Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_9590e07b700396380e48f359c779f143, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
10.8.Вправи. : Вища математика : Бібліотека для студентів

10.8.Вправи.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

1.         Дати означення числового ряду.

2.         Що називається частковою сумою ряду?

3.         Які ряди називаються збіжними?

4.         Що називають сумою збіжного ряду?

5.         Які ряди називають розбіжними?

6.         Чи має суму розбіжний ряд?

7.         Чи може збігатися ряд, якщо Нт ап Ф 0 ?

п—юо

8.         Чи можна стверджувати, щоряд збігається, якщо Нт ап = 0 ?

п—юо

9.         Чи можнарозв'язати питання про збіжність ряду не користуючись необхід-

ною ознакою збіжності?

10.       Які ознаки збіжності числових рядів з додатніми членами базуються на порі-внянні рядів?

11.       Сформулюйте ознаку Даламбера.

12.       Сформулюйте ознаку Коші.

13.       Якийряд називається знакозмінним?

14.       Сформулюйте ознаку Лейбніца.

15.       Який ряд називається абсолютно збіжним?

16.       Який ряд називається умовно збіжним?

17.       Який ряд є геометричною прогресією?

18.       Який ряд називається гармонічним?

19.       Який ряд називається функціональним?

20.       Як знайти область збіжності функціонального ряду?

21.       Який ряд називається степеневим?

22.       Що називають інтервалом збіжності степеневого ряду?

23.       Як знайти інтервал збіжності степеневого ряду?

24.       Який вигляд має ряд Маклорена?

25.       За допомогою яких формул обчислюють коефіцієнти ряду Маклорена?

26.       Запишіть ряд Маклорена для функцій: е*, sinx, cosx,        , ln(l +х), (1 +х)т.

1-х

27.       Який вигляд має гармонічна функція?

28.       Що називають рядом Фур'є?

29.       Запишіть формули для обчислення коефіцієнтів ряду Фур'є для функції з періодом2я:

30.       Запишіть формули для обчислення коефіцієнтів ряду Фур'є для парної та непарної функцій.

Розділ 10. Ряди

31. Записати перші п'ять членів ряду по заданому загальному члену

п

а) ап

4и +1

б) ап

п\

в)« =

2и + 1

г) ап

п

(и + 1)2и

 

32. Знайти формулу загального члену ряду

1111

а) 2 + 4 + 8 + 16 + ...;            б) — + 7 + 7 + 7 + -" \

7 8 9 10

1111

В) — Н           1          1          1"... ;

3 6 12 24

 

111      2 4 6 8

Г) ІН   1          1          К..;      д) — Н            1          1          Ь...;

3 9 27  1 4 9 16

2          3 4

е) ІН    1          1          К.. ;

3          5 7

1 16 81 256

Є) ~л   1          1          !"•••.

3 9 27 81

33. Довести, що данийряд розбіжний а) /

П+1

Зи-1

б)ІГ

П-\

п

Дослідити на збіжність ряд за допомогою ознаки Даламбера:

3 3

з          3„

34. 1 + - +

н          + ...н   + ....

1 1-2 1-2-3     п\

13        5

35. Тг"1 Г^"1 Г=Г V3 (J3) (-J3)

2и-1

+ ...Н   ;           + ...

(л/3)'

 

+

2 2-2 2-3

3

36. — +

5

 + ... +

 

п

2й-и2

 + ....

 

10"

10 10

37. 1Q-I—2н—Ї- + ... +

2 3       п11

+....

12 3 4

Я8 —I 1          1          Н...

• 2 22 23 24

1-2 1-2-3 1-2-3-4

39.       '           о—'     ї           ^" -

10 10   10

1 1-3 1-3-5 1-3-5-7

40. —і 1          1          !"•••.

3 3-6 3-6-9 3-6-9-12

Розділ 10. Ряди

111

41.       1н        1          1          1-....

3! 5! 7!

22 33 44

42.       1H       1          1          1-....

2! 3! 4!

2 22 23 24

43. —I 1          1          i~.

12 3 4

2 4 6    2«

44. —i 1          H...H   h...;

5 25 125          5"

3 32 33            3"

45. 2—'—2—'—2—н... н—2—h... .

12 3     n

1 1-2 1-2-3     w

46. - + 2 + 3+ ... + —+ ....

3 3       3          3

47. — +          +                    + ... +

1-2 1-2-3 1-2-3-4      (и + 1)!

            1          1         

3          32        33

 

11        1

48        1Н       1          H...H   h...

24 34   «4

3 32 33            3"

49        ~T ... "Г           ~т ...

. 1-2 2-3 3-4   «(«+1)

Дослідити на збіжність знакозмінний ряд:

1          1 1       3"         ._1 1

50.       -          н—_...Н—-... + (-1)    + ...

 2         2          2          2          2

2 5 8    п          (3и-1)

12 3     „_1 и-1

51.       — +     + ... + (-1)       + ....

5 7 9    2и + 1

111      и-1      1

52        '           ... + (_1)          v ...

2! 3! 4!            (и + 1)!

1 1 1    „_1 1

53.       1          ь... + (-1)         1-....

