділ 12. Елементи теорії ймоеірності