Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7
РОЗДІЛ 11. ГІПЕРБОЛІЧНІ ФУНКЦІЇ 11.1. Основні поняття. : Вища математика : Бібліотека для студентів

РОЗДІЛ 11. ГІПЕРБОЛІЧНІ ФУНКЦІЇ 11.1. Основні поняття.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Розглянемо одиничне коло з центром в початку координат, рівняння якого має вигляд: х2 +у2 = 1.

A (х, у)

X

Рис. 1.

Y A

Згідно з означенням, синусом куга а називають ординату у точки А(х,у) одиничного кола, а косинусом - абсцису х цієї ж точки (рис. 1)

у = since, x = cosa. Доведемо, що площа сектора АОВ дорівнює числовому значенню кута AOD, взятомув радіанах.

Дійсно, якщо R= 1, а кут сектора АОВ -<р = 2а,то

S          £>2

,-,        круга   71J\ _  о

SceKm =^^ • (р =       2а = R a = a

360°    2я"

Отже, в тригонометричних функціях за аргумент можна приймати не лише куг, а й площу відповідного сектора.

Розглянемо тепер рівнобічну гіперболу з асимптотами у — ± х, рівняння якої має вигляд

х2 -у2 = 1, або>>= + V^ — 1

к У

Рис. 2

Повторимо попередні міркування:

-          виберемо на гіперболі т. A (х, у) ;

-          знайдемо т. В (х, -у) ;

-          проведеморадіуси ОА і OB (ZAOB — <р) .

Утворену фігуру OANB називають гіперболічним сектором (сектором ф), абсцису точки A - гіперболічним косинусом ; ординату точки A - гіперболічним синусом.

Візьмемо за аргумент площу гіперболічного сектора (р. Отримаємо:

sh^ = x, ch<p = y . Знайдемо площу гіперболічного сектора, як різницю площ трикутника АОВ і криволінійної трапеції ANB.

Тому що фігура симетрична, матимемо

АОВ    АОМ'

ANB    ANM

Обчислимо:

SA

АОМ

           

ху;

 

X

х1 -1

ANM

 

\f(x)dx= \ух2 -ldx= хліх2 -1 - \г

1          1          1 lV.

ху х -1

х_ХГх2-1        ХС dx

1 J 1 \

х1 -1

і V

Іх2 -1

dx

 

Розділ 11. Гіперболічні функції

х

1 J

c-y.

XV x -1

 

J/ 2      I 7        I

Vx -lax - \

ox

x2-l

 

x1 -1

 

:\

xx x -1

1-/

4M/V

 

dx

3BW;H2S = WX -1

/x2-l

Vx2-1 , - f 1 J \

 

cV

Wxz-1

X

ln(x + Vx -1)

X

= x\/x2 -1 - ln(x + Vx -1)

Згадавши, що^ = Jx2 _ i на (0; +oo) запишемо

xj ln(x + y)

S          =         

ANM   j

Отже, площа гіперболічного сектора

або

1          , ху 1п(х+ у)    , ,

^? = 2(— ху - (           )) = 1п(х + у)

2          2          2

^> = \n(ch(p + shcp)

ch(p + sh(p = e9

3 рівняння рівнобічної гіперболи отримаємо

х2 -у2 = 1;

chV-shV = l;

(clip-shp) (clip+ sh<z>) = l,

1          1

"V9

 

Таким чином

chp + shp = ep, chp-shp = e_p,

 

Розділ 11. Гіперболічні функції

або, розвязавши систему

~7^

e^+e^

е

sh<p =

;

ch<p =

2

Аналогічно як в тригонометрії вводять поняття тангенса і котангенса shcp е9-е9 , сім? е" + е"р