246      2и

Розділ 10. Ряди

3D       00        л

54. > (-1)        .           56. > (-1)        .

^          4и-1    ^—і     (и + 1)!

п-\       п-\

55. > (-1)        .           57. > (-1)        —

Знайти радіус збіжності степеневого ряду:

^х" х Xі х3 х"

58 X    '           '           |""-"1    !"•••;

' „=1 «! 1! 2! 3!           п\

59.

^х"-я!= х + 2!-х + ... + я!-х" +...;

п-\

 

х" х хг х3         хй

п-\

60.

 

ІП л/1 л/2 л/3  л/и

^ и „ 1 22        "п

si > —х = — хн—х +...Н       х +...;

п=\ 3   3          3          3

Знайти проміжки збіжності степеневого ряду:

^ ^ х"   м VV п»-і х"

„=о («+1) • 3й „=о      л/и

 Vr " х" V х" •

63. >д-1)         65.Х   

„=о      (п + ї)-4"         п=\(п + ї)-п

(х + 3)й

66. 2_і

58.       Розкласти в ряд Маклорена функції:

х

а)у — cos3x; б) у = е 2 ;        в) у — sin5x;

т)у — Іп(1+6х);          д) у=еsmx.

59.       Використовуючи розклад в ряд Маклорена обчислити наближені значення

функцій:

a) cos0,5; 6) lnl,3;        B) arctg0,2;     г) 2 0,01.

д) е2, з точністю до 0,001;   е) In 3 з точністю до 0,0001.

Розділ 10. Ряди

Розкласти в ряд Фур’є періодичну функцію з періодом 2 л, яка задана на промі-жку[–л;л-]:

79. /(х)

60. f(x)

 х, якщо — 71 < X < 0 10, ЯКЩО 0 < X < 71

62.       f(x) = 2х + 3.

63.       f(x) = 2-х.

64.       f(x) = х + 2 .

65. /0)

f 2, якщо - 7Ї < х < 0 [х,якщо0 <Х<7Ї

х

66. f(x) = X .

68. f(x)

70. /(х) = -4х.

72. /(х) = п - х.

76. f(x) 78. /(^)

80.       f(x)

81.       /(х)

74. f(x) = х- п. х

- 3, якщо — 71 < X < 0 3,якщо0 < X < 71

х-1

 

83. /(х) =|х-1|.

 

61. (х)

1, якщо — 71 < X < 0 3, якщо0 < Х<7С

67. /(х) = 3х. 69. (х) = -х.

71. / (х)

л + х

73. (х)

75. f(x) =| х |. 77. /(X) =| 3х |.

2-х, якщо — тс < х < 0 1,якщо0< х<тс

82. f(x) = \2-x\. 84. /(х) =| х + 1|

 

Розділ 10. Ряди

Ряди

аі+а2+... + ап+... = ^ап и=1

Числові ряди (а - число)

Функціональні ряди (а - функція)

 

Ознаки. Необхідна. Якщо ряд / ,а„ збіжний, TO lim а„ = 0

Достатні:        "           "

а) поиівняння: Нехай У,ап (1) і 2_,bn (2) такі.

и=1     и=1

. Тоді, якщо (1) збіжний^-(2) збіжний (2) розбіжний —>(1) розбіжний.

б) Даламбеиа lim -^

п—>оо а„

Знакопостійні / а,

            и=1

Збіжні. якщо limS„=S

п—УХ

S± =а1

що аи > Ьп

в) Коші

Sn =аі+а2+...+ап

Знакозмінні ^(~і)" а,

и=1

Умовно збіжні.

якщо|а„+1|<|а„|, і

lim ап = 0

Абсодютно збіжні. якщо

и=1

збіжний ряд /j(~ і)" аи

І< 1 збіжний > 1 розбіжн. = \ не відомо

< 1 збіжний > 1 розбіжн. = \ не відомо

апх

и=0    

Радіус збіжності R = lim ^tL = lim 1

и->со ап и->со nja

Ряд Макдорена

/(д)=/(0) + Ж* +

/(и)(0)

/"(0) 2 + У V Ух +...4

п\

Довідка

2          3          4

Єх =14X4       4          4          4...

2! 3! 4!

3 5 7 9

sin X = X         1          1         

3! 5! 7! 9!

2          4          6

cosx = 1          1          V ...

2! 4! 6!

1          і           2          и

            = І4Х4Х 4...4X 4...

1-X хє(-1;1)

2          3          4

1п(І4х)=Х       4          4.

2 3 4

хє(-1;1]

Тригонометр. -г- 4 ^ (ап cos пх + bn sin пх)

jf(x)dx

cosnxdx sinnxdx

«п=- ІУо)

-л

«„=-[/(*)

f(x)- парна.

/(*) = -^-+£a„cosrar; еи = 0;

/7=1

2 ж а0 = — f(x)dx,

71 о

2і? аи = — /(■*) cos m:<ix

/Гх)- непарна. /(*) = Z b" sin и

и=1

bn=—\f(x)s[nr-Ж J

а0~агГ®



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_9590e07b700396380e48f359c779f143, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0